Untervektorraum - Vereinigung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Sa 07.05.2005 | | Autor: | zoe |
Ich fange an zu nerven ... aber die UVR´s beschäftigen einen doch gar sehr. In meinem Lehrbuch steht (sinngemäß), dass zwei Vektoren, die jeweils ein UVR (Untervektorraum) sind, addiert, wieder einen Untervektorraum ergeben. Gelernt und gespeichert.
Nun hänge ich an der folgenden Aufgabe:
Man soll zeigen, dass die VEREINIGUNG von zwei Vektoren kein UVR ist?
[mm] \partial_{1}={(2 \lambda, -7\lambda, \lambda) / \lambda \varepsilon R}
[/mm]
[mm] \partial_{2}={( \nu, 3\nu, -\nu) / \nu \varepsilon R}
[/mm]
Beide Vektoren sind tatsächlich laut Unterraumkriterium ein UVR. Wenn ich beide addiere, dann ist das Nullelement in dieser Menge enthalten (bei [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \nu=0), [/mm] bezüglich Addition und Multiplikation abgeschlossen.
Hmm .. und nun? Ich kann nur zeigen, dass es ein UVR ist .. aber insgeheim denke ich, dass da irgendwo ein Pferdefuß versteckt ist.
Ich habe dann einmal beide Gleichungen addiert und Null gesetzt, da ist dann für [mm] \lambda \wedge \nu \not=0 [/mm] raugekommen, dass es bei der Lösung einen Widerspruch ergibt. Aber das hat mich auch nicht wirklich weitergebracht.
Liebe Grüße von verwirrt zoe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe zoe
> Ich fange an zu nerven ... aber die UVR´s beschäftigen
> einen doch gar sehr. In meinem Lehrbuch steht (sinngemäß),
> dass zwei Vektoren, die jeweils ein UVR (Untervektorraum)
> sind, addiert, wieder einen Untervektorraum ergeben.
> Gelernt und gespeichert.
Das hast du entweder nicht ganz richtig gelernt, oder dann nicht richtig gespeichert!
Nein es sollte eher etwa so sein: Wenn zwei Vektoren in einem (gemeinsamen) Untervektorraum sind, dann ist auch die Summe dieser beiden Vektoren in diesem Untervektorraum.
Stelle dir das einfach bildlich so vor, im 3-dimensionalen Koordinatensystem. Die x-y-Ebene ist zum Beispiel ein Unterraum des 3-dimensionalen Raumes.
Wenn du zwei beliebige Vektoren nimmst, die im gegebenen Untervektorraum liegen, also in unserem Beispiel in der x-y-Ebene, dann liegt auch die Summe dieser beiden Vektoren in der x-y-Ebene, also in gleichen Untevektorraum.
>
> Nun hänge ich an der folgenden Aufgabe:
>
> Man soll zeigen, dass die VEREINIGUNG von zwei Vektoren
> kein UVR ist?
>
> [mm]\partial_{1}={(2 \lambda, -7\lambda, \lambda) / \lambda \varepsilon R}[/mm]
>
> [mm]\partial_{2}={( \nu, 3\nu, -\nu) / \nu \varepsilon R}[/mm]
>
> Beide Vektoren sind tatsächlich laut Unterraumkriterium ein
> UVR. Wenn ich beide addiere, dann ist das Nullelement in
> dieser Menge enthalten (bei [mm]\lambda=0[/mm] und [mm]\nu=0),[/mm]
> bezüglich Addition und Multiplikation abgeschlossen.
>
Kannst du davon auch einmal ein Bild anfertigen, im 3-dimensionalen Anschaungsraum? Dann siest du, dass jeder Vektor, für sich genommen, zusammen mit den Summen (aber auch nur mit sich selber) je eine Gerade bilden!
Die Vereinigung dieser beiden Geraden besteht aber nur aus zwei einzelnen Geraden.
Unterräume können aber nur die folgenden Gestalten haben:
- Der Nullvektor alleine.
- Eine Gerade durch den Nullpunkt.
- Eine Ebene durch den Nullpunkt.
- Der ganze 3-dimensionale Raum.
Deine beiden Geraden, als Vereinigung gesehen, sind aber keines von all diesem!
Du kannst rechnerisch natürlich auch einfach die Summe der beiden Vektoren bilden. Diese Summe liegt dann weder auf der einen noch auf der anderen Geraden, sondern irgendwo dazwischen.
Wenn die Geraden zufälligerweise in die gleiche Richtung zeigen würden, dann bildete auch die Vereinigungsmenge einen Unterraum.
Man definiert aber demnächst in eurer Theorie den sogenannten Summenraum. Das ist nicht die Vereinigung von zwei Unterräumen, sondern besteht aus allen möglichen Summen, die sich aus den gegebenen Vektoren bilden lassen (jetzt also wild gemischt). In unserem Beispiel wäre das dann jene Ebene, in der beide Geraden liegen, die also gewissermassen von den beiden Geraden aufgespannt wird.
War das einigermassen verständlich?
Wenn nicht, dann meldest du dich einfach wieder, ja?
Mit lieben Grüssen und eine gute Nacht wünschend:
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 So 08.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Nein es sollte eher etwa so sein: Wenn zwei Vektoren in
> einem (gemeinsamen) Untervektorraum sind, dann ist auch die
> Summe dieser beiden Vektoren in diesem Untervektorraum.
Er hat es richtig gespeichert. Mann kann die Summe von zwei Unterräumen bilden, in dem man jeden Vektor aus dem einen mit den anderen addiert. Was herauskommt ist dann die Summe von Unterräumen. (kann man jedenfalls so nennen
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 So 08.05.2005 | | Autor: | zoe |
Tja, dann bin ich also so schlau wie vorher, auch wenn mir die Erklärung von Paulus als ziemlich schlüssig erscheint.
Mein Problem ist aber, wie ich das mathematisch nachweise ..
[mm] U_{1} \cup U_{2} [/mm] ist bei mir einfach die Addition der beiden Vektoren. Da könnte ich ein GLS bilden mit
[mm] x_{1}= [/mm] 2 [mm] \lambda+\nu
[/mm]
[mm] x_{2}= [/mm] -7 [mm] \lambda [/mm] + 3 [mm] \nu
[/mm]
[mm] x_{3}= \lambda [/mm] - [mm] \nu
[/mm]
Was ich dann aber mit der Gleichung, die ich dann erhalte, anstelle, weiß ich nicht.
Kann jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße von "die" zoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 So 08.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Tja, dann bin ich also so schlau wie vorher, auch wenn mir
> die Erklärung von Paulus als ziemlich schlüssig erscheint.
Er hat doch auch passende Gegenbeispiele zur Behauptung gegeben.
> [mm]U_{1} \cup U_{2}[/mm] ist bei mir einfach die Addition der
> beiden Vektoren.
Das sit wohl nur bei dir so. Bei mir - und hoffentlich jedem anderen - ist das die vereinigung zweier Mengen.
> Was ich dann aber mit der Gleichung, die ich dann erhalte,
> anstelle, weiß ich nicht.
Ich verstehe nicht, was du damit machen willst.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 08.05.2005 | | Autor: | zoe |
Tut mir leid SEcki, dass ich das anscheinend falsch interpretiert habe und meine mathematischen Gedanken nicht ganz so mathematisch sind :-( ..
Gehe ich nun recht in der Annahme (frei nach Robert Lemke), dass mein Lösungsweg komplett falsch ist?
Ich habe beide Vektoren miteinander addiert und diese als Lösung eines GLS angesehen. Dann habe ich mir daraus ein GLS gebildet (mit einer Gleichung, da zwei Variablen vorkommen) und dann jeweils die beiden gegebenen Vektoren eingesetzt.
Da weder der eine noch der andere Vektor mit diesem GLS eine Lösung ergaben, habe ich das als Beweis angesehen, dass beide Vektoren zwar unabhängig ein UVR von [mm] R^{3} [/mm] sind, aber beide nicht in der Vereinigung enthalten sind.
Das war zumindest das, was ich mir aus der Erklärung von Paulus zusammenreimen konnte .. aber wie schon gesagt, ich hatte diese Erklärung zwar verstanden, wußte aber nicht, wie ich mathematisch, also rechnerisch damit umgehen konnte.
Liebe Grüße von zoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 08.05.2005 | | Autor: | taura |
Hi Zoe!
Ich versteh zwar nicht hunterprozentig was genau du machst, aber es hört sich nicht ganz richtig an, vor allem weil es eigentlich einfacher geht.
Überleg dir mal, was man für einen Unterraum zeigen muss. Nun sollst du zeigen, dass die Vereinigung kein Unterraum ist, also dass eins dieser Axiome verletzt ist. Dann schau dir die Definition der Vereinigung nochmal an (siehe meinen vorherigen Beitrag in diesem Thread) und überlege dir, was hier schiefgeht. Tipp: schau dir an, was passiert, wenn du zwei Elemente addierst.
Wenn du nicht weiterkommst, meld dich nochmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 08.05.2005 | | Autor: | taura |
Hi Zoe!
Also, die Vereinigung von zwei Mengen (in diesem Fall Untervektorräumen) ist folgendermaßen definiert:
[mm]W_1\cup W_2=\{v\in V|v\in W_1 \vee v\in W_2\}[/mm]
Damit sind deine Gleichungen nicht richtig, was du vielleicht meinst, ist der Summenraum, der definiert ist als:
[mm] W_1+W_2=\{v\in V|\exists_{w_1\in W_1, w_2 \in W_2}: v=w_1+w_2\}[/mm]
Die obere Menge ist im allgemeinen kein Unterraum, die untere schon. Schau dir die Definitionen nochmal an, dann erkennst du sicherlich den Unterschied, wenn nicht dann frag einfach nochmal nach.
|
|
|
|
