Untervektorraum zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des Vektorraums [mm] \IQ^{3x3} [/mm] (über [mm] \IQ) [/mm] aller rationalen 3x3 Matrizen?
[mm] \{A\in \IQ^{3x3}|A invertierbar\},
[/mm]
[mm] \{A\in \IQ^{3x3}|A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0\} [/mm] |
Hallo und guten Abend.
In der Vorlesung haben wir besprochen, wie man zeigen kann, dass eine Menge ein Untervektorraum ist. Die Beispiele in der Vorlesung waren aber wirklich trivial, aber das Übungsblatt hat es mal wieder in sich.
Ich kenne die 3 Unterraumaxiome:
(1) [mm] 0_{V} [/mm] Element von U
(2) Sind 2 Verktoren u,v Elemente von U, dann auch ihre Summe u+v
(3) Ist ein Vektor v Element von U, dann auch seine skalaren Vielfachen rv,
Habe aber keine Ahnung, wie ich diese 3 Axiome in dieser Aufgabe anwenden soll.
Kann mir wer einen Tipp geben, wie ich da vorgehen kann?
Danke und schönen Abend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:47 Fr 08.11.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des
> Vektorraums [mm]\IQ^{3x3}[/mm] (über [mm]\IQ)[/mm] aller rationalen 3x3
> Matrizen?
> [mm]\{A\in \IQ^{3x3}|A invertierbar\},[/mm]
> [mm]\{A\in \IQ^{3x3}|A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0\}[/mm]
>
> Hallo und guten Abend.
>
> In der Vorlesung haben wir besprochen, wie man zeigen kann,
> dass eine Menge ein Untervektorraum ist. Die Beispiele in
> der Vorlesung waren aber wirklich trivial, aber das
> Übungsblatt hat es mal wieder in sich.
> Ich kenne die 3 Unterraumaxiome:
> (1) [mm]0_{V}[/mm] Element von U
> (2) Sind 2 Verktoren u,v Elemente von U, dann auch ihre
> Summe u+v
> (3) Ist ein Vektor v Element von U, dann auch seine
> skalaren Vielfachen rv,
>
> Habe aber keine Ahnung, wie ich diese 3 Axiome in dieser
> Aufgabe anwenden soll.
Wie sind [mm] $A_{12}, A_{22}, A_{31}$ [/mm] und [mm] $A_{21}$ [/mm] definiert?
Was ist [mm] $0_V$ [/mm] von [mm] $\IQ^{3x3}$ [/mm] und ist bei der 1. Menge (1) erfüllt?
> Kann mir wer einen Tipp geben, wie ich da vorgehen kann?
> Danke und schönen Abend
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Fr 08.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu
$ [mm] \{A\in \IQ^{3x3}|A invertierbar\}, [/mm] $
hat meili schon das Entscheidende gesagt.
Zu
$U:= [mm] \{A\in \IQ^{3x3}|A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0\} [/mm] $ :
Ich vermute, dass Ihr für [mm] A\in \IQ^{3x3} [/mm] die Bez.
[mm] A=(A_{jk})
[/mm]
benutzt.
3 Fragen:
1. Sei [mm] (A_{jk}) [/mm] die Nullmatrix. Gilt dann [mm] A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0 [/mm] ?
2. Seien A,B [mm] \in [/mm] U, [mm] A=(A_{jk}) [/mm] und [mm] B=(B_{jk}).
[/mm]
Setze [mm] C:=(C_{jk}):=A+B. [/mm] Gilt dann [mm] C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0 [/mm] ?
3. Sei [mm] A=(A_{jk}) \in [/mm] U und r [mm] \in \IQ.
[/mm]
Setze [mm] $C:=(C_{jk}):=r*A$. [/mm] Gilt dann [mm] C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0 [/mm] ?
Wenn Du diese 3 Fragen jeweils mit "ja" beantworten kannst, so ist U ein Untervektorraum des Vektorraums $ [mm] \IQ^{3x3} [/mm] $, anderenfalls nicht.
FRED
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Hallo nochmal.
$ [mm] \{A\in \IQ^{3x3}|A invertierbar\}, [/mm] $
Ok, diese Menge habe ich verstanden. Da die Nullmatrix nicht vorhanden sein kann (nicht invertierbar), ist diese Menge kein Untervektorraum.
> Zu
>
> [mm]U:= \{A\in \IQ^{3x3}|A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0\}[/mm] :
>
> Ich vermute, dass Ihr für [mm]A\in \IQ^{3x3}[/mm] die Bez.
>
> [mm]A=(A_{jk})[/mm]
>
> benutzt.
Ja richtig. Tut mir leid das hab ich euch verschwiegen :)
> 3 Fragen:
>
> 1. Sei [mm](A_{jk})[/mm] die Nullmatrix. Gilt dann
> [mm]A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0[/mm] ?
Ja das gilt, da $0-0+0-0 = 0$ ist
> 2. Seien A,B [mm]\in[/mm] U, [mm]A=(A_{jk})[/mm] und [mm]B=(B_{jk}).[/mm]
>
> Setze [mm]C:=(C_{jk}):=A+B.[/mm] Gilt dann
> [mm]C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0[/mm] ?
Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich hier vorgehen soll. Wie kann ich das zeigen? Es gilt ja nicht für beliebige Zahlen, darum weiß ich nicht wie genau ich hier vorgehen soll...
> 3. Sei [mm]A=(A_{jk}) \in[/mm] U und r [mm]\in \IQ.[/mm]
>
> Setze [mm]C:=(C_{jk}):=r*A[/mm]. Gilt dann
> [mm]C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0[/mm] ?
Das gleiche Problem wie bei 2.
> Wenn Du diese 3 Fragen jeweils mit "ja" beantworten kannst,
> so ist U ein Untervektorraum des Vektorraums [mm]\IQ^{3x3} [/mm],
> anderenfalls nicht.
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Sa 09.11.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo nochmal.
>
> [mm]\{A\in \IQ^{3x3}|A invertierbar\},[/mm]
> Ok, diese Menge habe
> ich verstanden. Da die Nullmatrix nicht vorhanden sein kann
> (nicht invertierbar), ist diese Menge kein
> Untervektorraum.
>
> > Zu
> >
> > [mm]U:= \{A\in \IQ^{3x3}|A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0\}[/mm] :
> >
> > Ich vermute, dass Ihr für [mm]A\in \IQ^{3x3}[/mm] die Bez.
> >
> > [mm]A=(A_{jk})[/mm]
> >
> > benutzt.
> Ja richtig. Tut mir leid das hab ich euch verschwiegen :)
>
>
>
> > 3 Fragen:
> >
> > 1. Sei [mm](A_{jk})[/mm] die Nullmatrix. Gilt dann
> > [mm]A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0[/mm] ?
> Ja das gilt, da [mm]0-0+0-0 = 0[/mm] ist
>
>
>
> > 2. Seien A,B [mm]\in[/mm] U, [mm]A=(A_{jk})[/mm] und [mm]B=(B_{jk}).[/mm]
> >
> > Setze [mm]C:=(C_{jk}):=A+B.[/mm] Gilt dann
> > [mm]C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0[/mm] ?
> Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich hier vorgehen soll.
> Wie kann ich das zeigen? Es gilt ja nicht für beliebige
> Zahlen, darum weiß ich nicht wie genau ich hier vorgehen
> soll...
Von A und B weist du, dass [mm] $A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}= [/mm] 0$
und [mm] $B_{12}-B_{22}+B_{31}-B_{21} [/mm] = 0$.
Wenn C = A+B, wie berechnet sich [mm] $C_{ik}$, [/mm] für $i,k [mm] \in \{1,2,3\}$?
[/mm]
>
>
>
> > 3. Sei [mm]A=(A_{jk}) \in[/mm] U und r [mm]\in \IQ.[/mm]
> >
> > Setze [mm]C:=(C_{jk}):=r*A[/mm]. Gilt dann
> > [mm]C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0[/mm] ?
> Das gleiche Problem wie bei 2.
Wie kannst Du [mm] $C_{ik}$ [/mm] mit Hilfe von [mm] $A_{ik}$ [/mm] und r ausdrücken?
>
>
>
> > Wenn Du diese 3 Fragen jeweils mit "ja" beantworten kannst,
> > so ist U ein Untervektorraum des Vektorraums [mm]\IQ^{3x3} [/mm],
> > anderenfalls nicht.
> >
> > FRED
>
Gruß
meili
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> Hallo,
>
> > Hallo nochmal.
> >
> > [mm]\{A\in \IQ^{3x3}|A invertierbar\},[/mm]
> > Ok, diese Menge
> habe
> > ich verstanden. Da die Nullmatrix nicht vorhanden sein kann
> > (nicht invertierbar), ist diese Menge kein
> > Untervektorraum.
> >
> > > Zu
> > >
> > > [mm]U:= \{A\in \IQ^{3x3}|A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0\}[/mm] :
> > >
> > > Ich vermute, dass Ihr für [mm]A\in \IQ^{3x3}[/mm] die Bez.
> > >
> > > [mm]A=(A_{jk})[/mm]
> > >
> > > benutzt.
> > Ja richtig. Tut mir leid das hab ich euch verschwiegen
> :)
> >
> >
> >
> > > 3 Fragen:
> > >
> > > 1. Sei [mm](A_{jk})[/mm] die Nullmatrix. Gilt dann
> > > [mm]A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}=0[/mm] ?
> > Ja das gilt, da [mm]0-0+0-0 = 0[/mm] ist
> >
> >
> >
> > > 2. Seien A,B [mm]\in[/mm] U, [mm]A=(A_{jk})[/mm] und [mm]B=(B_{jk}).[/mm]
> > >
> > > Setze [mm]C:=(C_{jk}):=A+B.[/mm] Gilt dann
> > > [mm]C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0[/mm] ?
> > Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich hier vorgehen
> soll.
> > Wie kann ich das zeigen? Es gilt ja nicht für beliebige
> > Zahlen, darum weiß ich nicht wie genau ich hier vorgehen
> > soll...
> Von A und B weist du, dass [mm]A_{12}-A_{22}+A_{31}-A_{21}= 0[/mm]
>
> und [mm]B_{12}-B_{22}+B_{31}-B_{21} = 0[/mm].
> Wenn C = A+B, wie
> berechnet sich [mm]C_{ik}[/mm], für [mm]i,k \in \{1,2,3\}[/mm]?
Gerade, wo du dies gepostet hast, habe ich die Aufgaben gelöst :)
Auch die 3. Variante.
> >
> >
> > > 3. Sei [mm]A=(A_{jk}) \in[/mm] U und r [mm]\in \IQ.[/mm]
> > >
> > > Setze [mm]C:=(C_{jk}):=r*A[/mm]. Gilt dann
> > > [mm]C_{12}-C_{22}+C_{31}-C_{21}=0[/mm] ?
> > Das gleiche Problem wie bei 2.
> Wie kannst Du [mm]C_{ik}[/mm] mit Hilfe von [mm]A_{ik}[/mm] und r
> ausdrücken?
>
> >
> >
> >
> > > Wenn Du diese 3 Fragen jeweils mit "ja" beantworten kannst,
> > > so ist U ein Untervektorraum des Vektorraums [mm]\IQ^{3x3} [/mm],
> > > anderenfalls nicht.
> > >
> > > FRED
> >
> Gruß
> meili
Dennoch habe ich noch eine Aufgabe, die ich nicht verstehe:
[mm] \{sE_{12}-tE_{31}+uE_{23}\in\IQ^{3x3}|s,t,u\in\IQ\}
[/mm]
wobei [mm] E_{ij} [/mm] die Standardmatrix ist.
Die Nummer 1) mit dem Nullvektor habe ich gelöst, aber bei 2 und 3 habe ich Probleme:
Nach Skalarmultiplikation und Addition von Matrizen bekomme ich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & u \\ -t & 0 & 0 }
[/mm]
1) 0v [mm] \in [/mm] U
[mm] \pmat{ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & u \\ -t & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] genau dann, wenn s = t = u = 0. Also ok.
2) u,v [mm] \in [/mm] U, dann gilt: u+v [mm] \in [/mm] U
3) r [mm] \in [/mm] K und v [mm] \in [/mm] U, dann gilt: r*v [mm] \in [/mm] U
wie gehe ich hier vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Sa 09.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie immer nimm s1,t1,u1 und s2,t2,u2 addiere die M. und sieh nach ob sie die geforderte Gl. erfüllen. dasselbe mit r*A
Gruss leduart
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> Hallo
> wie immer nimm s1,t1,u1 und s2,t2,u2 addiere die M. und
> sieh nach ob sie die geforderte Gl. erfüllen. dasselbe mit
> r*A
Das Problem ist, dass ich hier keine Gleichung sehe...
Mit s1,t1,u1 und s2,t2,u2 habe ich schon gemacht und da kommt dann das heraus (vereinfacht):
[mm] (s_{1}+s_{2})\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }-(t_{1}+t_{2})\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }+(u_{1}+u_{2})\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }=\pmat{ 0 & s_{1}+s_{2} & 0 \\ 0 & 0 & u_{1}+u_{2} \\ -t_{1}-t_{2} & 0 & 0 }
[/mm]
Ich vermute nämlich, dass ich noch nicht fertig bin mit dem 2ten Punkt. Oder doch?
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Sa 09.11.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Hallo
> > wie immer nimm s1,t1,u1 und s2,t2,u2 addiere die M. und
> > sieh nach ob sie die geforderte Gl. erfüllen. dasselbe mit
> > r*A
> Das Problem ist, dass ich hier keine Gleichung sehe...
> Mit s1,t1,u1 und s2,t2,u2 habe ich schon gemacht und da
> kommt dann das heraus (vereinfacht):
>
> [mm](s_{1}+s_{2})\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }-(t_{1}+t_{2})\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }+(u_{1}+u_{2})\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }=\pmat{ 0 & s_{1}+s_{2} & 0 \\ 0 & 0 & u_{1}+u_{2} \\ -t_{1}-t_{2} & 0 & 0 }[/mm]
>
> Ich vermute nämlich, dass ich noch nicht fertig bin mit
> dem 2ten Punkt. Oder doch?
Jein.
Wenn du von $u = [mm] \pmat{ 0 & s_1 & 0 \\ 0 & 0 & u_1 \\ -t_1 & 0& 0} \in [/mm] U$ und $v = [mm] \pmat{ 0 & s_2 & 0 \\ 0 & 0 & u_2 \\ -t_2 & 0 & 0} \in [/mm] U$ ausgehst,
bekommst du mit u+v deine Matrix auf der rechten Seite.
Um zu zeigen, dass u+v [mm] $\in$ [/mm] U, musst du nur zeigen,
dass [mm] $s_1+s_2 \in \IQ$, $u_1+u_2 \in \IQ$ [/mm] und [mm] $t_1+t_2 \in \IQ$ [/mm] ist.
[mm] ($\IQ$ [/mm] ist ein Körper)
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> > Gruss leduart
>
Gruß
meili
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> bekommst du mit u+v deine Matrix auf der rechten Seite.
> Um zu zeigen, dass u+v [mm]\in[/mm] U, musst du nur zeigen,
> dass [mm]s_1+s_2 \in \IQ[/mm], [mm]u_1+u_2 \in \IQ[/mm] und [mm]t_1+t_2 \in \IQ[/mm]
> ist.
Ohh...und wie mach ich das?
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> > bekommst du mit u+v deine Matrix auf der rechten Seite.
> > Um zu zeigen, dass u+v [mm]\in[/mm] U, musst du nur zeigen,
> > dass [mm]s_1+s_2 \in \IQ[/mm], [mm]u_1+u_2 \in \IQ[/mm] und [mm]t_1+t_2 \in \IQ[/mm]
> > ist.
> Ohh...und wie mach ich das?
Hallo,
Du weißt, daß die [mm] s_i, t_i, u_i [/mm] rational sind, und daß [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist.
LG Angela
>
>
>
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> > > bekommst du mit u+v deine Matrix auf der rechten Seite.
> > > Um zu zeigen, dass u+v [mm]\in[/mm] U, musst du nur zeigen,
> > > dass [mm]s_1+s_2 \in \IQ[/mm], [mm]u_1+u_2 \in \IQ[/mm] und [mm]t_1+t_2 \in \IQ[/mm]
>
> > > ist.
> > Ohh...und wie mach ich das?
>
> Hallo,
>
> Du weißt, daß die [mm]s_i, t_i, u_i[/mm] rational sind, und daß
> [mm]\IQ[/mm] ein Körper ist.
Ja das stimmt, das ist ja eigentlich auch eine geforderte Eigenschaft von s,t und u. Dass [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist, weiß ich auch. Aber wenn ich logisch überlege und [mm] s_1,s_2,t_1,t_2 [/mm] und [mm] u_1,u_2 [/mm] in [mm] \IQ [/mm] sind, dann sind ja auch die Summen in [mm] \IQ.
[/mm]
Aber wie zeige ich das formell?
> LG Angela
> >
> >
> >
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> > > > bekommst du mit u+v deine Matrix auf der rechten Seite.
> > > > Um zu zeigen, dass u+v [mm]\in[/mm] U, musst du nur zeigen,
> > > > dass [mm]s_1+s_2 \in \IQ[/mm], [mm]u_1+u_2 \in \IQ[/mm] und [mm]t_1+t_2 \in \IQ[/mm]
>
> >
> > > > ist.
> > > Ohh...und wie mach ich das?
> >
> > Hallo,
> >
> > Du weißt, daß die [mm]s_i, t_i, u_i[/mm] rational sind, und daß
> > [mm]\IQ[/mm] ein Körper ist.
> Ja das stimmt, das ist ja eigentlich auch eine geforderte
> Eigenschaft von s,t und u. Dass [mm]\IQ[/mm] ein Körper ist, weiß
> ich auch. Aber wenn ich logisch überlege und
> [mm]s_1,s_2,t_1,t_2[/mm] und [mm]u_1,u_2[/mm] in [mm]\IQ[/mm] sind, dann sind ja auch
> die Summen in [mm]\IQ.[/mm]
> Aber wie zeige ich das formell?
Hallo,
indem Du schreibst, daß die aus [mm] \IQ [/mm] sind, [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist, und daß folglich die Summen auch in [mm] \IQ [/mm] sind.
LG Angela
>
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>
> > LG Angela
> > >
> > >
> > >
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> Hallo,
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> indem Du schreibst, daß die aus [mm]\IQ[/mm] sind, [mm]\IQ[/mm] ein Körper
> ist, und daß folglich die Summen auch in [mm]\IQ[/mm] sind.
klingt logisch. :)
Vielen Dank. Jetzt habe ich endlich die letzte Aufgabe lösen können.
> LG Angela
Ich bedanke mich herzlich für die Unterstützung. Ihr seid der Wahnsinn. :top:
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