Urne: Konfidenzintervall von p < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | In einer Urne sind [mm] m_w [/mm] weiße und [mm] m_s [/mm] schwarze Kugeln. Der Anteil der schwarzen Kugeln in der Urne ist unbekannt. In welchem Bereich liegt die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel mit 75%iger Wahrscheinlichkeit, wenn von 140 gezogenen Kugeln 42 schwarz sind? |
Hallo liebe Leute,
Das ist mal eine Interessante Aufgabe, leider habe ich bisher erfolglos versucht, sie zu lösen. Sonst sind mir bei Intervallbestimmungen eigentlich immer nur Annahme- und Ablehungsbereich unter die Nase gekommen...
Ich war aber nicht faul und hab mir schon ein paar Sachen durchgelesen; insbesondere ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia und der gute Roolfs haben da was passendes auf Lager. Leider geht es bei Wikipedia permanent um eine "Betaverteilung", von der ich noch nie was gehört habe (und mit der ich mich auch garantiert nicht befassen soll) oder einer Näherung der Binomialverteilung, von der ich ebensowenig weiß.
Bei Roolfs sieht die Sache schon besser aus, er hat genau was ich brauche; allerdings bezieht er sich auf ein 95.5%-Konfidenz-Intervall, und löst für mich vollig unverständlich eine Ungleichung durch quadrieren, so dass er zwei Grenzen für p herausbekommt (Das zugehörige PDF ist "Konfidenzintervalle").
Falls jemand einen Lösungsweg für mich parat hat, bitte ich darum! Alleine komme ich wohl nicht mehr weiter...
Viele Grüße
-.max
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| Aufgabe | In einer Urne sind [mm]m_w[/mm] weiße und [mm]m_s[/mm] schwarze Kugeln. Der
Anteil der schwarzen Kugeln in der Urne ist unbekannt. In
welchem Bereich liegt die Wahrscheinlichkeit für eine
schwarze Kugel mit 75%iger Wahrscheinlichkeit, wenn von 140
gezogenen Kugeln 42 schwarz sind? |
Hallo!
Ich würde es mit der sog. "Tschebyschew-Ungleichung" versuchen.
$P(|h-p|< [mm] \epsilon) [/mm] > 1- [mm] \bruch{p*(1-p)}{n* \epsilon^2}$
[/mm]
für eine grobe Abschätzung gilt:
$P(|h-p|< [mm] \epsilon) [/mm] > 1- [mm] \bruch{1}{4*n* \epsilon^2}$
[/mm]
geg.:
n = 140
$h = [mm] \bruch{42}{140}$
[/mm]
$P(|0,3-p|< [mm] \epsilon) [/mm] = 0,75$
$P(|0,3-p|< [mm] \epsilon) [/mm] > 1- [mm] \bruch{1}{4*140* \epsilon^2} [/mm] = 0,75$
$1- [mm] \bruch{1}{4*140* \epsilon^2} [/mm] = 0,75$
[mm] $\bruch{1}{560* \epsilon^2} [/mm] = 0,25$
$1= 140 * [mm] \epsilon^2$
[/mm]
[mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{140}}$
[/mm]
Demnach wäre das Konfindenzintervall [mm] $[0,3+\bruch{1}{\wurzel{140}} [/mm] ; [mm] 0,3-\bruch{1}{\wurzel{140}}]$
[/mm]
Korrigiere mich bitte, wenn ich mich irre, denn ich bin mir nicht 100%-ig sicher, ob man das so rechnen kann.
Gruß miniscout ![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Mustermax |
Klasse! Ich habe um eine Lösung gebettelt; ]0,251; 0,349[ soll das Ergebnis sein, da kommt der Tschebyschow gerade recht, dankeschön!
Jetzt aber mal für pingelige: Diese Ungleichung ist ja so fürchterlich ungenau (deswegen hatte ich sie auch schon aus meinem Gedächtnis gestrichen), gibt es da noch andere Wege?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 14.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,> In einer Urne sind [mm]m_w[/mm] weiße und [mm]m_s[/mm] schwarze Kugeln. Der
> Anteil der schwarzen Kugeln in der Urne ist unbekannt. In
> welchem Bereich liegt die Wahrscheinlichkeit für eine
> schwarze Kugel mit 75%iger Wahrscheinlichkeit, wenn von 140
> gezogenen Kugeln 42 schwarz sind?
Hallo,
bei der Aufgabe geht es doch darum,ein Intervall für die zugrundeliegende W-keit zu finden, so daß
das Ergebnis der Stichprobe nur soviel vom Erwartungsert abweicht, daß die Abweichung noch in dem Bereich liegt , in dem die Zufallsvariable ihre Werte mit W-keit von 0,75 annimt.
Prinzipiell lässt sich dieses Intervall auch mit der Tschebyschew-UGL ermitteln, aufgrund der Allgemeinheit dieser UGL wird das Intervall aber kleiner ausfallen, als wenn wir die Kenntnis der Verteilung nutzen würden.
Das Entscheidende für die Lösung ist, daß Du bei vorgegebener W-keit die maximale Abweichung vom Erwartungwert in Vielfachen der Standartabweichung [mm] \sigma [/mm] angeben kannst.
Für die W-keit 0,75 beträgt dieser Wert gerundet 1,16, d.h.
[mm] P(\left| X-\mu\right|<1,16\cdot \sigma) \approx [/mm] 0,75.
Um jetzt das gesuchte Intervall zu berechnen, mußt Du
[mm] \left| X-\mu\right|<1,16\cdot \sigma [/mm] lösen.
wobei [mm] \mu=n\cdot{p} [/mm] und [mm] \sigma=\w{n\cdot p\cdot (1-p)}
[/mm]
Da der Stichprobenumfang n und der Wert der Zufallsvariablen X vorgegeben wurde,
kannst Du die Betragsungleichung jetzt lösen, da diese quadriert werden darf, ohne daß die Lösungsmenge verändert wird.
Gruß
Heiko
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Ah, das klingt mir nach der besseren Lösung.
Nur, wie komme ich auf das 1.61 für die Wkt. von 75% ?
Das habe ich schonmal irgendwo gelesen - da ging es, glaube ich, um den "Radius" der Standartabweichung oder so...
Jetzt sag nicht, das geht so:
[mm] 2\sigma [/mm] => 95.5%
[mm] \bruch{95.5}{2} [/mm] = 47,75
[mm] x\sigma [/mm] => 75%
[mm] \bruch{75}{ 47,74} [/mm] = 1,57
=> x = 1,57 ?
Das kommt mir irgendwie so simpel vor...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Ah, das klingt mir nach der besseren Lösung.
> Nur, wie komme ich auf das 1.61 für die Wkt. von 75% ?
Du meinst 1,16 ...
> Das habe ich schonmal irgendwo gelesen - da ging es,
> glaube ich, um den "Radius" der Standartabweichung oder
> so...
>
Genau ,es geht um den "Radius". In unserem Fall beträgt er [mm] 1,16\cdot \sigma, [/mm] das ist die Abweichung vom Erwartungswert bei vorgegebener W-keit von 0,75, wäre sie 0,955 würde die Abweichung [mm] 2\cdot \sigma [/mm] betragen.
> Jetzt sag nicht, das geht so:
> [mm]2\sigma[/mm] => 95.5%
> [mm]\bruch{95.5}{2}[/mm] = 47,75
>
> [mm]x\sigma[/mm] => 75%
> [mm]\bruch{75}{ 47,74}[/mm] = 1,57
Nein, das ist falsch, Du mußt die nachfolgende Betragsungleichung lösen.
[mm] \left| X-\mu\right|<1,16\cdot \sigma
[/mm]
Die Werte für n und X sind dir aus der Aufgabenstellung bekannt.
Nach dem Quadrieren bekommst du eine quadratische Gleichung in p .
LG
Heiko
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Hallo nochmal, sorry, wir haben wohl aneinander vorbei geredet 
Ich wollte wissen, wie ich auf das 1.16, also auf diesen Radius komme - dass der 2 bei 0.955 ist weiß ich, weil uns das im mal Unterricht gesagt worden ist. Aber wie komme ich von 0.75 auf den richtigen Radius?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Hallo nochmal, sorry, wir haben wohl aneinander vorbei
> geredet
> Ich wollte wissen, wie ich auf das 1.16, also auf diesen
> Radius komme - dass der 2 bei 0.955 ist weiß ich, weil uns
> das im mal Unterricht gesagt worden ist. Aber wie komme ich
> von 0.75 auf den richtigen Radius?
Hallo,
Es soll also das passende k für [mm] P(\left| X-\mu\right|
berechnet werden.
Dann gilt doch
0,75 = [mm] P(\left| X-\mu\right|
= [mm] P(\mu -k\cdot\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu+k\cdot\sigma [/mm] )
= [mm] P(X\le\mu+k\cdot\sigma [/mm] ) - [mm] P(X\le\mu -k\cdot\sigma \leX [/mm] )
[mm] \approx \Phi(\bruch{k\cdot\sigma}{\sigma}) [/mm] - [mm] \Phi(\bruch{-k\cdot\sigma}{\sigma})
[/mm]
[mm] =\Phi(k) [/mm] - [mm] \Phi(-k)
[/mm]
[mm] =\Phi(k) [/mm] - [mm] (1-\Phi(k))
[/mm]
[mm] =2\cdot\Phi(\sigma)-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{7}{8} \approx \Phi(k) [/mm]
In einer Tabelle für die standartisierte Normalverteilung liest man jetzt k [mm] \approx [/mm] 1,16 ab.
Viele grüße
Heiko
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