Untervektorraum prüfen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | R[X] ist der Polynomring und b soll eine beliebige reelle Zahl sein. Folgende Teilmengen von R[X] existieren:
[mm] V_1={f(X)\in \IR[X] | gradf(X)\le 3, f(b)=0}
[/mm]
[mm] V_2={f(X)\in \IR[X] | gradf(X)=5, f(b)=0}
[/mm]
(grad 0= [mm] -\infty)
[/mm]
Sind [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] Unterräumen von [mm] \IR[X]? [/mm] |
Also..ich muss für [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] nachweisen, dass
[mm] *v_1+v_2\in V_1 [/mm] ist (hier mal nur für [mm] V_1 [/mm] betrachtet, für [mm] V_2 [/mm] natürlich genauso.)
* bei b eine Nullstelle ist
*Multiplikation mit Skalar
Meine Frage ist jetzt, ob ich für [mm] V_1 [/mm] einfach 2 beliebige Polynome wählen kann, z.B:
[mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
[mm] (a-e)x^3+(b-f)x^2+(c-g)x+(d+h)
[/mm]
Die muss ich addieren und erhalte:
[mm] (2a-e)x^3+(2b-f)x^2+(2c-g)x+(2d+h)
[/mm]
also liegt immernoch grad [mm] \le [/mm] 3 vor
Dann muss ich noch nachweisen, (f+g)(b)=0 also dass die Summe der Polynome bei b eine Nullstelle hat, wenn ich in beide Gleichungen für b den wert Null einsetze:
[mm] ax^3+0x^2+cx+d
[/mm]
[mm] (a-e)x^3+(0)x^2+(c-g)x+(d+h)
[/mm]
[mm] (2a-e)x^3+(0)x^2+(2c-g)x+(2d+h)
[/mm]
Die Nullstelle bei b ist auch in der Summe vorhanden.
Nun noch die Multiplikation mit dem Skalar:
[mm] \lambda ax^3+\lambda bx^2+\lambda cx+\lambda [/mm] d
[mm] \lambda (a-e)x^3+\lambda (b-f)x^2+\lambda (c-g)x+\lambda [/mm] (d+h)
[mm] \lambda(2a-e)x^3+\lambda (2b-f)x^2+\lambda (2c-g)x+\lambda [/mm] (2d+h)
demnach ist [mm] V_1 [/mm] ein Untervektorraum von [mm] \IR[X].
[/mm]
Bei [mm] V_2 [/mm] mit grad 5 ist das doch nicht erfüllt. oder? wegen der Nullstelle bei b ist [mm] V_1 [/mm] erfüllt wegen grad [mm] \le [/mm] 3 aber bei [mm] V_2 [/mm] ist doch grad =5 ,also würde dass ja nicht mehr erfüllt sein, wenn b Nullstelle ist oder?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> R[X] ist der Polynomring und b soll eine beliebige reelle
> Zahl sein. Folgende Teilmengen von R[X] existieren:
>
> [mm]V_1={f(X)\in \IR[X] | gradf(X)\le 3, f(b)=0}[/mm]
> [mm]V_2={f(X)\in \IR[X] | gradf(X)=5, f(b)=0}[/mm]
>
> (grad 0= [mm]-\infty)[/mm]
>
> Sind [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2[/mm] Unterräumen von [mm]\IR[X]?[/mm]
>
>
>
> Also..ich muss für [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2[/mm] nachweisen, dass
> [mm]*v_1+v_2\in V_1[/mm] ist (hier mal nur für [mm]V_1[/mm] betrachtet, für
> [mm]V_2[/mm] natürlich genauso.)
>
> * bei b eine Nullstelle ist
> *Multiplikation mit Skalar
>
> Meine Frage ist jetzt, ob ich für [mm]V_1[/mm] einfach 2 beliebige
> Polynome wählen kann, z.B:
>
> [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> [mm](a-e)x^3+(b-f)x^2+(c-g)x+(d+h)[/mm]
>
> Die muss ich addieren und erhalte:
> [mm](2a-e)x^3+(2b-f)x^2+(2c-g)x+(2d+h)[/mm]
>
> also liegt immernoch grad [mm]\le[/mm] 3 vor
Ja
>
> Dann muss ich noch nachweisen, (f+g)(b)=0 also dass die
> Summe der Polynome bei b eine Nullstelle hat, wenn ich in
> beide Gleichungen für b den wert Null einsetze:
> [mm]ax^3+0x^2+cx+d[/mm]
> [mm](a-e)x^3+(0)x^2+(c-g)x+(d+h)[/mm]
Du meine Güte, da hast Du aber gewaltig was in den falschen Hals bekommen !!!
Mit dem b in der Aufgabenstellung ist nicht der Koeefizient vor [mm] x^2 [/mm] gemeint !!!!
>
> [mm](2a-e)x^3+(0)x^2+(2c-g)x+(2d+h)[/mm]
> Die Nullstelle bei b ist auch in der Summe vorhanden.
>
> Nun noch die Multiplikation mit dem Skalar:
> [mm]\lambda ax^3+\lambda bx^2+\lambda cx+\lambda[/mm] d
> [mm]\lambda (a-e)x^3+\lambda (b-f)x^2+\lambda (c-g)x+\lambda[/mm]
> (d+h)
> [mm]\lambda(2a-e)x^3+\lambda (2b-f)x^2+\lambda (2c-g)x+\lambda[/mm]
> (2d+h)
>
> demnach ist [mm]V_1[/mm] ein Untervektorraum von [mm]\IR[X].[/mm]
> Bei [mm]V_2[/mm] mit grad 5 ist das doch nicht erfüllt. oder?
Liegtr das Nullpolynom in [mm] V_2 [/mm] ?
FRED
> wegen der Nullstelle bei b ist [mm]V_1[/mm] erfüllt wegen grad [mm]\le[/mm]
> 3 aber bei [mm]V_2[/mm] ist doch grad =5 ,also würde dass ja nicht
> mehr erfüllt sein, wenn b Nullstelle ist oder?
>
>
>
> Mathegirl
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Wie ist das denn sonst gemeint mit f(b)=0?
Kannst du mir das bitte kurz erklären?
Ist die Multiplikation mit dem Skalar soweit korrekt?
Nein, das Nullpolynom dürfte soweit ich weiß nhicht in [mm] V_2 [/mm] liegen. Aber das ist auch nur mehr geraten als verstanden.
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie ist das denn sonst gemeint mit f(b)=0?
Du klebst an eingefahrenen Bezeichnungen ! Ein Polynom mit Grad [mm] \le [/mm] 3 kannst Du auch so bezeichnen:
$ [mm] f_{FRED}(x)= Otto*x^3+Barby*x^2+Jens*x+ [/mm] Mathegirl$
Wobei Otto, Barby, Jens und Mathegirl reelle Zahlen sind.
Was bedeutet f(b)=0 ? Hier ist b eine feste relle Zahl .
Es gilt: [mm] f_{FRED} \in V_1 \gdw f_{FRED}(b)=0 \gdw $0=Otto*b^3+Barby*b^2+Jens*b+ [/mm] Mathegirl$
> Kannst du mir das bitte kurz erklären?
>
> Ist die Multiplikation mit dem Skalar soweit korrekt?
>
> Nein, das Nullpolynom dürfte soweit ich weiß nhicht in
> [mm]V_2[/mm] liegen. Aber das ist auch nur mehr geraten als
> verstanden.
Gibts das ? hat das Nullpolynom den Grad 5 ?
FRED
>
> Mathegirl
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das Nullpolynom hat den Grad 1. deshalb gilt es auch für grad [mm] \le [/mm] 3, weil es ja nicht grad 5 sein muss sondern nur gleich oder kleiner.
aber dann wäre bei grad [mm] \le [/mm] 3 das nullpolynom [mm] -\infty [/mm] so wie es in der aufgabenstellung def. wurde.
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> das Nullpolynom hat den Grad 1. deshalb gilt es auch für
> grad [mm]\le[/mm] 3, weil es ja nicht grad 5 sein muss sondern nur
> gleich oder kleiner.
Ist das die Möglichkeit ?
Manchmal glaube ich, Du willst uns veräppeln.
Was steht in der Aufgabenstellung ? Das: (grad 0= $ [mm] -\infty) [/mm] $
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> aber dann wäre bei grad [mm]\le[/mm] 3 das nullpolynom [mm]-\infty[/mm] so
> wie es in der aufgabenstellung def. wurde.
Ja was jetzt ?
Es ging darum , ob [mm] V_2 [/mm] ein Vektorraum ist. Wenn ja, so müßte [mm] V_2 [/mm] das Nullpolynom enthalten. Somit müßte das Nullpolynom den Grsd 5 haben. Ist das so ?
FRED
>
> mathegirl
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Nein, [mm] V_2 [/mm] ist kein UVR, weil er das Nullpolynom nicht enthält.
Daraufhin wollte ich nur wissen ob das stimmt oder nicht!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 16.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathegirl,
> Nein, [mm]V_2[/mm] ist kein UVR, weil er das Nullpolynom nicht
> enthält.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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Aber nochmal eine Frage zur Multiplikation mit [mm] \lambda:
[/mm]
ich habe ja für grad [mm] \le [/mm] 3:
[mm] ax^3+bx^2+c^x+d
[/mm]
[mm] kx^3+lx^2+mx+n
[/mm]
multipliziere ich beide polynome mit [mm] \lambda [/mm] und addiere sie oder multipliziere ich das erste polynom mit [mm] \lambda [/mm] und das zweite mit [mm] \mu [/mm] und was genau mache ich dann?
Mathegirl
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> Aber nochmal eine Frage zur Multiplikation mit [mm]\lambda:[/mm]
>
> ich habe ja für grad [mm]\le[/mm] 3:
>
> [mm]ax^3+bx^2+c^x+d[/mm]
> [mm]kx^3+lx^2+mx+n[/mm]
>
> multipliziere ich beide polynome mit [mm]\lambda[/mm] und addiere
> sie oder multipliziere ich das erste polynom mit [mm]\lambda[/mm]
> und das zweite mit [mm]\mu[/mm] und was genau mache ich dann?
Hallo,
kannst Du genau sagen, was Du gerade zeigen willst?
Die Abgeschlossenheit der beiden Verknüpfungen?
Falls ja:
Für die Abgeschlossenheit der Addition addierst Du beide und zeigst, daß sich wieder ein Polynom vom Höchstgrad 3 ergibt.
Für die Abgeschlaossenheit der Multiplikation multiplizierst Du eins der Polynome mit [mm] \lambda\in \IR [/mm] und zeigst, daß sich wieder ein Polynom vom Höchstgrad 3 ergibt.
Gruß v. Angela
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>
> Mathegirl
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