Untervektorraum und Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist $ U = [mm] \{ ^t (x_1, ..., x_n): x_1 + ... + x_n = 0 \}$ [/mm]
Zeige, dass U ein Untervektorraum von [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] ist.
Bestimme dim(U). |
Um ein Untervektorraum zu sein, müssen drei Eigenschaften erfüllt sein:
1) U ist nicht die leere Menge.
Da $ v = ^t(0, 0, ..., 0) [mm] \in [/mm] U$, denn $0 + 0 +... +0 = 0$ folgt, dass U nicht die leere Menge sein kann.
2) für $u, v [mm] \in [/mm] U$ gilt: $u + v [mm] \in [/mm] U$.
Sei $u = [mm] ^t(u_1, [/mm] ..., [mm] u_n) \in [/mm] U$ und $v = [mm] ^t(v_1, [/mm] ..., [mm] v_n) \in [/mm] U$.
$u + v = [mm] ^t(u_1+v_1, [/mm] ..., [mm] u_n+v_n)$ [/mm] und
$ [mm] \sum_{i=1}^n ^t(u_i [/mm] + [mm] v_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n ^t(u_i) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n ^t(v_i) [/mm] = 0 + 0 [mm] \in [/mm] U$.
3) Sei $w = [mm] ^t(w_1, [/mm] ..., [mm] w_n) \in [/mm] U$ und $k [mm] \in \mathbb{R}$.
[/mm]
Es ist $k [mm] \cdot [/mm] w = [mm] ^t(kw_1, [/mm] ..., [mm] kw_n)$
[/mm]
also $ [mm] \sum_{i=1}^n ^t(k\cdotv_i) [/mm] = k [mm] \cdot \sum_{i=1}^n ^t(w_i) [/mm] = 0k = 0 [mm] \in [/mm] U$.
4) Bestimme dim(U).
Die Dimension von U ist die Anzahl der Basisvektoren von U.
Ich suche also eine Basis.
Ich suche also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von U.
Ich habe mir kurz ein paar Beispiele überlegt, wie ich U erhalten kann.
Dazu habe ich den Vektor betrachtet:
[mm] $v_1 [/mm] = ^t(1, 0, ..., 0, -1)$
Wobei natürlich auch
[mm] $v_2 [/mm] = ^t(m, 0, ..., 0, -m)$ in Frage kommt.
Sowieso kann m an jeder beliebigen Stelle vorkommen.
Die Vektoren aus U haben nun aber n-Koordinaten.
Wenn ich die n-te Koordinate = -m wähle und die (n-1)-te als +m, d.h.
$ [mm] v_3 [/mm] = ^t(0, 0, ..., +m, -m) [mm] \in [/mm] U$
dann lässt sich das ganze ja bis zur ersten Koordinate "rückwärts fortsetzen":
$ [mm] v_4 [/mm] = ^t(0, 0, ..., +m, -m, 0) [mm] \in [/mm] U$ usw.
irgendwann:
$ v_? = ^t(+m, -m, 0, ..., 0) [mm] \in [/mm] U$.
Das wären dann "n-1" Vektoren.
Und mit
$ w = ^t(-m, 0, ..., 0, m)$ ?
Sind es "n"-Basisvektoren.
D.h.: Mit n-Basisvektoren ist dim(U) = n?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist [mm]U = \{ ^t (x_1, ..., x_n): x_1 + ... + x_n = 0 \}[/mm]
> Zeige, dass U ein Untervektorraum von [mm]\mathbb{R}^n[/mm] ist.
> Bestimme dim(U).
> Um ein Untervektorraum zu sein, müssen drei Eigenschaften
> erfüllt sein:
>
> 1) U ist nicht die leere Menge.
> Da [mm]v = ^t(0, 0, ..., 0) \in U[/mm], denn [mm]0 + 0 +... +0 = 0[/mm]
> folgt, dass U nicht die leere Menge sein kann.
>
> 2) für [mm]u, v \in U[/mm] gilt: [mm]u + v \in U[/mm].
>
> Sei [mm]u = ^t(u_1, ..., u_n) \in U[/mm] und [mm]v = ^t(v_1, ..., v_n) \in U[/mm].
>
> [mm]u + v = ^t(u_1+v_1, ..., u_n+v_n)[/mm] und
> [mm]\sum_{i=1}^n ^t(u_i + v_i) = \sum_{i=1}^n ^t(u_i) + \sum_{i=1}^n ^t(v_i) = 0 + 0 \in U[/mm].
>
> 3) Sei [mm]w = ^t(w_1, ..., w_n) \in U[/mm] und [mm]k \in \mathbb{R}[/mm].
>
> Es ist [mm]k \cdot w = ^t(kw_1, ..., kw_n)[/mm]
> also [mm]\sum_{i=1}^n ^t(k\cdotv_i) = k \cdot \sum_{i=1}^n ^t(w_i) = 0k = 0 \in U[/mm].
>
> 4) Bestimme dim(U).
>
> Die Dimension von U ist die Anzahl der Basisvektoren von
> U.
> Ich suche also eine Basis.
> Ich suche also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
> von U.
>
> Ich habe mir kurz ein paar Beispiele überlegt, wie ich U
> erhalten kann.
> Dazu habe ich den Vektor betrachtet:
> [mm]v_1 = ^t(1, 0, ..., 0, -1)[/mm]
> Wobei natürlich auch
> [mm]v_2 = ^t(m, 0, ..., 0, -m)[/mm] in Frage kommt.
> Sowieso kann m an jeder beliebigen Stelle vorkommen.
>
> Die Vektoren aus U haben nun aber n-Koordinaten.
> Wenn ich die n-te Koordinate = -m wähle und die (n-1)-te
> als +m, d.h.
> [mm]v_3 = ^t(0, 0, ..., +m, -m) \in U[/mm]
> dann lässt sich das ganze ja bis zur ersten Koordinate
> "rückwärts fortsetzen":
> [mm]v_4 = ^t(0, 0, ..., +m, -m, 0) \in U[/mm] usw.
> irgendwann:
> [mm]v_? = ^t(+m, -m, 0, ..., 0) \in U[/mm].
>
> Das wären dann "n-1" Vektoren.
> Und mit
> [mm]w = ^t(-m, 0, ..., 0, m)[/mm] ?
Nein . $w$ ist ein Vielfaches von [mm] v_1 [/mm] !
> Sind es "n"-Basisvektoren.
>
> D.h.: Mit n-Basisvektoren ist dim(U) = n?
Das kann ja nicht sein. Dann wäre ja [mm] U=\IR^n [/mm] !!!
FRED
>
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Hi Fred!
Das hat mich eben auch verwundert.
Ich habs zwar etwas dumm aufgeschrieben, aber meine Zählung rückwärts beginnt ja eigentlich erst bei
[mm] $v_3§, [/mm] also war [mm] $v_1$ [/mm] noch nicht mit einbezogen, d.h. ich brauche $w$ doch?
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Hallo,
es geht gerade um die Dimension von U = [mm] \{ ^t (x_1, ..., x_n): x_1 + ... + x_n = 0 \}?
[/mm]
In U sind alle vektoren [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_n}, [/mm] die von dieser Bauart sind:
[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_n}=\\vektor{x_1\\\vdots\\x_{n-1}\\-x_1-x_2-x_3...-x_{n-1}}=x_1\vektor{1\\0\\\vdots\\0\\-1}+x_2\vektor{0\\1\\0\\\vdots\\0\\-1}+ x_3*\vektor{\vdots \\\vdots\\\vdots} +...+x_{n-1}\vektor{0\\\vdots\\0\\1\\-1}
[/mm]
Nun überleg Dir ein Erzeugendensystem, überleg Dir, daß es linear unabhängig ist, und sag die Dimension.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 03.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Zur Dimension von U:
Wir verallgemeinern: seien [mm] a_1,...,a_n \in \IR [/mm] und es sei [mm] a_j \ne [/mm] 0 für ein j [mm] \in \{1,...,n\}.
[/mm]
Es sei [mm] $U:=\{(x_1,...,x_n) \in \IR^n: a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=0 \}$
[/mm]
Definiere [mm] $f:\IR^n \to \IR$ [/mm] durch:
[mm] f(x_1,...,x_n):=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n.
[/mm]
Dann ist U ein Untervektorraum des [mm] \IR^n, [/mm] f ist linear und $U=Kern(f)$.
Nach dem Dimensionssatz ist
$n= [mm] \dim \IR^n= \dim [/mm] Kern(f)+ [mm] \dim [/mm] Bild(f)$
Wegen [mm] a_j \ne [/mm] 0 ist f nicht die Nullabbildung, also ist $ [mm] \dim [/mm] Bild(f)=1$ und somit ist
[mm] $\dim [/mm] U= [mm] \dim [/mm] Kern(f)=n-1$
FRED
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Vielen Dank für diesen ausführlichen Beitrag! :)
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