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Hallo ich habe hier einige Aufgaben zu Untervektorräumen!
Beispiel V={(x1,x2,x3)R^3Ix1+x2+x3=0}
Nun wie genau mache ich das (ich versuche es mal!)
1) V ungleich leere Menge, da V Teilmenge von R ist!
2)
Nun das Problem nach ( https://matheraum.de/read?t=22898&v=t ) verstehe ich das wohl noch, aber leider hatten wir folgenden Formel
a,b R und v,w V
av+bwV (damit V ein Untervektorraum von [mm] R^3 [/mm] ist)
also:
a(v1,v2,v3)+b(w1,w2,w3)
=
(av1,av2,av3)+(bw1,bw2,bw3)
=
?????
so wie beweise ich jetzt, dass das von V ist?
Hoffentlich kann mir wer helfen.
PS: Und ich würde wohl auch noch einen Tipp annehmen  für die Aufgabe
[mm] V={(x1,x2,x3)R^3I(x1+x2+x3)^2=0}
[/mm]
Danke, danke, danke
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Schon der Anfang ist falsch. [mm]V[/mm] ist nicht deshalb leer, weil es Teilmenge des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] ist, sondern weil es Elemente enthält, z.B. [mm]\left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , -1 \right)[/mm].
Für die Abgeschlossenheit mußt du von zwei Elementen aus [mm]V[/mm] ausgehen, meinetwegen
[mm]v = (v_1 , v_2 , v_3), \ w = (w_1 , w_2 , w_3)[/mm]
Und gerade weil sie in [mm]V[/mm] liegen, darfst du - beachte die Definition von [mm]V[/mm]! - annehmen:
[mm]v_1 + v_2 + v_3 = 0 , \ w_1 + w_2 + w_3 = 0[/mm]
Und jetzt mußt du nachweisen, daß auch für [mm]av + bw[/mm] ([mm]a,b \in \mathbb{R}[/mm]) gilt: Die Koordinatensumme ist Null.
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Danke, aber so ziemlich den Geistesblitz hatte ich eben auch.
Die Formel av+bwV besagt also, dass ich zwei Vektoren im [mm] R^n [/mm] irgendwie stauchen oder strecken kann und diese dann miteinander addiert immer noch im neuen Vektorraum liegen (also im Untervektorraum, da x1,x2,x3 [mm] R^n [/mm] sind)! Mal ganz dumm gesagt (zum Vorstellen).
Noch einmal algemein gefragt: Ich habe also (immer) ein n-Tupel an Vektoren aus einen Vektorraum, die unter einer bestimmten Bedingung einen neuen Unter-Vektorraum bilden.
In einer weiteren Aufgabe habe ich als Bedingung [mm] x1^2+x2^2+x3^2=0!
[/mm]
Im Endeffekt würde ich also Testen, ob die Gleichung
[mm] a(y1^2+y2^2+y3^2)+b(z1^2+z2^2+z3^2)=0 [/mm] allgemein gültig wäre. (In diesem Fall wohl ja, a*o+b*0 bei beliebigen a,b immer noch 0 ergeben würde)!
So habe ich jetzt alles verdreht oder verstehe ich es jetzt? Schon mal danke"!!!
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Aus deinen Reden werde ich nicht ganz klug. Es könnte sein, daß du verstanden hast, worum es geht. Es könnte aber auch nicht sein, da du dich recht unklar ausdrückst.
Jedenfalls ist der zweite Teil der Aufgabe nicht richtig gelöst. Du müßtest praktisch zeigen:
[mm]\left( a y_1 + b z_1 \right)^2 + \left( a y_2 + b z_2 \right)^2 + \left( a y_3 + b z_3 \right)^2 = 0[/mm]
[Ironie]Der Beweis dürfte allerdings recht schwierig sein.[/Ironie]
Nachtrag:
Übrigens heißt es in deinem ersten Beitrag [mm](x_1 + x_2 + x_3)^2 = 0[/mm]. Ist das jetzt hier eine weitere Aufgabe oder gehst du mit Potenzen und Klammern recht freizügig um?
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