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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Sei [mm] F=\{\emptyset, [0,\bruch{1}{4}), [\bruch{1}{4},1], [0,1]\}
[/mm]
und [mm] g:\IR\to [/mm] [0,1]
[mm] g(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{falls } -1\le x \le1 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
bestimmen Sie das Urbild [mm] g^{-1}(F) [/mm] |
bei Urbildern habe ich immer Probleme, erst mal bei [mm] g^{-1}([0,\bruch{1}{4})) [/mm] steht: = { [mm] x\in\IR|x^{2}\in[0, \bruch{1}{4}) [/mm] } = [mm] (-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})
[/mm]
das ist ja ein halb offenes Intervall, das heißt ja, 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] warum nimmt man nicht (0,0) als Urbild?
danke schon mal
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:44 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Di 08.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo kioto,
> Sei [mm]F=\{\emptyset, [0,\bruch{1}{4}), [\bruch{1}{4},1], [0,1]\}[/mm]
>
> und [mm]g:\IR\to[/mm] [0,1]
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{falls } -1\le x \le1 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> bestimmen Sie das Urbild [mm]g^{-1}(F)[/mm]
>
>
>
>
>
> bei Urbildern habe ich immer Probleme, erst mal bei
> [mm]g^{-1}([0,\bruch{1}{4}))[/mm] steht: = [mm]\{x\in\IR|x^{2}\in[0, \bruch{1}{4}) \}[/mm]
> = [mm](-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da [mm]g( (-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2}) ) = [0,\bruch{1}{4}) [/mm]
> das ist ja ein halb
> offenes Intervall, das heißt ja, 0 [mm]\le[/mm] x < [mm]\bruch{1}{4},[/mm]
Ja, das Bild ist ein halb offenes Intervall, aber das Urbild ein offenes Intervall.
Das kann vorkommen.
> warum nimmt man nicht (0,0) als Urbild?
Was soll (0,0) sein?
Das offene Intervall von 0 bis 0, also [mm] $\emptyset$ [/mm] ?
[mm] $g^{-1}(\{0\}) [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] Das Urbild von g von Null ist Null.
> danke schon mal
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Di 08.05.2012 | | Autor: | kioto |
danke, aber ich versteh immer noch nicht wie ein Urbild zustande kommt. hängt das vom Intervall des Bildes ab wie das Urbild aussieht?
bei [mm] g^{-1}([\bruch{3}{4},1]) [/mm] steht in der Lösung
[mm] ={x\in\IR|g(x)\in[\bruch{3}{4},1]} [/mm] g(x) steht doch für [mm] x^{2} [/mm] oder nicht? warum steht dort nicht einfach wieder [mm] x^{2}?
[/mm]
[mm] =(-\infty, [/mm] -1/2] [mm] \cup [/mm] [1/2, [mm] \infty)
[/mm]
warum ist das so und nicht [mm] (-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 08.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo kioto,
> danke, aber ich versteh immer noch nicht wie ein Urbild
> zustande kommt. hängt das vom Intervall des Bildes ab wie
> das Urbild aussieht?
Ja, natürlich.
Sieh mal die ![[]](/images/popup.gif) Definition von Urbild an.
>
> bei [mm]g^{-1}([\bruch{3}{4},1])[/mm] steht in der Lösung
> [mm]=\{x\in\IR|g(x)\in[\bruch{3}{4},1]\}[/mm] g(x) steht doch für
> [mm]x^{2}[/mm] oder nicht? warum steht dort nicht einfach wieder
> [mm]x^{2}?[/mm]
Soll das nicht "[mm]g^{-1}([\bruch{1}{4},1])[/mm] steht in der Lösung
[mm]=\{x\in\IR|g(x)\in[\bruch{1}{4},1]\}[/mm] [mm]=(-\infty,[/mm] -1/2] [mm]\cup[/mm] [1/2, [mm]\infty)[/mm]" heißen?
Setzt man den Spezialfall von g und [mm] $[\bruch{1}{4},1]$ [/mm] in die Definition ein,
erhält man [mm]g^{-1}([\bruch{1}{4},1])=\{x\in\IR|g(x)\in[\bruch{1}{4},1]\}[/mm].
g(x) = [mm] $x^2$ [/mm] nur für $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$; für x [mm] $\in \IR \setminus [/mm] [-1, 1]$ ist g(x) = 1.
Ist das Bild [mm] $[\bruch{1}{4},1]$, [/mm] ist für die Bestimmung des Urbilds von [mm] $[\bruch{1}{4},1]$, [/mm]
die Frage, für welche x ist g(x) [mm] $\in [\bruch{1}{4},1]$, [/mm] zu beantworten.
> [mm]=(-\infty,[/mm] -1/2] [mm]\cup[/mm] [1/2, [mm]\infty)[/mm]
> warum ist das so und nicht [mm](-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})?[/mm]
g( [mm](-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})[/mm] ) = $[0, [mm] \bruch{1}{4})$.
[/mm]
>
Gruß
meili
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