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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Do 13.11.2008 | | Autor: | extasic |
| Aufgabe | Ist die folgende Teilmenge von [mm] \IR^{2} [/mm] bzgl. der komponentenweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren Unterraum des [mm] \IR^{2} [/mm] :
M = [mm] \{ x \in \IR : x_{1} \cdot x_{2} \ge 0 \} [/mm] |
Hallo!
Mein Problem ist die komponentenweise Addition. Ich komme einfach nicht weiter.
Folgendes habe ich bereits:
u,v [mm] \in [/mm] M
zu zeigen: u + v [mm] \in [/mm] M
Sei u,v [mm] \in [/mm] M
u := [mm] (u_{1} [/mm] + [mm] u_{2}) [/mm]
v := [mm] (v_{1} [/mm] + [mm] v_{2})
[/mm]
(u + v) = [mm] \underbrace{(\underbrace{ u_{1} + v_{1}}_{x_{1}} , \underbrace{u_{2} + v_{2}}_{x_{2}})}_{x} [/mm]
[mm] (u_{1} [/mm] + [mm] v_{1} [/mm] ) [mm] \cdot (u_{2} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] ) ( = 0 )
= [mm] \underbrace{u_{1} \cdot u_{2}}_{\ge 0} [/mm] + [mm] u_{1} \cdot v_{2} [/mm] + [mm] v_{1} \cdot u_{2} [/mm] + [mm] \underbrace{v_{1} \cdot v_{2}}_{\ge 0}
[/mm]
doch an dieser Stelle komme ich nicht weiter. Wie kann ich zeigen, dass x in M ist (oder halt nicht?) Oder halt das [mm] u_{1} \cdot v_{2} [/mm] und [mm] v_{1} \cdot u_{2} [/mm] ebenfalls [mm] \ge [/mm] 0 sind?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
(Diese Aufgabe habe ich in keinem anderen Forum gepostet)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Do 13.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn u,v [mm] \in |IR^2 [/mm] dann kannst du doch nicht schreiben
u=u1+u2
es ist doch
[mm] u=\vektor{u_1 \\ u_2}; v=\vektor{v_1 \\ v_2}
[/mm]
bekannt damit die aus M sind: [mm] u1*u2\ge0 [/mm] und [mm] v1*v2\ge0 [/mm]
jetzt hast du [mm] u+v=\vektor{u_1+v_! \\ u_2+v_2} [/mm]
Du musst nachweisen ob dann immer gilt [mm] (u_1+v1)*(u_2+v_2)\ge0
[/mm]
oder du findest ein einfaches Gegenbeispiel!
die Bedingung sagt doch, dass beide Komponenten das gleiche Vorzeichen haben muessen. da v1,v1,0 und u1,u2>0 sein koennen , koennen auch die produkte negativ sein!
Also such damit ein einfaches Gegenbeispiel!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Do 13.11.2008 | | Autor: | extasic |
ist das dann richtig?
u = [mm] \vektor{2 \\ 4} \in [/mm] M
v = [mm] \vektor{-4 \\ -2} \in [/mm] M
u + v = [mm] \vektor{2 + (-4) \\ 4 + (-2)} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 2} \not\in [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] M ist kein UVR von [mm] \IR^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Do 13.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, du musst nur noch Gegenbeispiel drueber schreiben!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Do 13.11.2008 | | Autor: | extasic |
super, vielen Dank für die Antwort!
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