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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen U [mm] \in \IR^3 [/mm] sind ein Untervektorraum des [mm] R^3? [/mm] Begründen Sie Ihre Antworten und bestimmen
Sie gegebenenfalls eine Basis von U.
(a) [mm] U=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \in \IR^3|x_1+5x_2=0\};
[/mm]
(b) [mm] U=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \in \IR^3|x_1=1\}. [/mm] |
Hallo,
das mit der Basis kriege ich noch einigermaßen hin, aber beim UVR habe ich noch schwierigkeiten.
Muss ich die drei Eigenschaften überprüfen?
Also
1)0 [mm] \in [/mm] U
2) Abgeschlossenheit bezüglich dich der Addition
3) Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation
ich weiß aber nicht wie ich das zeigen soll :-S
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke im voraus
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Welche der folgenden Teilmengen U [mm]\in \IR^3[/mm] sind ein
> Untervektorraum des [mm]R^3?[/mm] Begründen Sie Ihre Antworten und
> bestimmen
> Sie gegebenenfalls eine Basis von U.
>
> (a) [mm]U=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \in \IR^3|x_1+5x_2=0\};[/mm]
>
> (b) [mm]U=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \in \IR^3|x_1=1\}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> das mit der Basis kriege ich noch einigermaßen hin, aber
> beim UVR habe ich noch schwierigkeiten.
> Muss ich die drei Eigenschaften überprüfen?
> Also
> 1)0 [mm]\in[/mm] U
> 2) Abgeschlossenheit bezüglich dich der Addition
> 3) Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation
>
> ich weiß aber nicht wie ich das zeigen soll :-S
Auch hier gilt:
Die Lösung eines homogenen linearen Gleichungssytem ist stets ein Unterraum, da man die Lösungen in parametrisierter Form angeben kann. Z. B. bei Teilaufgabe a) [mm] $U=\{(-5x_2, x_2, x_3)^T|x_2, x_3\in\IR\}$
[/mm]
Zerlegung jedes Vektors in zwei Komponenten [mm] "x_2" [/mm] Komponente und [mm] "x_3" [/mm] Komponente:
[mm] $(-5x_2, x_2, x_3)^T=x_2(-5, [/mm] 1, [mm] 0)^T+x_3(0, [/mm] 0, [mm] 1)^T=x_2b_1+x_3b_2$
[/mm]
U ist dann offensichtlich [mm] Spann(b_1,b_2), [/mm] denn alle Linearkombinationen von [mm] b_1,b_2 [/mm] sind gerade die Lösung der Gleichung. Der Spann von Vektoren ist immer ein Untervektorraum
Über die Axiome gehts aber auch: Man sieht, [mm] $(0,0,0)^T\in [/mm] U$. Ferner ist auch [mm] $\lambda v+\mu [/mm] w [mm] \in [/mm] U$ für $v, [mm] w\in [/mm] U$ und [mm] $\lambda, \mu\in \IR$.
[/mm]
Beweis:
Seien [mm] $v=v_1b_1+v_2b_2$ [/mm] und [mm] $w=w_1b_1+w_2b_2$ [/mm] die Linearkombinationen von v, w bzgl [mm] b_1, b_2.
[/mm]
Dann [mm] $\lambda v+\mu w=\lambda(v_1b_1+v_2b_2)+\mu(w_1b_1+w_2b_2)=(\lambda v_1+\mu w_1)b_1+(\lambda v_2+\mu w_2)b_2\in [/mm] U, also ist U abgeschlossen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für deine ausführliche Erklärung!
Eins hab ich noch nicht ganz verstanden:
> Seien [mm]v=v_1b_1+v_2b_2[/mm] und [mm]w=w_1b_1+w_2b_2[/mm] die
> Linearkombinationen von v, w bzgl [mm]b_1, b_2.[/mm]
> Dann [mm]$\lambda v+\mu w=\lambda(v_1b_1+v_2b_2)+\mu(w_1b_1+w_2b_2)=(\lambda v_1+\mu w_1)b_1+(\lambda v_2+\mu w_2)b_2\in[/mm]
> U, also ist U abgeschlossen.
Ist das nicht allgemein gezeigt? Also ich finde hier den bezug zu a nicht. Kann ich das nicht bei jeder Aufgabe hinschreiben? Ich dachte man muss das mit [mm] x_1+5x_2=0 [/mm] zeigen.
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Hallo Melisa,
> Hallo,
>
> danke erstmal für deine ausführliche Erklärung!
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> Eins hab ich noch nicht ganz verstanden:
>
>
> > Seien [mm]v=v_1b_1+v_2b_2[/mm] und [mm]w=w_1b_1+w_2b_2[/mm] die
> > Linearkombinationen von v, w bzgl [mm]b_1, b_2.[/mm]
> > Dann
> [mm]$\lambda v+\mu w=\lambda(v_1b_1+v_2b_2)+\mu(w_1b_1+w_2b_2)=(\lambda v_1+\mu w_1)b_1+(\lambda v_2+\mu w_2)b_2\in[/mm]
> > U, also ist U abgeschlossen.
>
>
> Ist das nicht allgemein gezeigt? Also ich finde hier den
> bezug zu a nicht. Kann ich das nicht bei jeder Aufgabe
> hinschreiben? Ich dachte man muss das mit [mm]x_1+5x_2=0[/mm]
> zeigen.
Nun, der Vektor [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\in [/mm] U$ erfüllt [mm] $v_1+5v_2=0$
[/mm]
Der Vektor [mm] $w=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}\in [/mm] U$ entsprechend [mm] $w_1+5w_2=0$ [/mm]
Addiere beide, erfüllen sie immer noch die Bedingung in U?
Nun mal los ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> > Seien [mm]v=v_1b_1+v_2b_2[/mm] und [mm]w=w_1b_1+w_2b_2[/mm] die
> > Linearkombinationen von v, w bzgl [mm]b_1, b_2.[/mm]
> > Dann
> [mm]$\lambda v+\mu w=\lambda(v_1b_1+v_2b_2)+\mu(w_1b_1+w_2b_2)=(\lambda v_1+\mu w_1)b_1+(\lambda v_2+\mu w_2)b_2\in[/mm]
> > U, also ist U abgeschlossen.
>
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> Ist das nicht allgemein gezeigt? Also ich finde hier den
> bezug zu a nicht. Kann ich das nicht bei jeder Aufgabe
> hinschreiben? Ich dachte man muss das mit [mm]x_1+5x_2=0[/mm]
> zeigen.
Genau das ist hier passiert, die beiden Vektoren [mm] b_1, b_2 [/mm] bilden eine Basis des Lösungsraums der Gleichung [mm] $x_1+5x_2=0$. [/mm] Davon darf man an der Stelle zwar eigentlich noch nicht sprechen, weil ja noch nicht gezeigt wurde, dass es sich um einen Untervektorraum handelt, aber es soll zur Anschauung dienen.
Da wir nur Linearkombinationen von [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] als Elemente von U haben, haben wir entsprechend dem 2. Unterraumkriterium gezeigt, dass für $v, [mm] w\in [/mm] U$ und [mm] $\lambda, \mu \in\IR$ [/mm] auch [mm] $\lambda v+\mu w\in [/mm] U$. Aber eben nur für den Lösungsraum der Gleichung, da die Basiselemente [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] dafür verwendet wurden.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
hmmmm
also vom Prinzip her ist mir das klar,
wenn [mm] v_1+5v_2=0 [/mm] und [mm] w_1+5w_2=0 [/mm] beide elemente in U, dann sind auch
[mm] v_1+5v_2+w_1+5w_2 [/mm] elemente in U weil da ja sozusagen 0+0 steht, aber wie schreib ich das als so eine Kette auf?
Lg Melisa
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Hallo nochmal,
> hmmmm
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> also vom Prinzip her ist mir das klar,
>
>
> wenn [mm]v_1+5v_2=0[/mm] und [mm]w_1+5w_2=0[/mm] beide elemente in U,
Nein, das sind nicht Elemente von U!
Es sind [mm] $\vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3},\vec{w}=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}\in [/mm] U$
Damit gilt [mm] $v_1+5v_2=0$ [/mm] und [mm] $w_1+5w_2=0$
[/mm]
> dann sind auch
>
> [mm]v_1+5v_2+w_1+5w_2[/mm] elemente in U
Nein, das ist doch eine reelle Zahl, was da oben steht, in $U$ sind Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] mit einer bestimmten Eigenschaft, nämlich, dass erste Komponente +*2.Komponente =0 ist
> weil da ja sozusagen 0+0
> steht, aber wie schreib ich das als so eine Kette auf?
Nun, mit [mm]\vec v,\vec w[/mm] wie oben ist
[mm]\vec v+\vec w=\vektor{v_1+w_1\\
v_2+w_2\\
v_3+w_3}[/mm]
Nun prüfe, ob gilt [mm](v_1+w_1)+5(v_2+w_2)=0[/mm] gilt ...
Falls das so ist, ist halt [mm]\vec v+\vec w\in U[/mm]
Das ist genauso einfach wie du denkst, dass es ist 
Gruß
schachuzipus
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>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
[mm] (v_1+w_1)+5(v_2+w_2)=v_1+w_1+5v_2+5w_2=v_1+5v_2+w_1+5w_2=0+0=0
[/mm]
So ist es jetzt denk ich mal richtig?
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Hallo nochmal,
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> [mm](v_1+w_1)+5(v_2+w_2)=v_1+w_1+5v_2+5w_2=v_1+5v_2+w_1+5w_2=0+0=0[/mm]
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> So ist es jetzt denk ich mal richtig?
Genau, damit erfüllt also der (Summen-)Vektor [mm]\vec z=\vec v+\vec w[/mm] die Bedingung, die in [mm]U[/mm] gefordert ist, also ist [mm]\vec v+\vec w\in U[/mm]
Nun noch nachprüfen, ob für bel. [mm]\lambda\in\IR[/mm] und [mm]\vec v\in U[/mm] auch [mm]\lambda\vec{v}\in U[/mm] ist.
Gruß
schachuzipus
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