Untervektorraum zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 09.03.2013 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Hallo ich möchte zeigen, dass die folgenden Mengen einen Unterraum bilden bzw. keinen Unterraum bilden.
[mm] M_1 [/mm] = { [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3 [/mm] | x = y = 2z}
[mm] M_2 [/mm] = { [mm] \vektor{x \\ y} \in \IR^2 [/mm] | [mm] x^2 +y^4 [/mm] = 0}
[mm] M_3 [/mm] = { [mm] \vektor{x+y \\ y^2} \in \IR^2 [/mm] | x, y [mm] \in \IR [/mm] }
[mm] M_4 [/mm] = { f [mm] \in [/mm] Abb [mm] (\IR,\IR) [/mm] | f(x) = f(-x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR} [/mm] |
Hallo Leute ich brauch glaube ich Hilfe bei den o. g. Aufgaben:
zu [mm] M_1 [/mm] :
[mm] M_1 [/mm] = { [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3 [/mm] | x = y = 2z} = [mm] {\vektor{2z \\ 2z \\ z} \in \IR^3 | x = y = 2z}
[/mm]
=z * [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] <\vektor{2 \\ 2 \\ 1}>
[/mm]
Und nach der Vorlesung ist der Span ein Unterraum. Kann ich hier im Fall von [mm] M_1 [/mm] so lösen?
zu [mm] M_2
[/mm]
Der Nullvektor ist offensichtlich enthalten.
f(x) + f(y) = f(x+y) = f((x,y)) + f(x',y')) = [mm] (x+x')^2 [/mm] + [mm] (y+y')^4 [/mm] = 0 = f((x,y) + (x',y')) = f((x+x') +(y+y')) = (x+x') +(y+y') = 0 = f(x) +f(y)
Zeigt dieser Beweis die Abgeschlossenheit unter Addition?'
[mm] f(\alpha [/mm] x) = [mm] \alpha [/mm] f(x) = [mm] f(\alpha [/mm] (x,y)) = [mm] f((\alpha [/mm] x, [mm] \alpha [/mm] y)) = [mm] \alpha x^2 [/mm] + [mm] \alpha y^4 [/mm] = 0 = [mm] \alpha [/mm] f(x)
Habe ich so die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation richtig gezeigt?!
Zu den anderen Aufgaben muss ich mir jetzt noch mal Gedanken machen!
Viele Grüße und vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Sa 09.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich möchte zeigen, dass die folgenden Mengen einen
> Unterraum bilden bzw. keinen Unterraum bilden.
>
> [mm]M_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x = y = 2z}
>
> [mm]M_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{x \\ y} \in \IR^2[/mm] | [mm]x^2 +y^4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0}
>
> [mm]M_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{x+y \\ y^2} \in \IR^2[/mm] | x, y [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> [mm]M_4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { f [mm]\in[/mm] Abb [mm](\IR,\IR)[/mm] | f(x) = f(-x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR}[/mm]
>
> Hallo Leute ich brauch glaube ich Hilfe bei den o. g.
> Aufgaben:
>
> zu [mm]M_1[/mm] :
>
> [mm]M_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x = y = 2z} =
> [mm]{\vektor{2z \\ 2z \\ z} \in \IR^3 | x = y = 2z}[/mm]
Nein. Nach dem ersten "=" muß stehen:
[mm]\{\vektor{2z \\ 2z \\ z} \in \IR^3 | z \in \IR \}[/mm]
Der Rest ist dann O.K.
>
> =z * [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] = [mm]<\vektor{2 \\ 2 \\ 1}>[/mm]
>
> Und nach der Vorlesung ist der Span ein Unterraum. Kann ich
> hier im Fall von [mm]M_1[/mm] so lösen?
>
> zu [mm]M_2[/mm]
>
> Der Nullvektor ist offensichtlich enthalten.
>
> f(x) + f(y) = f(x+y) = f((x,y)) + f(x',y')) = [mm](x+x')^2[/mm] +
> [mm](y+y')^4[/mm] = 0 = f((x,y) + (x',y')) = f((x+x') +(y+y')) =
> (x+x') +(y+y') = 0 = f(x) +f(y)
>
> Zeigt dieser Beweis die Abgeschlossenheit unter Addition?'
Nein . Was soll den f sein ??? Einmal schreibst Du f(x) , dann f((x,y)). Das ist doch Murks !
>
> [mm]f(\alpha[/mm] x) = [mm]\alpha[/mm] f(x) = [mm]f(\alpha[/mm] (x,y)) = [mm]f((\alpha[/mm] x,
> [mm]\alpha[/mm] y)) = [mm]\alpha x^2[/mm] + [mm]\alpha y^4[/mm] = 0 = [mm]\alpha[/mm] f(x)
>
> Habe ich so die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation
> richtig gezeigt?!
Mach Dir klar, dass [mm] M_2 [/mm] nur ein Element enthält, nämlich [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
FRED
>
> Zu den anderen Aufgaben muss ich mir jetzt noch mal
> Gedanken machen!
>
> Viele Grüße und vielen Dank für die Hilfe!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 10.03.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo Danke für den Hinweis! [mm] M_1 [/mm] ist jetzt völlig klar jetzt!
Noch mal zu [mm] M_2:
[/mm]
Sei v,v' [mm] \in M_2
[/mm]
[mm] v=\vektor{x \\ y} [/mm] , [mm] v'=\vektor{x' \\ y'}
[/mm]
f(v+v') = [mm] f(\vektor{x \\ y} +\vektor{x' \\ y'}) [/mm] = [mm] (x+x')^2 [/mm] + [mm] (y+y')^4 [/mm] = 0 = [mm] x^2 [/mm] + x'^2 + [mm] y^4 [/mm] + [mm] y^{'4} [/mm] = 0 = f(v) + f(v')
[mm] f(\alpha [/mm] v) = [mm] f(\vektor{\alpha x \\ \alpha y}) [/mm] = [mm] \alpha x^2 [/mm] + [mm] \alpha y^4 [/mm] = 0 = [mm] \alpha(x^2 [/mm] + [mm] y^4) [/mm] = 0 = [mm] \alpha [/mm] f(v)
Also ist [mm] M_2 [/mm] Unterraum. ist das so korrekt?
Viele Grüße und vielen Dank!
Ich versuche mich jetzt noch an den Anderen Mengen.
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Hallo,
Ich gehe mal davon aus, dass du $f(x,y)$ = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^4$ [/mm] definiert hast.
> Noch mal zu [mm]M_2:[/mm]
>
> Sei v,v' [mm]\in M_2[/mm]
>
> [mm]v=\vektor{x \\
y}[/mm] , [mm]v'=\vektor{x' \\
y'}[/mm]
>
> f(v+v') = [mm]f(\vektor{x \\
y} +\vektor{x' \\
y'})[/mm] = [mm](x+x')^2[/mm]
> + [mm](y+y')^4[/mm] = 0 = [mm]x^2[/mm] + x'^2 + [mm]y^4[/mm] + [mm]y^{'4}[/mm] = 0 = f(v) +
> f(v')
Nein!
Es ist i.A. [mm] $(x+x')^2 [/mm] + [mm] (y+y')^4 \not= x^2 [/mm] + x'^2 + [mm] y^4 [/mm] + y'^4$
(denke an binomische Formeln!)
Vielleicht hast du es anders gemeint, aber wie FRED schon gesagt hat, solltest du viel genauer herausstellen, dass [mm] $M_2 [/mm] = [mm] \{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\}$ [/mm] gilt.
Schreibe:
"Wegen [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x= y = 0$ folgt [mm] $M_2 [/mm] = [mm] \{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\}$.
[/mm]
Damit ist [mm] $M_2$ [/mm] der Nullvektorraum und ein Vektorraum".
Deine Rechnungen sind nur korrekt, weil nur der Nullvektor eingesetzt werden darf.
> [mm]f(\alpha[/mm] v) = [mm]f(\vektor{\alpha x \\
\alpha y})[/mm] = [mm]\alpha x^2[/mm]
> + [mm]\alpha y^4[/mm] = 0 = [mm]\alpha(x^2[/mm] + [mm]y^4)[/mm] = 0 = [mm]\alpha[/mm] f(v)
Nein!
Du müsstest doch schreiben: [mm] $f(\alpha [/mm] x, [mm] \alpha [/mm] y) = [mm] (\alpha x)^2 [/mm] + [mm] (\alpha y)^4 [/mm] = [mm] \alpha^2 x^2 [/mm] + [mm] \alpha^4 y^4$.
[/mm]
Und da kriegst du das [mm] $\alpha$ [/mm] nicht mehr raus.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 10.03.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo vielen Dank für die Hilfe! Ich habe jetzt endlich verstanden, warum nur der Nullvektor enthalten ist.
Die formalen Kriterien des Unterraums, hätte man also mit den Nullelementen zeigen müssen!
Vielen vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo,
> Die formalen Kriterien des Unterraums, hätte man also mit
> den Nullelementen zeigen müssen!
Genau, du hättest es NUR für den Nullvektor zeigen müssen.
also sozusagen $0 + 0 = 0 [mm] \in M_2$ [/mm] und [mm] $\alpha \cdot [/mm] 0 = 0 [mm] \in M_2$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 10.03.2013 | | Autor: | Sauri |
zu [mm] M_3
[/mm]
Der Nullvektor ist enthalten.
Trotzdem ist [mm] M_3 [/mm] kein Unterraum denn:
Sei v [mm] \in M_3, [/mm] v = (x,y) = (1,2)
[mm] \vektor{x+y \\ y^2} [/mm] = [mm] \vektor{1+2 \\ 2^2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4} \notin M_3
[/mm]
Also ist [mm] M_3 [/mm] kein Unterraum.
Ist das so okay?
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Hallo,
> zu [mm]M_3[/mm]
>
> Der Nullvektor ist enthalten.
Ja.
> Trotzdem ist [mm]M_3[/mm] kein Unterraum denn:
>
> Sei v [mm]\in M_3,[/mm] v = (x,y) = (1,2)
>
> [mm]\vektor{x+y \\
y^2}[/mm] = [mm]\vektor{1+2 \\
2^2}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\
4} \notin M_3[/mm]
Das ist falsch. Du hast doch gerade mit der Def. von [mm] $M_3$ [/mm] nachgerechnet, dass [mm] $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} \in M_3$ [/mm] gilt!
(Indem du x = 1, y = 2 gewählt hast).
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Für einen Widerspruch zur Unterraumeigenschaft kannst du zum Beispiel zeigen, dass die Homogenität verletzt ist. Die zweite Komponente der Elemente von [mm] $M_3$ [/mm] ist ja immer [mm] $\ge [/mm] 0$.
Wenn du also $v = [mm] \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} \in M_3$ [/mm] nimmst und [mm] $\alpha [/mm] = -1 [mm] \in \IR$, [/mm] dann müsste auch [mm] $\alpha [/mm] v [mm] \in M_3$ [/mm] gelten. Führe dies zum Widerspruch.
> Also ist [mm]M_3[/mm] kein Unterraum.
Es ist richtig, dass [mm] $M_3$ [/mm] kein Unterraum ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 10.03.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo danke nochmals für die Hilfe! Ich dachte zu erst, dass x und auch y als "eigentliche Werte erhalten bleiben sollen". Also, dass das x = 1 bleiben soll und das y = 2 bleiben soll.
Der Wiederspruch währe dann in etwa: Angenommen [mm] M_3 [/mm] ist ein Unterraum, dann währe dieser unter Skalarer-Multiplikation abgeschlossen und es würde gelten:
[mm] \alpha \vektor{1+2 \\ 2^2} [/mm] = [mm] \alpha \vektor{3 \\ 4}. [/mm] Sei nun [mm] \alpha [/mm] = (-1).
[mm] \vektor{(-1)3 \\ (-1) 4} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4}. [/mm]
Widerspruch nach Voraussetzung ist y [mm] \ge [/mm] 0.
.... ist kein Unterraum.
Danke nochmals für die Hilfe! Ich versuche mich noch an der letzten Aufgabe!
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> Der Wiederspruch währe dann in etwa: Angenommen [mm]M_3[/mm] ist
> ein Unterraum, dann währe dieser unter
> Skalarer-Multiplikation abgeschlossen und es würde
> gelten:
>
> [mm]\alpha \vektor{1+2 \\
2^2}[/mm] = [mm]\alpha \vektor{3 \\
4}.[/mm] Sei
> nun [mm]\alpha[/mm] = (-1).
>
> [mm]\vektor{(-1)3 \\
(-1) 4}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\
-4}.[/mm]
>
> Widerspruch nach Voraussetzung ist y [mm]\ge[/mm] 0.
>
>
> .... ist kein Unterraum.
Hallo,
vielleicht meinst Du es richtig, Deine Argumentation ist aber etwas kraus.
Es ist [mm] \vektor{3\\4}=\vektor{1+2\\2^2}\in M_3.
[/mm]
Wäre [mm] M_3 [/mm] ein UVR, so wäre für jedes [mm] \alpha\in \IR [/mm]
das Produkt [mm] \alpha\vektor{3\\4}=\in M_3, [/mm] also auch für [mm] \alpha=-1.
[/mm]
Es ist aber [mm] (-1)*\vektor{3\\4}=\vektor{-3\\-4}\not\in M_3,
[/mm]
denn es gibt kein [mm] y\in \IR [/mm] mit [mm] y^2=-4<0.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 10.03.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo danke für die Korrektur! Die Formulierung ist natürlich wesentlich eindeutiger!
zu [mm] M_4
[/mm]
Der Nullvektor ist enthalten denn es gilt
0(x) = 0 = 0(-x) = 0.
Dann: f, g [mm] \in Abb(\IR,\IR)
[/mm]
f(x) + g(x) = (f+g)(x) = (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x)
[mm] \alpha [/mm] f(x) = [mm] \alpha [/mm] f(-x)
Also ist [mm] M_4 [/mm] Unterraum.
Viele Grüße und vielen Dank!!!!!
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Hallo,
> zu [mm]M_4[/mm]
>
> Der Nullvektor ist enthalten denn es gilt
> 0(x) = 0 = 0(-x) = 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann: f, g [mm]\in Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> f(x) + g(x) = (f+g)(x) = (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x)
>
> [mm]\alpha[/mm] f(x) = [mm]\alpha[/mm] f(-x)
>
> Also ist [mm]M_4[/mm] Unterraum.
Es ist alles richtig, aber noch etwas "falschrum" aufgeschrieben.
Es muss anhand deines Aufschriebs klar sein, was du zeigen willst und was du benutzt.
Beispielsweise willst du bei der Abgeschlossenheit der Addition zeigen, dass für $f,g [mm] \in M_4$ [/mm] auch $f+g [mm] \in M_4$ [/mm] gilt. Das heißt, am Ende muss dastehen:
z.z.: Für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] gilt: $(f+g)(x) = (f+g)(-x)$
Bei dir oben steht das mitten in der Gleichungskette! Obwohl eben gerade diese Gleichheit bewiesen werden soll. Daher ist es besser, zu schreiben:
$(f+g)(-x) [mm] \overset{Def.}{=} [/mm] f(-x) + g(-x) [mm] \overset{f,g \in M_4}{=} [/mm] f(x) + g(x) [mm] \overset{Def.}{=} [/mm] (f+g)(x)$.
Bei der Homogenität genauso.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 So 10.03.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo, danke für den Hinweis! Beim Aufschreiben muss ich noch ne' Menge üben!
Viele Grüße!
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