Urbild von Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Fr 05.08.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich bin gerade ein paar Skripte durchgegangen und dabei auf folgenden Satz gestossen:
Urbilder von Normalteilern unter Homomorphismen sind wieder Normalteiler.
Dass Bilder und Urbilder von Untergruppen wieder Untergruppen sind und dass das Bild eines Normalteilers nur dann mit Sicherheit wieder Normalteiler ist, wenn es sich um eine Surjektion handelt, ist mir klar. Aber diesen Satz kann ich nicht nachvollziehen.
Ich hab jetzt das Internet nach Antworten durchsucht und bin dabei auf etliche andere Skripte, Bücher und Mitschriften gestossen, in denen sich dieser Satz finden lässt. Leider wird er nirgends bewiesen. Nur in diesem Matheraum-Thread
Klick
hat jemand einen Beweis angegeben. Meiner Meinung nach ist dieser aber falsch, denn der Autor geht ohne ersichtlichen Grund davon aus, dass N vollständig in der Bildmenge liegt.
Ist es nicht so, dass das Urbild eines Normalteilers nur dann mit Sicherheit wieder normal ist, wenn der Normalteiler vollständig in der Bildmenge liegt bzw. der Gruppenhomorphismus surjektiv ist?
Dies wäre die genau gleiche Bedingung wie die, die an die Bilder von Normalteilern gestellt wird...
Ist der genannte Satz falsch oder mach ich einfach einen Überlegungsfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich bin gerade ein paar Skripte durchgegangen und dabei auf
> folgenden Satz gestossen:
>
> Urbilder von Normalteilern unter Homomorphismen sind wieder
> Normalteiler.
>
> Dass Bilder und Urbilder von Untergruppen wieder
> Untergruppen sind und dass das Bild eines Normalteilers nur
> dann mit Sicherheit wieder Normalteiler ist, wenn es sich
> um eine Surjektion handelt, ist mir klar. Aber diesen Satz
> kann ich nicht nachvollziehen.
>
> Ich hab jetzt das Internet nach Antworten durchsucht und
> bin dabei auf etliche andere Skripte, Bücher und
> Mitschriften gestossen, in denen sich dieser Satz finden
> lässt. Leider wird er nirgends bewiesen. Nur in diesem
> Matheraum-Thread
>
> Klick
>
> hat jemand einen Beweis angegeben. Meiner Meinung nach ist
> dieser aber falsch, denn der Autor geht ohne ersichtlichen
> Grund davon aus, dass N vollständig in der Bildmenge
> liegt.
Ja, da hast du Recht. Das laesst sich aber wie folgt korrigieren:
Sei $g [mm] \in [/mm] G$ und $n [mm] \in [/mm] N' := [mm] \varphi^{-1}(N)$. [/mm] Dann ist [mm] $\varphi(g [/mm] n [mm] g^{-1}) [/mm] = [mm] \varphi(g) \varphi(n) \varphi(g)^{-1} \in [/mm] N$, da [mm] $\varphi(n) \in [/mm] N$ ist und $N$ ein Normalteiler ist. Das bedeutet aber, dass $g n [mm] g^{-1} \in \varphi^{-1}(N) [/mm] = N'$ ist.
> Ist es nicht so, dass das Urbild eines Normalteilers nur
> dann mit Sicherheit wieder normal ist, wenn der
> Normalteiler vollständig in der Bildmenge liegt bzw. der
> Gruppenhomorphismus surjektiv ist?
Nein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Fr 05.08.2011 | | Autor: | phychem |
Achja, so einfach wäre das gewesen...
Danke für die Hilfe. Nun hab ich das auch verstanden.
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