Untervektorraum äquivalenz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Michi00 |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IK [/mm] Vektorraum und U ein UVR. Zeigen Sie:
(i) v+U = w+U gdw v-w [mm] \in [/mm] U
(ii) aus v+U=v'+U und w+U=w'+U folgt (v+w)+U=(v'+w')+U
(iii) aus v+U=v'+U folgt für [mm] \lambda \in \IK [/mm] , das [mm] \lambda [/mm] v+U = [mm] \lambda [/mm] v'+U |
für (i) hab ich folgenden Ansatz versucht
v+U={v+u|u [mm] \in [/mm] U}
w+U={w+u|u [mm] \in [/mm] U}
Sei v+U+w={v+u-w|u [mm] \in [/mm] U} [mm] \in [/mm] U => v-w [mm] \in [/mm] U
erscheint mir aber etwas arg Kurz und auf falsch. Im Skript ist diese Schreibweise in Verbindung mit Äquivalenzrelationen/Klassen aber wüsste nicht wie ich das jetzt bestimmen soll.
Wenn der Ansatz so richtig ist kann ich das glaube ich auch für den Rest zeigen, falls der Ansatz falsch ist bräuchte ich einen Ansatz :)
Lg Michi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mi 14.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Michi,
> für (i) hab ich folgenden Ansatz versucht
> v+U=$\{$v+u|u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U$\}$
> w+U=$\{$w+u|u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U$\}$
Ja.
> Sei v+U$\red{+}$w=$\{$v+u$\red{-}$w|u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U$\}$
Hast du dich hier irgendwo verschrieben? Die rot markierten Zeichen passen nicht recht zueinander.
> [mm]\in[/mm] U
Du meinst wohl: [mm] $\subseteq [/mm] U$. Warum?
=> v-w [mm]\in[/mm] U
Warum?
Zu zeigen ist eine "genau dann, wenn"-Aussage. Dazu sind zwei Richtungen separat zu zeigen.
Für die Hin-Richtung betrachte mal [mm] $v=v+0\in [/mm] v+U=w+U$, d.h. ...
Für die Rück-Richtung zeige die Gleichheit der beiden Mengen $v+U$ und $w+U$, indem du nacheinander [mm] $v+U\subseteq [/mm] w+U$ und [mm] $w+U\subseteq [/mm] v+U$ zeigst. Wie man solche Teilmengenbeziehungen zeigt, habe ich hier (klick) erklärt.
> Wenn der Ansatz so richtig ist kann ich das glaube ich auch
> für den Rest zeigen, falls der Ansatz falsch ist bräuchte
> ich einen Ansatz :)
Du kannst (ii) und (iii) relativ unabhängig von (i) bearbeiten, solltest aber dabei die Behauptung von (i) verwenden.
Viele Grüße
Tobias
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