Untervektorräume von Q^3 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen sind Untervektorräume von [mm] \IQ^3:
[/mm]
M1 = {(x,y,z) ∈ [mm] \IQ^3 [/mm] | [mm] x\*y-z [/mm] =0 }
M2 = {(x,y,z) ∈ [mm] \IQ^3 [/mm] | [mm] x\ge0,y\ge0,z\ge0}
[/mm]
M3 = {(x,y,z) ∈ [mm] \IQ^3 [/mm] | [mm] x^2-y=0}
[/mm]
M4 = {(x,y,z) ∈ [mm] \IQ^3 [/mm] |x+2y=3z} |
Meine Frage ist ob ich richtig liege:
M1 ist kein Untervektorraum von [mm] \IQ^3 [/mm] da U1+U2 kein Element von [mm] \IQ^3 [/mm] ist.
M2 ist kein Untervektorraum von [mm] \IQ^3 [/mm] da [mm] \lambda \*U_{1} [/mm] < 0 ist wenn z.b [mm] \lambda=-1 [/mm] ist und [mm] U_{1}=(2,1,1) [/mm] ist.
M3 ist ein Untervektorraum von [mm] \IQ^3 [/mm] da M3 nicht leer ist, die Addition abgeschlossen ist und die Skalare Multiplikation ebenfalls.
M4 ist ein Untervektorraum von [mm] \IQ^3 [/mm] da M3 nicht leer ist, die Addition abgeschlossen ist und die Skalare Multiplikation ebenfalls.
Stimmt das oder habe ich mich vertan?
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Welche der folgenden Teilmengen sind Untervektorräume von
> [mm]\IQ^3:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> M1 = {(x,y,z) ∈ [mm]\IQ^3[/mm] | [mm]x\*y-z[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=0 }
> M2 = {(x,y,z) ∈ [mm]\IQ^3[/mm] | [mm]x\ge0,y\ge0,z\ge0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> M3 = {(x,y,z) ∈ [mm]\IQ^3[/mm] | [mm]x^2-y=0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> M4 = {(x,y,z) ∈ [mm]\IQ^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|x+2y=3z}
> Meine Frage ist ob ich richtig liege:
> M1 ist kein Untervektorraum von [mm]\IQ^3[/mm] da U1+U2 kein
> Element von [mm]\IQ^3[/mm] ist.
Hallo,
wenn man nun wüßte, was [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] darstellen sollen...
Sicher möchtest Du uns sagen, daß die Summe zweier Elemente aus [mm] M_1 [/mm] nicht immer in [mm] M_1 [/mm] liegt.
Wir glauben das nur, wenn Du uns (ganz konkret, mit Zahlen) zwei Elemente zeigst, bei denen das nicht klappt.
> M2 ist kein Untervektorraum von [mm]\IQ^3[/mm] da [mm]\lambda \*U_{1}[/mm] <
> 0 ist wenn z.b [mm]\lambda=-1[/mm] ist und [mm]U_{1}=(2,1,1)[/mm] ist.
Ja, dieses Zahlenbeispiel hat Überzeugungskraft.
> M3 ist ein Untervektorraum von [mm]\IQ^3[/mm] da M3 nicht leer ist,
> die Addition abgeschlossen ist
Was genau meinst Du damit?
Hast Du's mal an ein paar Beispielen getestet?
> und die Skalare
> Multiplikation ebenfalls.
> M4 ist ein Untervektorraum von [mm]\IQ^3[/mm] da M3 nicht leer ist,
> die Addition abgeschlossen ist und die Skalare
> Multiplikation ebenfalls.
Das sind Behauptungen, die Du (Deinen Chefs) vorrechnen müßtest.
Daß es ein UVR ist, stimmt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Also als [mm] U_{1} [/mm] mein ich:
[mm] U_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})
[/mm]
Zu M3:
Wenn man den Vektor V=(0,0,0) nimmt würde man beweisen das M3 [mm] \not=\emptyset [/mm] ist und somit schon mal ein Kriterium für die Untervektorräume beweisen
Das zweite Kriterium ist das der vollendeten Addition:
Betrachte: [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] mit [mm] U_{1}: x_{1}^2=y_{1} [/mm] und [mm] U_{2}: x_{2}^2=y_{2}
[/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] x_{1}^2+x_{2}^2=y_{1}+y_{2}
[/mm]
für [mm] y_{1} [/mm] setzen wir [mm] x_{1}^2 [/mm] ein für für [mm] y_{2} [/mm] setzen wir [mm] x_{2}^2 [/mm] ein und beweisen damit das die Addition vollendet ist.
Das letzte Kriterium ist die vollendete Skalare Multiplikation:
[mm] \lambda\*U_{1} [/mm] mit [mm] U_{1}: x_{1}^2=y_{1}
[/mm]
Zur Zeigen ist:
[mm] \lambda\*x_{1}=\lambda\*y_{1}
[/mm]
und da [mm] y_{1}=x_{1}^2 [/mm] ist die Skalare Multiplikation abgeschlossen und somit ist M3 ein Untervektorraum von [mm] \Q
[/mm]
Das gleiche gilt für M4 allerdings mit einer anderen Gleichung. Allerdings bleibt das Prinzip das selbe!
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> Also als [mm]U_{1}[/mm] mein ich:
> [mm]U_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm]
Hallo,
das macht einen immer noch nicht so schlau...
Bist Du gerade bei der Bearbeitung der Menge [mm] M_1?
[/mm]
Dann meinst Du sicher [mm] u_1\in M_1.
[/mm]
Das dachte ich mir natürlich schon.
Und Du hast herausgefunden, daß die Summe zweier Vektoren aus [mm] M_1 [/mm] nicht zwingend in [mm] M_1 [/mm] liegt. Das stimmt ja auch.
Aber Du hast es nicht bewiesen!
Wie bereits gesagt:
daß [mm] M_1 [/mm] kein UVR des [mm] \IQ^3 [/mm] ist, zeigt man, indem man zwei Vektoren (ganz konkret, mit Zahlen) angibt, die in [mm] M_1 [/mm] sind, deren Summe aber nicht in [mm] M_1 [/mm] is
> Zu M3:
> Wenn man den Vektor V=(0,0,0) nimmt würde man beweisen
> das M3 [mm]\not=\emptyset[/mm] ist und somit schon mal ein Kriterium
> für die Untervektorräume beweisen
Ja. Der Nullvektor ist drin.
>
> Das zweite Kriterium ist das der vollendeten Addition:
> Betrachte: [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] mit [mm]U_{1}: x_{1}^2=y_{1}[/mm] und [mm]U_{2}: x_{2}^2=y_{2}[/mm]
>
> Zu zeigen ist:
> [mm]x_{1}^2+x_{2}^2=y_{1}+y_{2}[/mm]
Nein. Zu zeigen ist, daß [mm] u_1+u_2\in M_3.
[/mm]
Woran erkennt man, daß [mm] u_1+u_2\in M_3?
[/mm]
Daran, daß das Quadrat der ersten Komponente gleich der zweiten Komponente ist.
Mit [mm] u_1:=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2:=\vektor{x_2\\y_2\\z_2},
[/mm]
mit [mm] x_1^2=y_1 [/mm] und [mm] x_2^2=y_2
[/mm]
bekommt man [mm] u_1+u_2=\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\ z_1+z_2}.
[/mm]
Dieser Vektor ist in [mm] M_3, [/mm] wenn [mm] (x_1+x_2)^2=y_1+y_2, [/mm]
und da hätte ich i.a. ärgste Bedenken...
> für [mm]y_{1}[/mm] setzen wir [mm]x_{1}^2[/mm] ein für für [mm]y_{2}[/mm] setzen
> wir [mm]x_{2}^2[/mm] ein und beweisen damit das die Addition
> vollendet ist.
Dieser Beweis wird nicht gelingen...
Hast Du denn, wie ich Dir riet, es exemplarisch mal mit Zahlenbeispielen getestet?
Ein einziges Zahlenbeispiel, bei dem es nicht klappt, reicht zum Widerlegen der Behauptung, daß [mm] M_3 [/mm] ein UVR ist.
>
> Das letzte Kriterium ist die vollendete Skalare
> Multiplikation:
Schon wieder "vollendet"...
Heißt das bei Euch so? Normal: "abgeschlossen"
zu zeigen.
Für alle [mm] \lambda \in \IQ [/mm] und alle Vektoren [mm] u_1\in M_3 [/mm] gilt:
> [mm]\lambda\*U_{1}\red{\in M_3}.
Sei u_1:=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}\in M_1.
Dann ist
> [/mm] mit [mm]U_{1}: x_{1}^2=y_{1}[/mm]
> Zur Zeigen ist:
> [mm]\lambda\*x_{1}=\lambda\*y_{1}[/mm]
Nein. Wenn man zeigen möchte, daß [mm] \lambda u_1 \in M_3, [/mm] muß man zeigen, daß das Quadrat der ersten Komponente von [mm] \lambda u_1 [/mm] gleich der zweiten Komponente von [mm] \lambda u_1 [/mm] ist,
daß also [mm] (\lambda x_1)^2=\lambda y_1,
[/mm]
und auch das dürfte schwerlich gelingen.
> und da [mm]y_{1}=x_{1}^2[/mm] ist die Skalare Multiplikation
> abgeschlossen und somit ist M3 ein Untervektorraum von [mm]\Q[/mm]
>
> Das gleiche gilt für M4 allerdings mit einer anderen
> Gleichung. Allerdings bleibt das Prinzip das selbe!
Das Prinzip ist immer dieses: prüfe, ob die Summe und das Produkt mit einem Skalar auch immer in der Menge ist.
Die Antwort und der Beweis dazu ist für [mm] M_3 [/mm] und [mm] M_4 [/mm] sehr verschieden.
Für [mm] M_3 [/mm] kannst Du mit einem Gegenbeispiel widerlegen, für [mm] M_4 [/mm] gelingt es Dir, allgemein zu beweisen, was Du mal versuchen solltest.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Di 06.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Ok also ich habe es mal bei M3 versucht:
Seien [mm] U_{1}=\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}} [/mm] und [mm] U_{2}=\vektor{x_{2} \\ y_{2}\\ z_{1}} [/mm] aus M3 beliebig.
Betrachte:
[mm] U_{1}+U_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ z_{1} & z_{2}}
[/mm]
Zur zeigen ist:
[mm] (x_{1}+x_{2})^2=y_{1}+y_{2}
[/mm]
Nehmen wir an das:
[mm] U_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ∈ M3 und [mm] U_{2}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0} [/mm] ∈ M3
=> [mm] (1+2)^2=(1+4)
[/mm]
[mm] 9\not=5
[/mm]
==> M3 ist bezüglich der Addition nicht abgeschlossen und somit kein Untervektorraum von [mm] \IQ^3
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok also ich habe es mal bei M3 versucht:
> Seien [mm]U_{1}=\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}[/mm] und
> [mm]U_{2}=\vektor{x_{2} \\ y_{2}\\ z_{1}}[/mm] aus M3 beliebig.
> Betrachte:
> [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ z_{1} & z_{2}}[/mm]
Hä ? Es ist [mm] U_{1}+U_2=\vektor{x_{1}+x_2 \\ y_{1}+x_2 \\ z_{1}+z_2}
[/mm]
>
> Zur zeigen ist:
> [mm](x_{1}+x_{2})^2=y_{1}+y_{2}[/mm]
> Nehmen wir an das:
> [mm]U_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ∈ M3 und [mm]U_{2}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> ∈ M3
Es ist [mm] U_2 \notin M_3 [/mm] !! Denn [mm] 2^2 \ne [/mm] 3
FRED
> => [mm](1+2)^2=(1+4)[/mm]
> [mm]9\not=5[/mm]
> ==> M3 ist bezüglich der Addition nicht abgeschlossen und
> somit kein Untervektorraum von [mm]\IQ^3[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Di 06.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Ja ich hatte mich vertippt!
Natürlich muss dort stehen:
[mm] U_{1}+U_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ z_{1} + z_{2}}
[/mm]
und im Vektor [mm] U_{2}=\vektor{2 \\ 4 \\ 0} [/mm] eine 4 statt eine 3... Habe ja auch in der Rechnung darunter mit 4 weiter gerechnet!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja ich hatte mich vertippt!
> Natürlich muss dort stehen:
> [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ z_{1} + z_{2}}[/mm]
Nein, da muss stehen: $ [mm] U_{1}+U_2=\vektor{x_{1}+x_2 \\ y_{1}+x_2 \\ z_{1}+z_2} [/mm] $
FRED
>
> und im Vektor [mm]U_{2}=\vektor{2 \\ 4 \\ 0}[/mm] eine 4 statt eine
> 3... Habe ja auch in der Rechnung darunter mit 4 weiter
> gerechnet!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 06.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Oh man ich bin schon so verwirrt das ich alles falsch abtippe!
Natürlich steht das da.... aber das sieht man ja auch schließlich in der Rechnung des Beispiels! Und ich wollte wissen ob man es damit bewiesen hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Oh man ich bin schon so verwirrt das ich alles falsch
> abtippe!
> Natürlich steht das da.... aber das sieht man ja auch
> schließlich in der Rechnung des Beispiels! Und ich wollte
> wissen ob man es damit bewiesen hat?
Ja, Du hast gzeigt , dass [mm] M_3 [/mm] kein Unterraum ist.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 06.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo zusammen,
eigentlich ist diese Diskussion hier schon zu Ende, aber ich habe noch ein paar Fragen diesbezüglich...
Ich habe diese Aufgaben hier bearbeitet, ich hoffe ich habe das Prinzip verstanden...
Kann mir jemand bitte sagen, ob ich diese Aufgaben richtig gelöst habe?
Für alle Aufgaben gilt: [mm] $(x,y,z)\in\IQ^{3}$ [/mm] mit [mm] $u_1=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}$ [/mm] und [mm] $u_2=\vektor{x_2\\y_2\\z_2}$ [/mm] wobei
[mm] $u_1,u_2\in\IQ^{3}$ [/mm] und [mm] $\lambda\in\IQ$
[/mm]
1. M1: xy-z=0
a) [mm] M1$\not=\emptyset$ [/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
b) zu zeigen:
[mm] $u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}$
[/mm]
[mm] $(x_1y_1-z_1)+(x_2y_2-z_2)\not=(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)$
[/mm]
Beweis mit den Zahlen:
Wenn [mm] $u_1=(2,1,2)$ [/mm] und [mm] $u_2=(1,1,1)$ [/mm] dann
(2*1-2)+(1*1-1)=(2+1)(1+1)-(2+1)
Also [mm] $0\not=3$
[/mm]
Kein UVR, da bezüglich Addition ist nicht abgeschlossen.
2. M2: [mm] $x\ge0, y\ge0, z\ge0 [/mm]
a) [mm] M2$\not=\emptyset$ [/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
b) zu zeigen:
[mm] $u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}$
[/mm]
[mm] $(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)$
[/mm]
Addition ist abgeschlossen.
c) zu zeigen:
[mm] $\lambda*u_1\in M_2$
[/mm]
[mm] $-\lambda*\vektor{x_1\\y_1\\z_1}=\vektor{-\lambda*x_1\\-\lambda*y_1\\-\lambda*z_1}$ [/mm] und [mm] $-\lambda*u_1\not\in M_2$
[/mm]
Kein UVR, da bzgl. Multiplikation ist nicht abgeschlossen
3. M3: [mm] $x^{2}-y=0
[/mm]
a) [mm] M3$\not=\emptyset$ [/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
b) zu zeigen:
[mm] $u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}$
[/mm]
[mm] $(x_1^{2}-y_1)+(x_2^{2}-y_2)=(x_1+x_2)^{2}-(y_1+y_2)$
[/mm]
Oder
[mm] $(x_1^{2}-y_1)+(x_2^{2}-y_2)=(x_1^{2}+2x_1x_2+x_2^{2})-(y_1+y_2)$
[/mm]
Beweis mit den Zahlen:
Wenn [mm] $u_1=(1,1,0)$ [/mm] und [mm] $u_2=(3,9,0)$ [/mm] dann
[mm] $0\not=6$
[/mm]
Addition ist nicht abgeschlossen.
Kein UVR
M4: ist ein UVR weil alle 3 Axiomen erfüllt sind.
Und ich habe 3 neue, kann mir jmd bitte sagen ob ich die richtig gelöst habe.
( ich schreibe hier kurz)
Danke
M5: x=0
1. a) [mm] M5$\not=\emptyset$ [/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
b) (0+y1+z1)+(0+y2+z2)=(0+0)+(y1+y2)+(z1+z2) bzgl. Additionabgeschlossen
c) [mm] $\lambda*(0+y1+z1)=0+\lambday1+\lambdaz1$
[/mm]
bzgl. Multiplikation mit Skalar abgeschlossen
Also ein UVR
M6: x=1
1. a) [mm] M5$=\emptyset$ [/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist nicht drin.
Also kein UVR
M7: [mm] $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0
[/mm]
1. a) [mm] M5$\not=\emptyset$ [/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
b)$ [mm] (x1^{2}+y1^{2}-z1^{3})+(x2^{2}+y2^{2}-z2^{2}\not=(x1+x2)^{2}+(y1+y2)^{2}-(z1+z2)^{2}
[/mm]
Bzgl. Addition ist nicht abgeschlossen
Also kein UVR
M8: [mm] $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0
[/mm]
1. a) [mm] M5$\not=\emptyset$ [/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
b)$ [mm] (x1^{2}+y1^{2}+z1^{3})+(x2^{2}+y2^{2}+z2^{2}\not=(x1+x2)^{2}+(y1+y2)^{2}+(z1+z2)^{2}
[/mm]
Bzgl. Addition ist nicht abgeschlossen
Also kein UVR
Danke sehr!!!!!
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> Für alle Aufgaben gilt: [mm](x,y,z)\in\IQ^{3}[/mm] mit
> [mm]u_1=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}[/mm] und [mm]u_2=\vektor{x_2\\y_2\\z_2}[/mm]
> wobei
> [mm]u_1,u_2\in\IQ^{3}[/mm] und [mm]\lambda\in\IQ[/mm]
>
> 1. M1: xy-z=0
Hallo,
was soll denn das?
Du möchtest uns sicher sagen, daß [mm] M_1 [/mm] die Menge ist, welche wie folgt definiert ist:
[mm] M_1:=\{\vektor{x\\y\\z}\in\IQ^3| xy-z=0\}.
[/mm]
Wenn es so gemeint ist, dann schreib es auch so.
Alles andere trägt nicht zur Klarheit bei.
> a) M1[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
> b) zu zeigen:
> [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
Nein, das ist nicht zu zeigen.
Sondern: wenn [mm] M_1 [/mm] ein UVR des [mm] \IQ^3 [/mm] ist, dann folgt aus [mm] u_1,u_2\in M_1, [/mm] daß auch
[mm] u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \red{\in U_1}.
[/mm]
Daß der Vektor in [mm] U_1 [/mm] ist, prüft man, indem man nachschaut, ob
[mm] (x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=0.
[/mm]
Für einen Beweis müßte man allgemein zeigen, daß dies gilt.
Zum Widerlegen liefert man ein Gegenbeispiel:
> Beweis mit den Zahlen: [mm] M_1 [/mm] ist kein VR:
> Wenn [mm]u_1=(2,1,2)[/mm] und [mm]u_2=(1,1,1)[/mm] dann
sind [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] in [mm] M_1, [/mm] denn (2*1-2)=0 und (1*1-1)=0.
Es ist
[mm] u_1+u_2=\vektor{3\\2\\3}.
[/mm]
> (2*1-2)+(1*1-1)=(2+1)(1+1)-(2+1)
Nein.
[mm] u_1+u_2 [/mm] ist nicht in [mm] M_1, [/mm] denn es ist [mm] 3*2-3=3\not=0.
[/mm]
Also ist [mm] M_1 [/mm] kein UVR.
> 2. M2: [mm]x\ge0, y\ge0, z\ge0[/mm]
> a) M2[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
>
> b) zu zeigen:
> [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
> [mm](x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)[/mm]
> Addition ist abgeschlossen.
>
> c) zu zeigen:
> [mm]\lambda*u_1\in M_2[/mm]
>
> [mm]-\lambda*\vektor{x_1\\y_1\\z_1}=\vektor{-\lambda*x_1\\-\lambda*y_1\\-\lambda*z_1}[/mm]
> und [mm]-\lambda*u_1\not\in M_2[/mm]
> Kein UVR, da bzgl.
> Multiplikation ist nicht abgeschlossen
Wenn Du widerlegen möchtest, daß [mm] M_2 [/mm] ein UVR ist, brauchst Du a) und b) nicht.
Die Abgeschlossenheit der Multiplikation widerlege mit einem konkreten Gegenbeispiel.
>
>
> 3. M3: [mm]x^{2}-y=0[/mm]
> Beweis mit den Zahlen: [mm] M_3 [/mm] ist kein UVR:
Es sind
> [mm]u_1=(1,1,0)[/mm] und [mm]u_2=(3,9,0)[/mm]
in [mm] M_3, [/mm] denn ...
[mm] u_1+u_2=\vektor{4\\10\\0} \not\in M_3, [/mm] denn ....
> Kein UVR
>
> M4: ist ein UVR weil alle 3 Axiomen Kriterien erfüllt sind.
Muß man natürlich vorrechnen, daß das so ist.
>
>
> Und ich habe 3 neue, kann mir jmd bitte sagen ob ich die
> richtig gelöst habe.
> ( ich schreibe hier kurz)
"Kurz" zu schreiben, ist keine gute Idee.
Vor allem die Mengen solltest Du gescheit hinschreiben, immerhin sind sie die Hauptzutat.
> Danke
>
> M5: x=0
> 1. a) M5[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> drin.
Stimmt
> b) (0+y1+z1)+(0+y2+z2)=(0+0)+(y1+y2)+(z1+z2) bzgl.
> Additionabgeschlossen
Die Addition ist abgeschlossen, Dein Beweis dafür eine Katastrophe.
Seien [mm] u_1, u_2 \in M_5.
[/mm]
Dann gibt es [mm] y_1,y_2, z_1, z_2 \in \IQ [/mm] mit [mm] u_1=\vektor{0\\y_1\\z_1}, u_2=\vektor{0\\y_2\\z_2}.
[/mm]
Es ist [mm] u_1+u_2=\vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}=\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \in M_5, [/mm] weil ???
> c) [mm]\lambda*(0+y1+z1)=0+\lambday1+\lambdaz1[/mm]
> bzgl. Multiplikation mit Skalar abgeschlossen
Stimmt, aber Du solltest jetzt versuchen, es korrekt zu beweisen.
Sei [mm] u=\vektor{0\\y\\z}\in M_5, \lambda\in \IQ.
[/mm]
Es ist [mm] \lambda [/mm] u= [mm] ...\in M_5, [/mm] denn...
> Also ein UVR
>
> M6: x=1
> 1. a) M5[mm]=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist nicht
> drin.
So ein Blödsinn! Bloß weil der Nullvektor nicht drin ist, ist es doch noch lange nicht die leere Menge!
Ich kann Dir aus dem Stand 8739 Vektoren sagen, die da drin sind, und wenn Du die Menge richtig notiert hättest, wären Diur vielleicht auch welche eingefallen.
(Allerdings stimmt es, daß der Nullvektor nicht drin ist. Wenn der Nullvektor nicht drin ist, macht einem das immer die Abgeschlossenheit der Multiplikation kaputt. Überlege Dir, weshalb)
Es stimmt, daß die Menge kein UVR ist.
Zeige anhand konkreter Vektoren, welches Kriterium verletzt ist.
LG Angela
> Also kein UVR
>
>
> M7: [mm]x^{2}+y^{2}-z^{2}=0[/mm]
> 1. a) M5[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> drin.
> b)[mm]
> [mm](x1^{2}+y1^{2}-z1^{3})+(x2^{2}+y2^{2}-z2^{2}\not=(x1+x2)^{2}+(y1+y2)^{2}-(z1+z2)^{2}[/mm]
> Bzgl. Addition ist nicht abgeschlossen
> Also kein UVR
>
>
> [b]M8:[/b] [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=0[/mm]
> 1. a) M5[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> drin.
> b)[/mm]
> [mm](x1^{2}+y1^{2}+z1^{3})+(x2^{2}+y2^{2}+z2^{2}\not=(x1+x2)^{2}+(y1+y2)^{2}+(z1+z2)^{2}[/mm]
> Bzgl. Addition ist nicht abgeschlossen
> Also kein UVR
>
> Danke sehr!!!!!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Di 08.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Angela,
Schön ist es von dir wieder zu hören!!! danke für deine Antwort!!
> Hallo,
>
> was soll denn das?
>
> Du möchtest uns sicher sagen, daß [mm]M_1[/mm] die Menge ist,
> welche wie folgt definiert ist:
> [mm]M_1:=\{\vektor{x\\y\\z}\in\IQ^3| xy-z=0\}.[/mm]
> Wenn es so
> gemeint ist, dann schreib es auch so.
> Alles andere trägt nicht zur Klarheit bei.
Ja das habe ich gemeint. Ich wollte mir ein wenig Schreibarbeit sparen.
>
>
> > a) M1[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
> > b) zu zeigen:
> > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
>
> Nein, das ist nicht zu zeigen.
> Sondern: wenn [mm]M_1[/mm] ein UVR des [mm]\IQ^3[/mm] ist, dann folgt aus
> [mm]u_1,u_2\in M_1,[/mm] daß auch
>
> [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \red{\in U_1}.[/mm]
Ja stimmt!!
>
> Daß der Vektor in [mm]U_1[/mm] ist, prüft man, indem man
> nachschaut, ob
>
> [mm](x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=0.[/mm]
>
> Für einen Beweis müßte man allgemein zeigen, daß dies
> gilt.
>
> Zum Widerlegen liefert man ein Gegenbeispiel:
>
> > Beweis mit den Zahlen: [mm]M_1[/mm] ist kein VR:
>
> > Wenn [mm]u_1=(2,1,2)[/mm] und [mm]u_2=(1,1,1)[/mm] dann
>
> sind [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] in [mm]M_1,[/mm] denn (2*1-2)=0 und (1*1-1)=0.
>
> Es ist
> [mm]u_1+u_2=\vektor{3\\2\\3}.[/mm]
>
> > (2*1-2)+(1*1-1)=(2+1)(1+1)-(2+1)
> Nein.
>
> [mm]u_1+u_2[/mm] ist nicht in [mm]M_1,[/mm] denn es ist [mm]3*2-3=3\not=0.[/mm]
> Also ist [mm]M_1[/mm] kein UVR.
>
Ist das nicht das gleiche?
>
> > 2. M2: [mm]x\ge0, y\ge0, z\ge0[/mm]
>
>
> > a) M2[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
> >
> > b) zu zeigen:
> > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
> >
> [mm](x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)[/mm]
> > Addition ist abgeschlossen.
> >
> > c) zu zeigen:
> > [mm]\lambda*u_1\in M_2[/mm]
> >
> >
> [mm]-\lambda*\vektor{x_1\\y_1\\z_1}=\vektor{-\lambda*x_1\\-\lambda*y_1\\-\lambda*z_1}[/mm]
> > und [mm]-\lambda*u_1\not\in M_2[/mm]
> > Kein UVR, da bzgl.
> > Multiplikation ist nicht abgeschlossen
>
> Wenn Du widerlegen möchtest, daß [mm]M_2[/mm] ein UVR ist,
> brauchst Du a) und b) nicht.
> Die Abgeschlossenheit der Multiplikation widerlege mit
> einem konkreten Gegenbeispiel.
Ist das nicht konkret genug? Ich habe doch gezeigt das wenn [mm] $\lambda$ [/mm] negativ ist, [mm] $u_1\notin$ [/mm] M2
Aber klar man kann auch mit dem Beispiel zeigen:
Wenn [mm] $\lambda$=-1 [/mm] und [mm] $u_1:=(2,3,2)$\in$ [/mm] M2
Dann ist [mm] $\lambda*u_1=-1*(2,3,2)=(-2,-3,-2)$\notin$M2
[/mm]
> >
> > 3. M3: [mm]x^{2}-y=0[/mm]
>
> > Beweis mit den Zahlen: [mm]M_3[/mm] ist kein UVR:
> Es sind
> > [mm]u_1=(1,1,0)[/mm] und [mm]u_2=(3,9,0)[/mm]
> in [mm]M_3,[/mm] denn ...
>
> [mm]u_1+u_2=\vektor{4\\10\\0} \not\in M_3,[/mm] denn ....
>
>
> > Kein UVR
> >
> > M4: ist ein UVR weil alle 3 Axiomen Kriterien erfüllt
> sind.
>
> Muß man natürlich vorrechnen, daß das so ist.
Ja das haben die anderen oben schon gemacht.
>
> >
> >
> > Und ich habe 3 neue, kann mir jmd bitte sagen ob ich
> die
> > richtig gelöst habe.
> > ( ich schreibe hier kurz)
>
> "Kurz" zu schreiben, ist keine gute Idee.
> Vor allem die Mengen solltest Du gescheit hinschreiben,
> immerhin sind sie die Hauptzutat.
>
> > Danke
> >
> > M5: x=0
> > 1. a) M5[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> > drin.
> Stimmt
> > b) (0+y1+z1)+(0+y2+z2)=(0+0)+(y1+y2)+(z1+z2) bzgl.
> > Additionabgeschlossen
>
> Die Addition ist abgeschlossen, Dein Beweis dafür eine
> Katastrophe.
> Seien [mm]u_1, u_2 \in M_5.[/mm]
> Dann gibt es [mm]y_1,y_2, z_1, z_2 \in \IQ[/mm]
> mit [mm]u_1=\vektor{0\\y_1\\z_1}, u_2=\vektor{0\\y_2\\z_2}.[/mm]
>
> Es ist
> [mm]u_1+u_2=\vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}=\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \in M_5,[/mm]
> weil ???
Ganz ehrlich ich verstehe nicht was du meinst?
>
> > c) [mm]\lambda*(0+y1+z1)=0+\lambda*y1+\lambda*z1[/mm]
Sorry hier habe ich das Mal Zeichen vergessen und es kam falsche raus.
> > bzgl. Multiplikation mit Skalar abgeschlossen
> Stimmt, aber Du solltest jetzt versuchen, es korrekt zu
> beweisen.
Ich weiss nicht wie man das korrekt beweist...
>
> Sei [mm]u=\vektor{0\\y\\z}\in M_5, \lambda\in \IQ.[/mm]
>
> Es ist [mm]\lambda[/mm] u= [mm]...\in M_5,[/mm] denn...
>
>
> > Also ein UVR
> > M6: x=1
> > 1. a) M5[mm]=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist nicht
> > drin.
>
> So ein Blödsinn! Bloß weil der Nullvektor nicht drin ist,
> ist es doch noch lange nicht die leere Menge!
> Ich kann Dir aus dem Stand 8739 Vektoren sagen, die da
> drin sind, und wenn Du die Menge richtig notiert hättest,
> wären Diur vielleicht auch welche eingefallen.
>
> (Allerdings stimmt es, daß der Nullvektor nicht drin ist.
> Wenn der Nullvektor nicht drin ist, macht einem das immer
> die Abgeschlossenheit der Multiplikation kaputt. Überlege
> Dir, weshalb)
>
> Es stimmt, daß die Menge kein UVR ist.
> Zeige anhand konkreter Vektoren, welches Kriterium
> verletzt ist.
>
Also ich habe so gedacht:
Ein VR muss durch den Ursprung gehen, genau wie ein UVR.
Wenn der Nullvektor nicht drin ist, ist kein VR bzw kein UVR, da ein neutrales Element bzgl Addition fehlt.
Ja man kann das auch bei der Multiplikation zeigen...
Wenn [mm] $\lambda$=0 [/mm] und [mm] $u_1:=(x,y,z)$
[/mm]
Dann [mm] $\lambda*\vektor{x\\y\\z}\notin$M6 [/mm] da x=1 seien muss.
Habe ich die letzten. Eiden auch richtig? Du hast nichts dazu geschrieben..
> LG Angela
>
>
> > Also kein UVR
> >
> >
> > M7: [mm]x^{2}+y^{2}-z^{2}=0[/mm]
> >
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> > [mm]M_1:=\{\vektor{x\\y\\z}\in\IQ^3| xy-z=0\}.[/mm]
> > Wenn es
> so
> > gemeint ist, dann schreib es auch so.
> > Alles andere trägt nicht zur Klarheit bei.
> Ja das habe ich gemeint. Ich wollte mir ein wenig
> Schreibarbeit sparen.
Hallo,
das ist eine schlechte Idee, denn die Sparsamkeit geht auf Kosten der Klarheit.
> >
> >
> > > a) M1[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
> > > b) zu zeigen:
> > > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
> >
> > Nein, das ist nicht zu zeigen.
> > Sondern: wenn [mm]M_1[/mm] ein UVR des [mm]\IQ^3[/mm] ist, dann folgt aus
> > [mm]u_1,u_2\in M_1,[/mm] daß auch
> >
> > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \red{\in U_1}.[/mm]
>
> Ja stimmt!!
> >
> > Daß der Vektor in [mm]U_1[/mm] ist, prüft man, indem man
> > nachschaut, ob
> >
> > [mm](x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=0.[/mm]
> >
> > Für einen Beweis müßte man allgemein zeigen, daß dies
> > gilt.
> >
> > Zum Widerlegen liefert man ein Gegenbeispiel:
> >
> > > Beweis mit den Zahlen: [mm]M_1[/mm] ist kein VR:
> >
> > > Wenn [mm]u_1=(2,1,2)[/mm] und [mm]u_2=(1,1,1)[/mm] dann
> >
> > sind [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] in [mm]M_1,[/mm] denn (2*1-2)=0 und (1*1-1)=0.
> >
> > Es ist
> > [mm]u_1+u_2=\vektor{3\\2\\3}.[/mm]
> >
> > > (2*1-2)+(1*1-1)=(2+1)(1+1)-(2+1)
> > Nein.
> >
> > [mm]u_1+u_2[/mm] ist nicht in [mm]M_1,[/mm] denn es ist [mm]3*2-3=3\not=0.[/mm]
> > Also ist [mm]M_1[/mm] kein UVR.
> >
> Ist das nicht das gleiche?
Nein. Du prüfst oben, ob [mm] (x_1y_1-z_1)+(x_2y_2-z_2)=(x_1+x_2)(y_1+y_2)_(z_1+z_2),
[/mm]
zu prüfen ist aber, ob [mm] (x_1+x_2)(y_1+y_2)_(z_1+z_2)=0, [/mm] wie man sieht, wenn die Def. von [mm] M_1 [/mm] manierlich aufgeschrieben ist. Ob "erster Eintrag mal zweiter Eintrag minus dritter Eintrag " 0 ergibt, entscheidet darüber, ob ein Vektor in [mm] M_1 [/mm] ist oder nicht. Nichts anderes.
> >
> > > 2. M2: [mm]x\ge0, y\ge0, z\ge0[/mm]
> >
> >
> > > a) M2[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist drin.
> > >
> > > b) zu zeigen:
> > > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
> > >
> > [mm](x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)[/mm]
> > > Addition ist abgeschlossen.
> > >
> > > c) zu zeigen:
> > > [mm]\lambda*u_1\in M_2[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]-\lambda*\vektor{x_1\\y_1\\z_1}=\vektor{-\lambda*x_1\\-\lambda*y_1\\-\lambda*z_1}[/mm]
> > > und [mm]-\lambda*u_1\not\in M_2[/mm]
> > > Kein UVR, da bzgl.
> > > Multiplikation ist nicht abgeschlossen
> >
> > Wenn Du widerlegen möchtest, daß [mm]M_2[/mm] ein UVR ist,
> > brauchst Du a) und b) nicht.
> > Die Abgeschlossenheit der Multiplikation widerlege mit
> > einem konkreten Gegenbeispiel.
> Ist das nicht konkret genug? Ich habe doch gezeigt das
> wenn [mm]\lambda[/mm] negativ ist,
Nö, das hast Du nicht gezeigt.
[mm] -\lambda [/mm] ist doch nicht unbedingt negativ. (-(-5) ist positiv...)
Nimm Zahlen. Das ist dann hieb- und stichfest, und es gibt nichts zu debattieren.
> [mm]u_1\notin[/mm] M2
> Aber klar man kann auch mit dem Beispiel zeigen:
> Wenn [mm]\lambda[mm]=-1[/mm] und [mm]u_1:=(2,3,2)[/mm]\in[/mm] M2
> Dann ist [mm]\lambda*u_1=-1*(2,3,2)=(-2,-3,-2)[mm]\notin[/mm]M2[/mm]
Genau.
> > > M5: x=0
> > > 1. a) M5[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor
> ist
> > > drin.
> > Stimmt
> > > b) (0+y1+z1)+(0+y2+z2)=(0+0)+(y1+y2)+(z1+z2) bzgl.
> > > Additionabgeschlossen
> >
> > Die Addition ist abgeschlossen, Dein Beweis dafür eine
> > Katastrophe.
>
> > Seien [mm]u_1, u_2 \in M_5.[/mm]
> > Dann gibt es [mm]y_1,y_2, z_1, z_2 \in \IQ[/mm]
> > mit [mm]u_1=\vektor{0\\y_1\\z_1}, u_2=\vektor{0\\y_2\\z_2}.[/mm]
>
> >
> > Es ist
> >
> [mm]u_1+u_2=\vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}=\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \in M_5,[/mm]
> > weil ???
> Ganz ehrlich ich verstehe nicht was du meinst?
Wenn Du die Menge richtig hingeschrieben hättest, würdest Du sehen, daß in [mm] M_5 [/mm] diejenigen Vektoren des [mm] \IQ^3 [/mm] sind, deren erster Eintrag 0 ist, und daß ist bei [mm] u_1+u_2 [/mm] der Fall.
>
> >
> > > c)
> > > bzgl. Multiplikation mit Skalar abgeschlossen
> > Stimmt, aber Du solltest jetzt versuchen, es korrekt zu
> > beweisen.
> Ich weiss nicht wie man das korrekt beweist...
Ich hoffe, daß das ein Scherz ist. Ich habe doch schon einen Lückentext vorbereitet,
und [mm] \lambda*u [/mm] wirst Du ja wohl ausrechnen können und dann nachschauen, ob der erste Eintrag =0 ist
> >
> > Sei [mm]u=\vektor{0\\y\\z}\in M_5, \lambda\in \IQ.[/mm]
> >
> > Es ist [mm]\lambda[/mm] u= [mm]...\in M_5,[/mm] denn...
> >
> >
> > > Also ein UVR
>
> > > M6: x=1
> > > 1. a) M5[mm]=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> nicht
> > > drin.
> >
> > So ein Blödsinn! Bloß weil der Nullvektor nicht drin ist,
> > ist es doch noch lange nicht die leere Menge!
> > Ich kann Dir aus dem Stand 8739 Vektoren sagen, die da
> > drin sind, und wenn Du die Menge richtig notiert hättest,
> > wären Diur vielleicht auch welche eingefallen.
> >
> > (Allerdings stimmt es, daß der Nullvektor nicht drin ist.
> > Wenn der Nullvektor nicht drin ist, macht einem das immer
> > die Abgeschlossenheit der Multiplikation kaputt. Überlege
> > Dir, weshalb)
> >
> > Es stimmt, daß die Menge kein UVR ist.
> > Zeige anhand konkreter Vektoren, welches Kriterium
> > verletzt ist.
> >
> Also ich habe so gedacht:
> Ein VR muss durch den Ursprung gehen, genau wie ein UVR.
Das stimmt ja auch.
Aber Du kannst doch nicht einfach schreiben, daß die Menge leer ist, nur weil ein Element, welches Dir gefällt, nicht drin ist.
> Wenn der Nullvektor nicht drin ist, ist kein VR bzw kein
> UVR, da ein neutrales Element bzgl Addition fehlt.
So wäre das eine sinnvolle Begründung. Halt nicht direkt mit den drei Kriterien, aber völlig okay.
> Ja man kann das auch bei der Multiplikation zeigen...
> Wenn [mm]\lambda[/mm]=0 und [mm]u_1:=(x,y,z)[/mm]
> Dann [mm]\lambda*\vektor{x\\y\\z}\notin[/mm]M6 da x=1 seien muss.
Glaub' ich nicht. Du mußt mich erst noch überzeugen:
wenn [mm] \lambda [/mm] =0, dann ist [mm] \lambda*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}, [/mm] also nicht in [mm] M_6, [/mm] weil der erste Eintrag dafür =1 sein müßte.
>
> Habe ich die letzten. Eiden auch richtig? Du hast nichts
> dazu geschrieben..
Daß es keine UVR sind, stimmt.
Die Beweise sollten Dir jetzt eigentlich selbständig halbwegs korrekt gelingen.
Widerlege mit konkreten Zahlenbeispielen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 08.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> Hallo,
>
> das ist eine schlechte Idee, denn die Sparsamkeit geht auf
> Kosten der Klarheit.
Ok, merke ich mir
> > >
> > >
> > > > a) M1[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> drin.
> > > > b) zu zeigen:
> > > > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
> > >
> > > Nein, das ist nicht zu zeigen.
> > > Sondern: wenn [mm]M_1[/mm] ein UVR des [mm]\IQ^3[/mm] ist, dann folgt
> aus
> > > [mm]u_1,u_2\in M_1,[/mm] daß auch
> > >
> > > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \red{\in U_1}.[/mm]
>
> >
> > Ja stimmt!!
> > >
> > > Daß der Vektor in [mm]U_1[/mm] ist, prüft man, indem man
> > > nachschaut, ob
> > >
> > > [mm](x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=0.[/mm]
> > >
> > > Für einen Beweis müßte man allgemein zeigen, daß
> dies
> > > gilt.
> > >
> > > Zum Widerlegen liefert man ein Gegenbeispiel:
> > >
> > > > Beweis mit den Zahlen: [mm]M_1[/mm] ist kein VR:
> > >
> > > > Wenn [mm]u_1=(2,1,2)[/mm] und [mm]u_2=(1,1,1)[/mm] dann
> > >
> > > sind [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] in [mm]M_1,[/mm] denn (2*1-2)=0 und
> (1*1-1)=0.
> > >
> > > Es ist
> > > [mm]u_1+u_2=\vektor{3\\2\\3}.[/mm]
>
> > >
> > > > (2*1-2)+(1*1-1)=(2+1)(1+1)-(2+1)
> > > Nein.
> > >
> > > [mm]u_1+u_2[/mm] ist nicht in [mm]M_1,[/mm] denn es ist [mm]3*2-3=3\not=0.[/mm]
> > > Also ist [mm]M_1[/mm] kein UVR.
> > >
> > Ist das nicht das gleiche?
>
> Nein. Du prüfst oben, ob
> [mm](x_1y_1-z_1)+(x_2y_2-z_2)=(x_1+x_2)(y_1+y_2)_(z_1+z_2),[/mm]
>
> zu prüfen ist aber, ob [mm](x_1+x_2)(y_1+y_2)_(z_1+z_2)=0,[/mm] wie
> man sieht, wenn die Def. von [mm]M_1[/mm] manierlich aufgeschrieben
> ist. Ob "erster Eintrag mal zweiter Eintrag minus dritter
> Eintrag " 0 ergibt, entscheidet darüber, ob ein Vektor in
> [mm]M_1[/mm] ist oder nicht. Nichts anderes.
Ach so d.h ich muss jede Seite "einzeln" prüfen.
>
>
> > >
> > > > 2. M2: [mm]x\ge0, y\ge0, z\ge0[/mm]
> > >
> > >
> > > > a) M2[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> drin.
> > > >
> > > > b) zu zeigen
> > > > [mm]u_1+u_2=\pmat{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm]
> > > >
> > >
> [mm](x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)[/mm]
> > > > Addition ist abgeschlossen.
> > > >
> > > > c) zu zeigen:
> > > > [mm]\lambda*u_1\in M_2[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]-\lambda*\vektor{x_1\\y_1\\z_1}=\vektor{-\lambda*x_1\\-\lambda*y_1\\-\lambda*z_1}[/mm]
> > > > und [mm]-\lambda*u_1\not\in M_2[/mm]
> > > > Kein UVR, da
> bzgl.
> > > > Multiplikation ist nicht abgeschlossen
> > >
> > > Wenn Du widerlegen möchtest, daß [mm]M_2[/mm] ein UVR ist,
> > > brauchst Du a) und b) nicht.
> > > Die Abgeschlossenheit der Multiplikation widerlege
> mit
> > > einem konkreten Gegenbeispiel.
> > Ist das nicht konkret genug? Ich habe doch gezeigt das
> > wenn [mm]\lambda[/mm] negativ ist,
>
> Nö, das hast Du nicht gezeigt.
> [mm]-\lambda[/mm] ist doch nicht unbedingt negativ. (-(-5) ist
> positiv...)
> Nimm Zahlen. Das ist dann hieb- und stichfest, und es gibt
> nichts zu debattieren.
Haha! Das ist ja klasse!!!
Danke für den Hinweis!
>
> > [mm]u_1\notin[/mm] M2
> > Aber klar man kann auch mit dem Beispiel zeigen:
> > Wenn [mm]\lambda[mm]=-1[/mm] und [mm]u_1:=(2,3,2)[/mm]\in[/mm] M2
> > Dann ist [mm]\lambda*u_1=-1*(2,3,2)=(-2,-3,-2)[mm]\notin[/mm]M2[/mm]
>
> Genau.
>
>
>
>
> > > > M5: x=0
> > > > 1. a) M5[mm]\not=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor
> > ist
> > > > drin.
> > > Stimmt
> > > > b) (0+y1+z1)+(0+y2+z2)=(0+0)+(y1+y2)+(z1+z2) bzgl.
> > > > Additionabgeschlossen
> > >
> > > Die Addition ist abgeschlossen, Dein Beweis dafür
> eine
> > > Katastrophe.
> >
> > > Seien [mm]u_1, u_2 \in M_5.[/mm]
> > > Dann gibt es [mm]y_1,y_2, z_1, z_2 \in \IQ[/mm]
>
> > > mit [mm]u_1=\vektor{0\\y_1\\z_1}, u_2=\vektor{0\\y_2\\z_2}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Es ist
> > >
> >
> [mm]u_1+u_2=\vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}=\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \in M_5,[/mm]
>
> > > weil ???
> > Ganz ehrlich ich verstehe nicht was du meinst?
>
> Wenn Du die Menge richtig hingeschrieben hättest, würdest
> Du sehen, daß in [mm]M_5[/mm] diejenigen Vektoren des [mm]\IQ^3[/mm] sind,
> deren erster Eintrag 0 ist, und daß ist bei [mm]u_1+u_2[/mm] der
> Fall.
Ach so meinst du etwa ich muss das hier zeigen:
[mm] $\vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}=0$
[/mm]
[mm] $\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2}=0$
[/mm]
> >
> > >
> > > > c)
> > > > bzgl. Multiplikation mit Skalar abgeschlossen
> > > Stimmt, aber Du solltest jetzt versuchen, es korrekt
> zu
> > > beweisen.
> > Ich weiss nicht wie man das korrekt beweist...
>
> Ich hoffe, daß das ein Scherz ist.
Nimm mir das nicht übel, aber ich meine das ernst-das mit Beweisen klappt im allgemein bei mir sehr, sehr schlecht.
>Ich habe doch schon
> einen Lückentext vorbereitet,
> und [mm]\lambda*u[/mm] wirst Du ja wohl ausrechnen können und dann
> nachschauen, ob der erste Eintrag =0 ist
> > >
> > > Sei [mm]u=\vektor{0\\y\\z}\in M_5, \lambda\in \IQ.[/mm]
> > >
> > > Es ist [mm]\lambda[/mm] u= [mm]...\in M_5,[/mm] denn...
Ich habe vorhin nicht verstanden was du meinst
dann [mm] $\lambda *u=\lambda* \vektor{x\\y\\z}=0*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\y\\z}$
[/mm]
>
>
> > >
> > >
> > > > Also ein UVR
> >
> > > > M6: x=1
> > > > 1. a) M5[mm]=\emptyset[/mm] ,da der (0,0,0) Nullvektor ist
> > nicht
> > > > drin.
> > >
> > > So ein Blödsinn! Bloß weil der Nullvektor nicht drin
> ist,
> > > ist es doch noch lange nicht die leere Menge!
> > > Ich kann Dir aus dem Stand 8739 Vektoren sagen, die
> da
> > > drin sind, und wenn Du die Menge richtig notiert
> hättest,
> > > wären Diur vielleicht auch welche eingefallen.
> > >
> > > (Allerdings stimmt es, daß der Nullvektor nicht drin
> ist.
> > > Wenn der Nullvektor nicht drin ist, macht einem das
> immer
> > > die Abgeschlossenheit der Multiplikation kaputt.
> Überlege
> > > Dir, weshalb)
> > >
> > > Es stimmt, daß die Menge kein UVR ist.
> > > Zeige anhand konkreter Vektoren, welches Kriterium
> > > verletzt ist.
> > >
> > Also ich habe so gedacht:
> > Ein VR muss durch den Ursprung gehen, genau wie ein
> UVR.
>
> Das stimmt ja auch.
> Aber Du kannst doch nicht einfach schreiben, daß die
> Menge leer ist, nur weil ein Element, welches Dir gefällt,
> nicht drin ist.
>
> > Wenn der Nullvektor nicht drin ist, ist kein VR bzw kein
> > UVR, da ein neutrales Element bzgl Addition fehlt.
>
> So wäre das eine sinnvolle Begründung. Halt nicht direkt
> mit den drei Kriterien, aber völlig okay.
>
> > Ja man kann das auch bei der Multiplikation zeigen...
> > Wenn [mm]\lambda[/mm]=0 und [mm]u_1:=(x,y,z)[/mm]
> > Dann [mm]\lambda*\vektor{x\\y\\z}\notin[/mm]M6 da x=1 seien
> muss.
>
> Glaub' ich nicht. Du mußt mich erst noch überzeugen:
> wenn [mm]\lambda[/mm] =0, dann ist
> [mm]\lambda*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0},[/mm] also nicht in
> [mm]M_6,[/mm] weil der erste Eintrag dafür =1 sein müßte.
Ok, gut ich hab's jetzt verstanden
> > Habe ich die letzten. Eiden auch richtig? Du hast
> nichts
> > dazu geschrieben..
>
> Daß es keine UVR sind, stimmt.
> Die Beweise sollten Dir jetzt eigentlich selbständig
> halbwegs korrekt gelingen.
> Widerlege mit konkreten Zahlenbeispielen.
>
> LG Angela
ich Danke dir!!!!!die Beweise schreibe ich noch mal konkreter.
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> > > > > Wenn [mm]u_1=(2,1,2)[/mm] und [mm]u_2=(1,1,1)[/mm] dann
> > > >
> > > > sind [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] in [mm]M_1,[/mm] denn (2*1-2)=0 und
> > (1*1-1)=0.
> > > >
> > > > Es ist
> > > > [mm]u_1+u_2=\vektor{3\\2\\3}.[/mm]
> >
> > > >
> > > > > (2*1-2)+(1*1-1)=(2+1)(1+1)-(2+1)
> > > > Nein.
> > > >
> > > > [mm]u_1+u_2[/mm] ist nicht in [mm]M_1,[/mm] denn es ist
> [mm]3*2-3=3\not=0.[/mm]
> > > > Also ist [mm]M_1[/mm] kein UVR.
> > > >
> > > Ist das nicht das gleiche?
> >
> > Nein. Du prüfst oben, ob
> > [mm](x_1y_1-z_1)+(x_2y_2-z_2)=(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2),[/mm]
> >
> > zu prüfen ist aber, ob [mm](x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=0,[/mm] wie
> > man sieht, wenn die Def. von [mm]M_1[/mm] manierlich aufgeschrieben
> > ist. Ob "erster Eintrag mal zweiter Eintrag minus dritter
> > Eintrag " 0 ergibt, entscheidet darüber, ob ein Vektor in
> > [mm]M_1[/mm] ist oder nicht. Nichts anderes.
>
> Ach so d.h ich muss jede Seite "einzeln" prüfen.
Hallo,
es gibt keine Seiten...
Du nimmst [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] so, daß die in [mm] M_1 [/mm] sind,
und prüfst dann, ob [mm] u_1+u_2 [/mm] auch in [mm] M_1 [/mm] ist.
> > > > > M5: x=0
> > > > > Additionabgeschlossen
> > > >
> > > > Seien [mm]u_1, u_2 \in M_5.[/mm]
> > > > Dann gibt es
> [mm]y_1,y_2, z_1, z_2 \in \IQ[/mm]
> >
> > > > mit [mm]u_1=\vektor{0\\y_1\\z_1}, u_2=\vektor{0\\y_2\\z_2}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Es ist
> > > >
> > >
> >
> [mm]u_1+u_2=\vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}=\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2} \in M_5,[/mm]
>
> >
> > > > weil ???
> Ach so meinst du etwa ich muss das hier zeigen:
> [mm]\vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}=0[/mm]
> [mm]\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2}=0[/mm]
Och nee! Könntest Du Dir die "Gleichungen" mal betrachten?
Links ein Vektor, rechts 'ne Zahl -
Kann das gleich sein? Gleichungen heißen Gleichugen, weil da was gleich sein soll.
Gesucht wird ein Grund dafür, daß
[mm] \vektor{0\\y_1\\z_1}+\vektor{0\\y_2\\z_2}\vektor{0\\y_1+y_2\\z_1+z_2}
[/mm]
in [mm] M_5 [/mm] ist.
Woran erkennt man die Elemente von [mm] M_5?
[/mm]
> > > > > bzgl. Multiplikation mit Skalar abgeschlossen
> Ich habe vorhin nicht verstanden was du meinst
> dann [mm]\lambda *u=\lambda* \vektor{x\\y\\z}=0*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\y\\z}[/mm]
und weiter? Ist das in [mm] M_5?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Do 10.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo angela,
Sorry ich habe richtigen Blödsinn geschrieben.
Jetzt wo ich das wieder lese verstehe ich nicht wie ich das schreiben konnte.
Also ich schreib noch mal neu:
>Hallo,
>es gibt keine Seiten...
>Du nimmst und so, daß die in sind,
>und prüfst dann, ob auch in ist.
Ok ich habe jetzt das verstanden.
>Gesucht wird ein Grund dafür, daß
> [mm] $\vektor{0\\y1\\z1}+\vektor{0\\y2\\z2}=\vektor{0+0\\y1+y2\\z1+z2}$
[/mm]
>In M5 ist?
>Woran erkennt man die Elemente von M5?
Zum einen ist der [mm] x=0$\in$ [/mm] M5 Zum anderen sind die anderen Werte auch in M5.
Genau so wie hier, hier möchte ich aber noch korregieren das was ich vorher geschrieben habe:
[mm] $\lambda*u=\lambda*\vektor{x\\y\\z}=\lambda*\vektor{0\\y\\z}=\vektor{0\\y*\lambda\\z*\lambda}$
[/mm]
[mm] x=0$\in$M5
[/mm]
Danke noch mal für die Korrekturen.
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