Untervektorraumkriterium < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie dass x-y+2z = 0 einen Unterraum des reellen Vektorraum des R³ ist |
Hab das folgendermassen gelöst :
x1-y1+2z1 = 0
x2-y2+2z2 = 0
1.
[mm] \vektor{x1 \\ y1 \\ 2z1} [/mm] + [mm] \vektor{x2 \\ y2 \\ 2z2}
[/mm]
= [mm] \vektor{x1 + x2 \\ y1 + y2 \\ 2z1 + 2z2}
[/mm]
(x1+x2)-(y1+y2)+(2z1+2z2) = 0
(x1-y1+2z1)+(x2-y2+2z2) = 0
Da diese beiden ja Null sind stimmts :)
2.
[mm] \lambda [/mm] .
[mm] \vektor{x1 \\ y1 \\ 2z1}
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] x1 - [mm] \lambda [/mm] y1 + [mm] \lambda [/mm] 2z1
= [mm] \lambda [/mm] (x1-y1+2z1)
= 0
Stimmt das so ?
Lg
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Hallo!
Ein wichtiges Axiom zur Überprüfung eines Unterraums ist dass für jeden Unterraum U gilt 0 [mm] \in [/mm] U.
Du hast folgendes U. U= { [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] mit x-y+2z=0 }.
Zu zeigen sind die 3 Untervektorraumkriterien.
1. U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Das ist ganz einfach: da U= { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] } also ist U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. Aus X,Y [mm] \in [/mm] U folgt stets X + Y [mm] \in [/mm] U
Also [mm] \vektor{x_{1} \\ -y_{1} \\ 2z_{1}} \in [/mm] U und [mm] \vektor {x_{2} \\ -y_{2} \\ 2z_{2}} \in [/mm] U folgt [mm] \vektor{x_{1}+x_{2} \\ -(y_{1}+y_{2}) \\ 2(z_{1}+z_{2}} \in [/mm] U
3. Das gleiche für: Aus [mm] \lambda \in \IR, [/mm] X [mm] \in [/mm] U folgt stets [mm] \lambda [/mm] X [mm] \in [/mm] U
Du hast das schon richtig gemacht jedoch musst du dass noch formal aufschreiben.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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