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| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen
U := [mm] {\vec{x} \in \IR^{3}: \vec{x}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} = 0} [/mm] und V := [mm] {\vec{x}\in \IR^{3} : \vec{x} =t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}; t \in \IR }
[/mm]
(1) U und V sind Untervektorräume von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(2) Die Schnittmenge U [mm] \cap [/mm] V ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(3) Die Vereinigung U [mm] \cup [/mm] V ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(4) Die Summe U + V := [mm] {\vec{u} +\vec{v} : \vec{u} \in U, \vec{v} \in V } [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin mir allgemein ziemlich unsicher bei UR. Und bei solchen erst recht. Aber soweit bin ich schon gekommen:
Allgemein muss man beim Unterraum (UR) zeigen: Sei [mm] \vec{u},\vec{v} \in [/mm] UR dann muss
1. [mm] \vec{u}+\vec{v} \in [/mm] UR und
2. [mm] a*\vec{u} \in [/mm] UR
Soweit ich das jetzt erkenne stimmen diese Bedingungen für die erste Behauptung.
Bei der zweitung Behauptung dachte ich mir das der erste UR der Kern einer Matrix ist und der zweite das Bild ist. Also kann die Schnittmenge nur der [mm] \vec{0} [/mm] sein. Falls das wirklich stimmen sollte, wie schreibt man dann sowas vernünftig auf?
Bei der dritten und vierten Behauptung sehe ich schonmal garkeinen unterschied. Und ich kann mir auch nicht eine solche vereinigung vorstellen. Außer plump den [mm] \vec{x} [/mm] von V in U einzusetzen so das man auf so eine Darstellung kommt:
[mm] t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = 0
Aber auch hier bin ich mir ziemlich unsicher.
Gruß
Margorion
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> Gegeben sind die Mengen
> U := [mm]{\vec{x} \in \IR^{3}: \vec{x}* \vektor{1 \\
2 \\
3} = 0}[/mm]
> und V := [mm]{\vec{x}\in \IR^{3} : \vec{x} =t*\vektor{1 \\
1 \\
1}; t \in \IR }[/mm]
>
> (1) U und V sind Untervektorräume von [mm]\IR^{3}.[/mm]
> (2) Die Schnittmenge U [mm]\cap[/mm] V ist ein Untervektorraum von
> [mm]\IR^{3}.[/mm]
> (3) Die Vereinigung U [mm]\cup[/mm] V ist ein Untervektorraum von
> [mm]\IR^{3}.[/mm]
> (4) Die Summe U + V := [mm]{\vec{u} +\vec{v} : \vec{u} \in U, \vec{v} \in V }[/mm]
> ist ein Untervektorraum von [mm]\IR^{3}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich bin mir allgemein ziemlich unsicher bei UR. Und bei
> solchen erst recht. Aber soweit bin ich schon gekommen:
> Allgemein muss man beim Unterraum (UR) zeigen: Sei
> [mm]\vec{u},\vec{v} \in[/mm] UR dann muss
0. [mm] UR\not=\emptyset
[/mm]
> 1. [mm]\vec{u}+\vec{v} \in[/mm] UR und
> 2. [mm]a*\vec{u} \in[/mm] UR
>
> Soweit ich das jetzt erkenne stimmen diese Bedingungen für
> die erste Behauptung.
Hallo,
ja.
(Natürlich mußt Du es vorrechnen.)
>
> Bei der zweitung Behauptung dachte ich mir das der erste UR
> der Kern einer Matrix ist und der zweite das Bild ist. Also
> kann die Schnittmenge nur der [mm]\vec{0}[/mm] sein. Falls das
> wirklich stimmen sollte, wie schreibt man dann sowas
> vernünftig auf?
Bestimme zunächst Basen der beiden Unterräume. Für V ist [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] offensichtlich eine Basis.
Für U solltest Du aber mal den Kern der Matrix bzw. eine Basis dieses Kerns sagen (berechnen).
Dann kann man weitermachen.
>
> Bei der dritten und vierten Behauptung sehe ich schonmal
> garkeinen unterschied.
Ich zeige das mal an einem anderen Beispiel:
Die Unterräume [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] seien zwei verschiedene, sich im Ursprung schneidende Geraden.
[mm] W_1\cup W_2 [/mm] ist die Menge, welche exakt diese beiden Geraden enthält.
[mm] W_1+W_2 [/mm] hingegen enthält alle Vektoren, die man bekommen kann, wenn man einen aus [mm] W_1 [/mm] und einen aus [mm] W_2 [/mm] addiert. Das ist eine Ebene.
Nun überlege mal, weshalb die Vereinigung kein VR ist.
LG Angela
Und ich kann mir auch nicht eine
> solche vereinigung vorstellen. Außer plump den [mm]\vec{x}[/mm] von
> V in U einzusetzen so das man auf so eine Darstellung
> kommt:
> [mm]t*\vektor{1 \\
1 \\
1}* \vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm] = 0
> Aber auch hier bin ich mir ziemlich unsicher.
>
> Gruß
> Margorion
>
>
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| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen
U := [mm] {\vec{x} \in \IR^{3}: \vec{x}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} = 0} [/mm] und V := [mm] {\vec{x}\in \IR^{3} : \vec{x} =t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}; t \in \IR }
[/mm]
(1) U und V sind Untervektorräume von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(2) Die Schnittmenge U [mm] \cap [/mm] V ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(3) Die Vereinigung U [mm] \cup [/mm] V ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(4) Die Summe U + V := [mm] {\vec{u} +\vec{v} : \vec{u} \in U, \vec{v} \in V } [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] |
Hi,
schonmal ein dankeschön vorab für deine Hilfe, angela.
(1) Ist soweit geklärt 
(2) Wenn U der Kern ist dann ist doch [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] schon die Basis des Kerns oder? Wie gehe ich dann am besten weiter vor? Spontan würde ich nur gucken ob die beiden Vektoren liniar unabhängig sind (was sie sind) und dann ist die Schnittmenge zwischen den beiden Basen nur ein Punkt durch [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0}. [/mm] Was dann der triviale UR wäre.
(3) Würde ich auf ein ähnliches Ergebnis kommen wie bei (2).
(4) Dieses Aussage kann ich dann doch mit ( [mm] \vec{u} [/mm] aus U und [mm] \vec{v} [/mm] aus V sind UR) [mm] \vec{u}+\vec{v} \not\in [/mm] UR widerlegen oder?
Gruß Margorion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Fr 30.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu2
[mm] (1,2,3)^T [/mm] liegt nicht in U und ist deshalb sicher keine Basis von U, in U liegen doch die Vektoren, die senkrecht auf [mm] (1,2,3)^T [/mm] stehen, also alle in einer Ebene
find 2 lin. unabh. und dann erst kannst du weiter machen.
wie hast du das denn in 1. gemacht, wenn du denkst dass [mm] (1,2,3)^T [/mm] in U liegt wahrscheinlich falsch?
Wenn du siehst, dass das kern und bild einer matrix ist, solltest du die Matrix hinschreiben. oder begründen, warum du das denkst
Gruss leduart
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| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen
U := [mm] {\vec{x} \in \IR^{3}: \vec{x}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} = 0} [/mm] und V := [mm] {\vec{x}\in \IR^{3} : \vec{x} =t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}; t \in \IR }
[/mm]
(1) U und V sind Untervektorräume von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(2) Die Schnittmenge U [mm] \cap [/mm] V ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(3) Die Vereinigung U [mm] \cup [/mm] V ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(4) Die Summe U + V := [mm] {\vec{u} +\vec{v} : \vec{u} \in U, \vec{v} \in V } [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] |
Hi,
erstmal danke für die Antwort.
Ich habe die ganze Aufgabe abgetippt, also es wurde keine Matrix gegeben. Es handelt sich hier auch "nur" um eine multiple choice Aufgabe.
Das mit der Basis bezüglich eines Kerns habe ich dann wohl missverstanden.
Jedoch dachte ich das ein Kern immer ein UR ist.
Sind dann die Basen von U alle Vektoren die [mm] \vec{x}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = 0 erfüllen? Also z.B. [mm] \vec{u}=\vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \vec{v}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0} [/mm] und halt den von diesen beiden Vektoren aufgespannte Raum?
Grruß Margorion
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Hallo Margorion,
> Gegeben sind die Mengen
> U := [mm]{\vec{x} \in \IR^{3}: \vec{x}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} = 0}[/mm]
> und V := [mm]{\vec{x}\in \IR^{3} : \vec{x} =t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}; t \in \IR }[/mm]
>
> (1) U und V sind Untervektorräume von [mm]\IR^{3}.[/mm]
> (2) Die Schnittmenge U [mm]\cap[/mm] V ist ein Untervektorraum von
> [mm]\IR^{3}.[/mm]
> (3) Die Vereinigung U [mm]\cup[/mm] V ist ein Untervektorraum von
> [mm]\IR^{3}.[/mm]
> (4) Die Summe U + V := [mm]{\vec{u} +\vec{v} : \vec{u} \in U, \vec{v} \in V }[/mm]
> ist ein Untervektorraum von [mm]\IR^{3}[/mm]
> Hi,
> erstmal danke für die Antwort.
>
> Ich habe die ganze Aufgabe abgetippt, also es wurde keine
> Matrix gegeben. Es handelt sich hier auch "nur" um eine
> multiple choice Aufgabe.
>
> Das mit der Basis bezüglich eines Kerns habe ich dann wohl
> missverstanden.
> Jedoch dachte ich das ein Kern immer ein UR ist.
>
> Sind dann die Basen von U alle Vektoren die [mm]\vec{x}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> = 0 erfüllen? Also z.B. [mm]\vec{u}=\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm] und
> [mm]\vec{v}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm] und halt den von diesen
> beiden Vektoren aufgespannte Raum?
>
Ja.
> Grruß Margorion
>
Gruss
MathePower
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