Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seine U, U' zwei Unterräume eines Vektorraumes V über dem Körper K mit U [mm] \cap [/mm] U'=0 und linear unabhängigen Teilmengen A [mm] \subseteq [/mm] U und A' [mm] \subseteq [/mm] U'. Zeigen Sie, dass A [mm] \cup [/mm] A' linear unabhängig ist. |
Also ich weiß nicht so ganz wie ich das formal ausdrücken kann, wobeid er Sachverhalt klar ist.
Also wenn der Schnitt von den 2 Unterräumen 0 ist, heißt es ja entweder das sie disjunkt sind oder identisch.
aber wie kann ich diese tatsache mit der linearen unabhängigkeit der teilmengen in verbindung bringen.
Über Hinweise wäre ich sehr dankbar.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mi 06.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schmetterfee,
> Also ich weiß nicht so ganz wie ich das formal
> ausdrücken kann, wobeid er Sachverhalt klar ist.
Ist der Sachverhalt wirklich klar?
> Also wenn der Schnitt von den 2 Unterräumen 0 ist, heißt
> es ja entweder das sie disjunkt sind oder identisch.
Das stimmt nicht. Dass der Schnitt zweier Unterräume 0 (also der Untervektorraum {0}, der als einziges Element den Nullvektor enthält) ist, bedeutet, dass der einzige Vektor, der in beiden Unterräumen gleichzeitig drin ist, der Nullvektor ist. Die Unterräume sind also nicht disjunkt (das hieße, dass kein einziger Vektor in beiden Unterräumen liegt). Erst recht sind die Unterräume i.A. überhaupt nicht identisch: Sie haben ja außer dem Nullvektor keine gemeinsamen Elemente.
> aber wie kann ich diese tatsache mit der linearen
> unabhängigkeit der teilmengen in verbindung bringen.
Ehe wir zu Beweisdetails kommen können: Das Wichtigste ist zunächst mal, dass du dir klar machst, was zu zeigen ist. Wie lautet die Definition davon, dass [mm]A\cup A'[/mm] linear unabhängig ist? Was ist also zu zeigen?
Viele Grüße
Tobias
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Sorry habe mich falsch ausgedrückt das ist mir im nachhinein eingefallen die beiden haben ja nur die 0 zusammen... denn wenn sie disjunk wären wäre der schnitt ja leer.
mir ist auch klar das die beiden teilmengen unabhängig sind, weil die untervektoräume ja ineinander abgeschlossen sind bzgl. der addition und der multiplikation. d.h. wenn ich aus U was addiere lande ich auch immer wieder in U...und nicht in U' das gleiche gilt auch für die multiplikation...von daher muss die vereinigung l.u. sein weil man keine verknüpfung von einem element aus U zu einem elemnet aus U' findet.
aber wie kann ich das jetzt formal richtig ausdrücken?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
gib den Elementen von U und U' Namen wie [mm] u_i [/mm] und u'_i
was bedeutete dann [mm] U\cap [/mm] U'=0
2, was bedeutet [mm] A\subseteq [/mm] U
3. was heisst [mm] A\cup [/mm] A' lin. unabh.
Einfach überall die Def hinschreiben und dann sindds nur wenige Sätze zusätzlich.
Bei solchen Beweisen gehts immer nur darum die Def. richtig anzuwenden, also sollte man sie als erstes hinschreiben.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
als Ergänzung (nicht als Ersatz!) zu leduarts Hinweisen:
> Sorry habe mich falsch ausgedrückt das ist mir im
> nachhinein eingefallen die beiden haben ja nur die 0
> zusammen... denn wenn sie disjunk wären wäre der schnitt
> ja leer.
Kein Problem, du musst dich hier nicht für Fehler entschuldigen!
> aber wie kann ich das jetzt formal richtig ausdrücken?
Leider enthält deine Erklärung Fehler, so dass sie sich so nicht korrekt formalisieren lässt.
> mir ist auch klar das die beiden teilmengen unabhängig
> sind, weil die untervektoräume ja ineinander abgeschlossen
> sind bzgl. der addition und der multiplikation. d.h. wenn
> ich aus U was addiere lande ich auch immer wieder in
> U
Korrekt (wenn du ein Element von U mit einem weiteren Element von U addierst, erhältst du wieder ein Element von U)!
> ...und nicht in U'
Nur falls diese Summe ungleich dem Nullvektor ist.
> daher muss die vereinigung l.u. sein
> weil man keine verknüpfung von einem element aus U zu
> einem elemnet aus U' findet.
Wenn keine Linearkombination von Elementen aus U (meintest du das mit "Verknüpfung von einem Element aus U"?) Element von U' ist, folgt noch lange nicht, dass [mm]A\cup A'[/mm] linear unabhängig ist!
(Interessanter Weise hast du nirgendwo die linearen Unabhängigkeiten von A und A' benutzt, schon deshalb kann die Argumentation nicht stimmen.)
Wie ist nämlich definiert, dass [mm]A\cup A'[/mm] linear unabhängig ist? Das musst du dir unbedingt klar machen, sonst hast du keine Chance.
Viele Grüße
Tobias
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Also die Defintionen sind mir einiger maßen klar.
Das U [mm] \cap [/mm] U' =0 ist, bedeutet das die beiden Vektoren nur den Nullvektor als gemeinsames Element haben.
A [mm] \subseteq [/mm] U bedeutet, dass A einen Teil der Vektoren von U enthält...laut Aufgabe ist diese Teilmenge linear unabhängig, d.h. die einzelnen Vektoren sind nicht durch Linearkombinationen der anderen Vektoren aus A darstellbar.
Der Ausdruck A \ cap A', drückt aus das die Vereinigungsmenge von A und A' linear unabhängig ist, d.h. wenn ich die Vektoren aus A und A' zusammen tue soll eine Menge entstehn die linear unabhängig ist. Linear unabhängig zu sein bedeutet das die einzelnen Vektoren nicht mithilfe von Linearkombinationen der anderen Elemente dieser Menge darstellbar sind. Bzw. aus [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} a_{i}=0 [/mm] mit [mm] \alpha_{i},...,\alpha_{n} \in [/mm] K folgt [mm] \alpha_{i},...,\alpha_{n}=0
[/mm]
so dies ist mir soweit alles klar reicht das schon für den beweis??..und wie formulier ich den mit diesem wissen formal richtig?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bzw. aus $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} a_{i}=0 [/mm] $ mit $ [mm] \alpha_{i},...,\alpha_{n} \in [/mm] $ K folgt $ [mm] \alpha_{i},...,\alpha_{n}=0 [/mm] $
richtig mit [mm] a_i\in [/mm] A
jetzt formal : [mm] u_i\in [/mm] U, u'_i [mm] \inU' [/mm] und [mm] U\cap\U'=0 [/mm] folgt
für alle [mm] u_k,u'_i
[/mm]
[mm] u_k\ne\summe_{i=1}^{n}a_iu_i [/mm] für alle [mm] a_i
[/mm]
jetzt schreib hin, was es bedeutete dass [mm] A\cup [/mm] A' lin unabh. und benutz die Vors.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:40 Do 07.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
> Hallo
> Bzw. aus [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} a_{i}=0[/mm] mit
> [mm]\alpha_{i},...,\alpha_{n} \in[/mm] K folgt
> [mm]\alpha_{i},...,\alpha_{n}=0[/mm]
> richtig mit [mm]a_i\in[/mm] A
>
> jetzt formal : [mm]u_i\in[/mm] U, u'_i [mm]\inU'[/mm] und [mm]U\cap\U'=0[/mm] folgt
> für alle [mm]u_k,u'_i[/mm]
was ist diese [mm] u_{k}??einfach [/mm] ein anderes beliebiges Element aus U?
> [mm]u_k\ne\summe_{i=1}^{n}a_iu_i[/mm] für alle [mm]a_i[/mm]
> jetzt schreib hin, was es bedeutete dass [mm]A\cup[/mm] A' lin
> unabh. und benutz die Vors.
kann man das als wiederspruchsbeweis machen in dem man sagt, dass [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} a_{i} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{m} \beta_{j} b_{j} [/mm] =0 ...und das geht nicht weil die Vereinigung linear unabhängig ist?
> Gruss leduart
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> jetzt formal : [mm]u_i\in[/mm] U, u'_i [mm]\inU'[/mm] und [mm]U\cap\U'=0[/mm] folgt
> für alle [mm]u_k,u'_i[/mm]
> [mm]u_k\ne\summe_{i=1}^{n}a_iu_i[/mm] für alle [mm]a_i[/mm]
[mm] u_k [/mm] ungleich dem Nullvektor vorausgesetzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Z.B. gilt mit [mm] $u_k=0$ [/mm] und $n=1,u'_1=0$ sehr wohl [mm] $u_k=\summe_{i=1}^nu'_i$.
[/mm]
Ich überlasse ansonsten lieber erstmal leduart das Feld, denn er und ich scheinen verschiedene Ansätze zu verfolgen. Viel Erfolg!
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achso..jetzt evrsteh ich was damit gemeint ist..aber wie würdest du das denn machen??...mir gehts ja nur darum das ich es verstehen will...ich will selbstständig zur lösung kommen
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
EDIT: In der ursprünglichen Version hatte ich bei der Definition der linearen Unabhängigkeit das $ [mm] a_1,\ldots,a_n [/mm] $ paarweise verschieden vergessen.
O.K., also doch:
Der Übersichtlichkeit halber hier nochmal die Definition von [mm] $A\cup [/mm] A'$ linear unabhängig:
Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und alle paarweise verschiedenen [mm] $a_1,\ldots,a_n\in A\cup [/mm] A'$ folgt aus [mm] $\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] für gewisse [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in [/mm] K$ bereits [mm] $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$.
[/mm]
Um das zu zeigen, betrachten wir also ein beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] und paarweise verschiedene Vektoren [mm] $a_1,\ldots,a_n\in A\cup [/mm] A'$. Weiterhin nehmen wir [mm] $\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] für gewisse [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in [/mm] K$ an. Zu zeigen ist [mm] $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$.
[/mm]
Bis hierher solltest du in Zukunft selbstständig kommen, ab jetzt braucht man irgendwelche Ideen. Mir fällt leider kein besserer Erklärweg ein, als diese Ideen anzudeuten.
Zunächst mal sollten wir die Definition von [mm] $A\cup [/mm] A'$ ins Spiel bringen: Für alle [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] gilt [mm] $a_i\in [/mm] A$ oder [mm] $a_i\in [/mm] A'$. Es macht uns das Leben leichter, wenn wir annehmen, dass die ersten k Vektoren [mm] $a_1,\ldots,a_k$ [/mm] Element von A und die anderen Vektoren [mm] $a_{k+1},\ldots,a_n$ [/mm] Element von A' sind. Tatsächlich dürfen wir dies oBdA annehmen, indem wir bei Bedarf die Reihenfolge der Vektoren verändern.
Nun ist es geschickt, die [mm] $a_{k+1},\ldots,a_n$ [/mm] in der Gleichung [mm] $\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] auf die andere Seite zu bringen. Welche Gleichung erhalten wir? In welchen Mengen muss der durch die beiden Seiten der Gleichung dargestellte Vektor in jedem Fall liegen?
Vielleicht erstmal bis dahin. Mehr dann im nächsten Post.
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so bis hier hin hab ich das verstanden und finde das recht logisch wenn man die definitionen bedenkt.
> Nun ist es geschickt, die [mm]a_{k+1},\ldots,a_n[/mm] in der
> Gleichung [mm]\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0[/mm] auf die andere Seite
> zu bringen.
Welche Gleichung erhalten wir? In welchen
> Mengen muss der durch die beiden Seiten der Gleichung
> dargestellte Vektor in jedem Fall liegen?
[mm] \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} a_{1,...,a_{k}}=-\summe_{k+1=1}^{n} \alpha_{k+1} a_{a_{k+1},...,a_{n}}
[/mm]
kann ich das Indiez i einfach in k umbennen oder muss das i bleiben?
aber wieso ist das geschickter dies auf die andere seite zu bringen?..gibt es dafür ne begründung oder muss man das einfach sehen?
der vektor muss doch auf jeden fall in der vereinigung von den beiden liegen oder nicht?
>
> Vielleicht erstmal bis dahin. Mehr dann im nächsten Post.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} a_{1,...,a_{k}}=-\summe_{k+1=1}^{n} \alpha_{k+1} a_{a_{k+1},...,a_{n}}[/mm]
>
> kann ich das Indiez i einfach in k umbennen oder muss das i
> bleiben?
k ist schon eine natürliche Zahl mit [mm] $a_1,\ldots,a_k\in [/mm] A$, [mm] $a_{k+1},\ldots,a_n\in [/mm] A'$, also sollte sie nicht gleichzeitig als Index in einer Summe fungieren. Hast du dich bei der Gleichung ein bisschen vertippt? Was soll z.B. [mm] $a_{1,...,a_{k}}$ [/mm] bedeuten? Also richtig sollte die Gleichung folgendermaßen lauten: [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=-\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i$.
[/mm]
> aber wieso ist das geschickter dies auf die andere seite
> zu bringen?..gibt es dafür ne begründung oder muss man
> das einfach sehen?
Tja, also ehrlich gesagt fällt mir da jetzt auch keine tolle Erklärung ein. Um die lineare Unabhängigkeit z.B. von A ins Spiel zu bringen, hätten wir gerne [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0$ [/mm] da stehen (mit der linearen Unabhängigkeit von A würde dann nämlich folgen: ?). So steht zumindest schon mal eine Gleichung mit [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i$ [/mm] auf einer Seite.
> der vektor muss doch auf jeden fall in der vereinigung von
> den beiden liegen oder nicht?
Vereinigung welcher Mengen? Guck dir vielleicht nochmal z.B. erstmal die linke Seite in der jetzt korrekten Gleichung an. Wenn du nicht weiterkommst: In welchen Mengen liegen die [mm] $a_i$, [/mm] die auf der linken Seite auftauchen (hier kannst du [mm] $A\subset [/mm] U$ ins Spiel bringen). In welcher Menge muss also die Linearkombination dieser [mm] $a_i$ [/mm] liegen?
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> Hast du
> dich bei der Gleichung ein bisschen vertippt? Was soll z.B.
> [mm]a_{1,...,a_{k}}[/mm] bedeuten?
ich hatte mich teilweise vertippt aber teilewiese auch nicht weil ich mir nicht sicher war ob k zum Index wird oder i bleibt...
> (mit der linearen
> Unabhängigkeit von A würde dann nämlich folgen: ?).
das die Koeffizienten [mm] \alpha_{i} [/mm] 0 sind wenn die Formel 0 ist?...und das ist ja das was wir zeigen wollen oder nicht?
> > der vektor muss doch auf jeden fall in der vereinigung von
> > den beiden liegen oder nicht?
> Vereinigung welcher Mengen? Guck dir vielleicht nochmal
> z.B. erstmal die linke Seite in der jetzt korrekten
> Gleichung an. Wenn du nicht weiterkommst: In welchen Mengen
> liegen die [mm]a_i[/mm], die auf der linken Seite auftauchen (hier
> kannst du [mm]A\subset U[/mm] ins Spiel bringen).
>In welcher Menge
> muss also die Linearkombination dieser [mm]a_i[/mm] liegen?
>
Also die a auf der linken Seite liegen in A...muss daher die Linearkombination auf der rechten Seite auch in A liegen?...wobei sie doch eigentlich in A' liegen müssten aufgrund der abgeschlossenheit der unterräume doer nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > (mit der linearen
> > Unabhängigkeit von A würde dann nämlich folgen: ?).
> das die Koeffizienten [mm]\alpha_{i}[/mm] 0 sind wenn die Formel 0
> ist?...und das ist ja das was wir zeigen wollen oder
> nicht?
Ja genau, die [mm] $\alpha_i$, [/mm] die in [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i$ [/mm] auftreten, also [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$, [/mm] wären dann 0. Zu zeigen ist, dass nicht nur die ersten k, sondern alle [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ [/mm] gleich 0 sind. Aber das wäre ein Anfang und wenn wir den einmal hätten, würden wir auch zeigen können, dass die restlichen [mm] $\alpha_i$ [/mm] gleich 0 sind.
> > > der vektor muss doch auf jeden fall in der vereinigung von
> > > den beiden liegen oder nicht?
> > Vereinigung welcher Mengen? Guck dir vielleicht nochmal
> > z.B. erstmal die linke Seite in der jetzt korrekten
> > Gleichung an. Wenn du nicht weiterkommst: In welchen Mengen
> > liegen die [mm]a_i[/mm], die auf der linken Seite auftauchen (hier
> > kannst du [mm]A\subset U[/mm] ins Spiel bringen).
> >In welcher Menge
> > muss also die Linearkombination dieser [mm]a_i[/mm] liegen?
> >
> Also die a auf der linken Seite liegen in A
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
> muss daher
> die Linearkombination auf der rechten Seite auch in A
> liegen?...wobei sie doch eigentlich in A' liegen müssten
> aufgrund der abgeschlossenheit der unterräume doer nicht?
Bleiben wir erstmal bei den beiden Seiten getrennt voneinander.
Zur linken Seite: Warum sollte mit den [mm] $a_i$ ($i\in\{1,\ldots,k\}$) [/mm] auch eine Linearkombination dieser Vektoren in A liegen? Aber für diese [mm] $a_i$ [/mm] gilt wegen [mm] $a_i\in [/mm] A$ und [mm] $A\subset [/mm] U$ auch...? (Definition von [mm] $A\subset [/mm] U$ anwenden). U ist ein Unterraum, also...?
Zur rechten Seite: Die [mm] $a_i$, [/mm] die dort auftreten, sind Elemente von A'. Die Abgeschlossenheit von Unterräumen ist nicht anwendbar, weil A' kein Unterraum ist! (Aber U' ist einer...)
Kompliment für deine Ausdauer! Gib mir bitte eine kurze Rückmeldung, ob ich weiter versuchen soll, möglichst viele Überlegungen dir zu überlassen, oder etwas mehr selbst schreiben soll!
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> Bleiben wir erstmal bei den beiden Seiten getrennt
> voneinander.
> Zur linken Seite: Warum sollte mit den [mm]a_i[/mm]
> ([mm]i\in\{1,\ldots,k\}[/mm]) auch eine Linearkombination dieser
> Vektoren in A liegen? Aber für diese [mm]a_i[/mm] gilt wegen [mm]a_i\in A[/mm]
> und [mm]A\subset U[/mm] auch...? (Definition von [mm]A\subset U[/mm]
> anwenden). U ist ein Unterraum, also...?
auf was willst du hier genau hinaus?...die [mm] A_{i} [/mm] sind ja in der teilmenge von U enthalten und somit auch Vektoren des Unterraumes aber was nützt mir das für die aufgabe? weil die unterraumkriterien kann ich ja nicht anwenden weil es kein unterraum ist...wie kann ich denn die unterraumkiriterien anwenden?..oer illst du gar nicht darauf hinaus?
> Zur rechten Seite: Die [mm]a_i[/mm], die dort auftreten, sind
> Elemente von A'. Die Abgeschlossenheit von Unterräumen ist
> nicht anwendbar, weil A' kein Unterraum ist! (Aber U' ist
> einer...)
>
> Kompliment für deine Ausdauer! Gib mir bitte eine kurze
> Rückmeldung, ob ich weiter versuchen soll, möglichst
> viele Überlegungen dir zu überlassen, oder etwas mehr
> selbst schreiben soll!
Das hat nichts mit Ausdauer zu tun...sondern ich möchte einfach verstehen was ich da tue und da ist das so der beste Weg, weil das in der Klausur später denn ja auch können muss...daher find ich das von dir echt nett das du so viel ausdauer hast und mich langsam zum Ziel führst...fühl mich bei dir in guten Händen:)...wie lange hast du eigentlich gebraucht bist du die aufgaben so von ganz allein lösen konntest?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> die [mm]A_{i}[/mm] sind ja
> in der teilmenge von U enthalten und somit auch Vektoren
> des Unterraumes
Genau, für diese [mm] $a_i$ ($i\in\{1,\ldots,k\}$) [/mm] gilt [mm] $a_i\in [/mm] U$.
> aber was nützt mir das für die aufgabe?
> weil die unterraumkriterien kann ich ja nicht anwenden weil
> es kein unterraum ist...wie kann ich denn die
> unterraumkiriterien anwenden?
Ja, A ist kein Unterraum, U aber schon! Aus [mm] $a_i\in [/mm] U$ für alle [mm] $i\in\{1,\ldots,k\}$ [/mm] folgt daher [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i$ [/mm] ...?
Wenn du das hast, kannst du mal mit der rechten Seite ähnlich verfahren wie mit der linken.
> Das hat nichts mit Ausdauer zu tun...sondern ich möchte
> einfach verstehen was ich da tue und da ist das so der
> beste Weg, weil das in der Klausur später denn ja auch
> können muss...daher find ich das von dir echt nett das du
> so viel ausdauer hast und mich langsam zum Ziel
> führst...fühl mich bei dir in guten Händen:)...wie lange
> hast du eigentlich gebraucht bist du die aufgaben so von
> ganz allein lösen konntest?
Dankeschön, das freut mich! Es macht auch am meisten Spaß, jemandem zu erklären, der dauerhaft am Ball bleibt! Mir fiel der Einstieg ins Studium erstaunlich leicht, dafür fand ich, wurde und wird es im Laufe des Studiums immer schwerer. Den meisten geht es meinem Eindruck nach aber umgekehrt.
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> > aber was nützt mir das für die aufgabe?
> > weil die unterraumkriterien kann ich ja nicht anwenden weil
> > es kein unterraum ist...wie kann ich denn die
> > unterraumkiriterien anwenden?
> Ja, A ist kein Unterraum, U aber schon! Aus [mm]a_i\in U[/mm] für
> alle [mm]i\in\{1,\ldots,k\}[/mm] folgt daher
> [mm]\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i[/mm] ...?
Na die Summe liegt dann ja auch wieder in U wegen der abgeschlossenheit von U...das gleiche gilt auch für die andere Seite...folglich liegen die Summe der linken Seite in U und die der rechten Seite in U'...aber was bringt mich das weiter?
> Wenn du das hast, kannst du mal mit der rechten Seite
> ähnlich verfahren wie mit der linken.
> Dankeschön, das freut mich! Es macht auch am meisten
> Spaß, jemandem zu erklären, der dauerhaft am Ball bleibt!
> Mir fiel der Einstieg ins Studium erstaunlich leicht,
> dafür fand ich, wurde und wird es im Laufe des Studiums
> immer schwerer. Den meisten geht es meinem Eindruck nach
> aber umgekehrt.
In welchem Semester bist du denn jetzt??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Aus [mm]a_i\in U[/mm]
> für
> > alle [mm]i\in\{1,\ldots,k\}[/mm] folgt daher
> > [mm]\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i[/mm] ...?
> Na die Summe liegt dann ja auch wieder in U wegen der
> abgeschlossenheit von U...das gleiche gilt auch für die
> andere Seite...folglich liegen die Summe der linken Seite
> in U und die der rechten Seite in U'...aber was bringt mich
> das weiter?
Genau! Nachdem wir das haben, betrachten wir die beiden Seiten nicht mehr getrennt, sondern beachten, dass beide Seiten der gleiche Vektor sind. Also ist er sowohl in U, als auch in U'. Also liegt er auch in ...? (Wir haben übrigens noch nicht [mm] $U\cap [/mm] U'=0$ benutzt... Bringt dich das auf eine Idee?)
> In welchem Semester bist du denn jetzt??
Im achten.
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> Genau! Nachdem wir das haben, betrachten wir die
> beiden Seiten nicht mehr getrennt, sondern beachten, dass
> beide Seiten der gleiche Vektor sind. Also ist er sowohl in
> U, als auch in U'. Also liegt er auch in ...? (Wir haben
> übrigens noch nicht [mm]U\cap U'=0[/mm] benutzt... Bringt dich das
> auf eine Idee?)
Naja das heißt das ein und der selbe Vektor in U und U' liegt. Laut Vorrausetzung haben wir aber gesagt, dass U und U' nur die 0 gemeinsam haben...so und jetzt weiß ich nicht genau...ist das denn ein widerspruch oder was??..oder haben wir jetzt den 0 vektor dargestellt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Naja das heißt das ein und der selbe Vektor in U und U'
> liegt. Laut Vorrausetzung haben wir aber gesagt, dass U und
> U' nur die 0 gemeinsam haben...
Genau! Etwas formaler: dieser Vektor liegt im Unterraum [mm] $U\cap [/mm] U'$. Wegen [mm] $U\cap [/mm] U'=0$ muss er also der Nullvektor sein!
> ...ist das denn ein widerspruch oder was??
Nein, wir führen hier KEINEN Widerspruchsbeweis ("Angenommen, das Gegenteil von dem, was wir zeigen wollen, träfe zu...").
> ..oder haben
> wir jetzt den 0 vektor dargestellt?
In der Tat (s.o.)!
Schreib am besten mal die sich neu ergebenden Gleichungen hin: Von welchen Vektoren wissen wir jetzt, dass sie der Nullvektor sind? Was können wir daraus schließen (welche Voraussetzungen haben wir noch nicht ins Spiel gebracht?)?
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> Schreib am besten mal die sich neu ergebenden Gleichungen
> hin: Von welchen Vektoren wissen wir jetzt, dass sie der
> Nullvektor sind? Was können wir daraus schließen (welche
> Voraussetzungen haben wir noch nicht ins Spiel gebracht?)?
Wir haben jetzt gezeigt, dass
[mm] \summe_{i=1}^{k} \alpha_{i} a_{i} [/mm] = - [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i} [/mm] = 0 sind.
Somit wissen wir das diese beiden Vektoren der Nullvektor sind... somit wissen wir das alle koeffizienten [mm] \alpha_{i},..., \alpha_{n} [/mm] es vermögen den nullvektor darzustellen und das ist ja das kriterium für lineare unabhängigkeit..sind wir denn jetzt schon fertig oder was müssen wir jetzt noch zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Wir haben jetzt gezeigt, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_{i} a_{i}[/mm] = - [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}[/mm] = 0 sind.
> Somit wissen wir das diese beiden Vektoren der Nullvektor
> sind...
> somit wissen wir das alle koeffizienten
> [mm]\alpha_{i},..., \alpha_{n}[/mm] es vermögen den nullvektor
> darzustellen
Was meinst du damit? Bedenke: [mm] $\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] wissen wir schon von Anfang an.
> und das ist ja das kriterium für lineare
> unabhängigkeit..
??? Lineare Unabhängigkeit von welcher Menge?
> sind wir denn jetzt schon fertig oder was
> müssen wir jetzt noch zeigen?
Wenn wir gezeigt haben, dass [mm] $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$, [/mm] sind wir in der Tat fertig!
Noch konnte ich bei dir allerdings dafür nicht die richtige Begründung erkennen.
Zwei Hinweise:
Wegen [mm] $-\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}=0$ [/mm] gilt auch [mm] $\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}=0$.
[/mm]
Welche Voraussetzung(en) haben wir noch nicht verwendet?
(Mir fällt gerade auf, dass vergessen habe, bei der Definition der linearen Unabhängigkeit von [mm] $A\cup [/mm] A'$ vergessen habe, [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] paarweise verschieden zu schreiben. Ich korrigiere das gleich.)
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> > Wir haben jetzt gezeigt, dass
> > [mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_{i} a_{i}[/mm] = - [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}[/mm]
> = 0 sind.
> > Somit wissen wir das diese beiden Vektoren der Nullvektor
> > sind...
>
>
> > somit wissen wir das alle koeffizienten
> > [mm]\alpha_{i},..., \alpha_{n}[/mm] es vermögen den nullvektor
> > darzustellen
> Was meinst du damit? Bedenke: [mm]\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0[/mm]
> wissen wir schon von Anfang an.
>
> > und das ist ja das kriterium für lineare
> > unabhängigkeit..
> ??? Lineare Unabhängigkeit von welcher Menge?
>
> > sind wir denn jetzt schon fertig oder was
> > müssen wir jetzt noch zeigen?
> Wenn wir gezeigt haben, dass [mm]\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0[/mm],
> sind wir in der Tat fertig!
>
> Noch konnte ich bei dir allerdings dafür nicht die
> richtige Begründung erkennen.
Nützt es mir was das ich weiß [mm] mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_{i} a_{i}[/mm] [/mm] + [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}[/mm] =0???
würden wir damit zeigen, dass die vereinigung von A und A' linear unabhängig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Nützt es mir was das ich weiß [mm]mm]\summe_{i=1}^{k} \alpha_{i} a_{i}[/mm][/mm]
> + [mm]\summe_{i=k+1}^{n} \alpha_{i} a_{i}[/mm] =0???
Nein, das ist nur eine andere Schreibweise für die Gleichung [mm] $\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0$, [/mm] mit der wir begonnen haben.
Ich fasse mal das Ergebnis unserer bisherigen Überlegungen zusammen:
[mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0$ [/mm] und [mm] $\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0$.
[/mm]
Hier nochmal die Aufgabenstellung:
| Aufgabe | | Es seine U, U' zwei Unterräume eines Vektorraumes V über dem Körper K mit U [mm] \cap [/mm] U'=0 und linear unabhängigen Teilmengen A [mm] \subseteq [/mm] U und A' [mm] \subseteq [/mm] U'. Zeigen Sie, dass A [mm] \cup [/mm] A' linear unabhängig ist. |
Gucken wir uns mal an, welche Voraussetzungen wir bisher schon ins Spiel gebracht haben: Dass U und U' Unterräume von V sind: Ja. Dass [mm] $U\cap [/mm] U'=0$ gilt: Haben wir benutzt. Dass A bzw. A' Teilmengen von U bzw. U' sind: Kam in unserer Argumentation vor. Dass A und A' jeweils linear unabhängig sind: Hm, ... Also höchste Zeit, diese beiden Voraussetzungen zu verwenden!
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> Gucken wir uns mal an, welche Voraussetzungen wir bisher
> schon ins Spiel gebracht haben: Dass U und U' Unterräume
> von V sind: Ja. Dass [mm]U\cap U'=0[/mm] gilt: Haben wir benutzt.
> Dass A bzw. A' Teilmengen von U bzw. U' sind: Kam in
> unserer Argumentation vor. Dass A und A' jeweils linear
> unabhängig sind: Hm, ... Also höchste Zeit, diese beiden
> Voraussetzungen zu verwenden!
Ich dachte das hätten wir schon verwendet...wie soll ich das denn noch einbauen..das bedeutet doch nur das die einzelnen vektoren der menge A nicht als Linearkombinationen von jeweils 2 anderen vektoren der menge A darstellbar sind oder nicht?..das gleiche gilt auch für A' aber wie bringt mich das weiter?..ich weiß das die vektoren in A sowohl auch in A' linear unabhängig sind und wie bringe ich das jetzt mit der vereinigung der beiden mengen in verbindung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich dachte das hätten wir schon verwendet...
Wahrscheinlich dachtest du an folgendes Zitat aus einer früheren Antwort von mir:
> Um die lineare Unabhängigkeit z.B. von A ins Spiel zu bringen, hätten wir gerne [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0$ [/mm] da stehen (mit der linearen Unabhängigkeit von A würde dann nämlich folgen: ?).
Jetzt ist der Punkt gekommen, dass wir die Gleichung [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0$ [/mm] tatsächlich gezeigt haben.
> wie soll ich
> das denn noch einbauen..das bedeutet doch nur das die
> einzelnen vektoren der menge A nicht als
> Linearkombinationen von jeweils 2 anderen vektoren der
> menge A darstellbar sind oder nicht?
Nach Definition (nehme ich zumindest mal an, dass auch ihr diese Definition hattet) bedeutet die lineare Unabhängigkeit von A erstmal was anderes (nämlich? Am besten in den Vorlesungsmitschriften nachschlagen. Das brauchst du hier unbedingt.) In einem Satz wird dann üblicherweise gezeigt, dass die lineare Unabhängigkeit so einer Menge A gleichbedeutend damit ist, dass keiner der Vektoren aus A als Linearkombination von anderen Vektoren aus A darstellbar ist. Mit Linearkombinationen von genau 2 Vektoren hat das nichts zu tun.
> ich weiß das die
> vektoren in A sowohl auch in A' linear unabhängig sind und
> wie bringe ich das jetzt mit der vereinigung der beiden
> mengen in verbindung?
Zu zeigen ist im Moment [mm] $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$.
[/mm]
Versuche die Gleichung [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0$ [/mm] mit der linearen Unabhängigkeit von A in Zusammenhang zu bringen.
Danach das gleiche mit [mm] $\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] und der linearen Unabhängigkeit von A'.
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> Zu zeigen ist im Moment [mm]\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0[/mm].
> Versuche die Gleichung [mm]\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0[/mm] mit der
> linearen Unabhängigkeit von A in Zusammenhang zu bringen.
> Danach das gleiche mit [mm]\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0[/mm] und
> der linearen Unabhängigkeit von A'.
So ich glaube jetzt ist bei mir der Punkt erreicht wo ich absolut nicht weiter weiß...wie soll ich das beides denn miteinander verbinden??...d.h. heißt doch eigentlich nur wenn ich mit hilfe von linearkombinationen den nullvektor darstellen will..dann geht das nur wenn die koeffizienten gleich 0 sind...und wie drücke ich das formal aus??..ich glaub den sprung schafft mein kopf grad nicht:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> d.h. heißt doch eigentlich nur
> wenn ich mit hilfe von linearkombinationen den nullvektor
> darstellen will..dann geht das nur wenn die koeffizienten
> gleich 0 sind...
Ja (Linearkombinationen von paarweise verschiedenen Vektoren aus der mutmaßlich linear unabhängigen Teilmenge). Und hier
> > Versuche die Gleichung [mm]\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0[/mm] mit der
> > linearen Unabhängigkeit von A in Zusammenhang zu bringen.
hast du eine Linearkombination des Nullvektors von paarweise verschiedenen Vektoren aus A. Also sind die Koeffizienten, also die [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$, [/mm] gleich 0.
> > Danach das gleiche mit [mm]\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0[/mm] und
> > der linearen Unabhängigkeit von A'.
Das schaffst du jetzt!
> > Zu zeigen ist im Moment [mm]\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0[/mm].
Also? Trommelwirbel und... 
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So jetzt bin ich wieder denkfähig:)
> > > Danach das gleiche mit [mm]\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0[/mm] und
> > > der linearen Unabhängigkeit von A'.
> Das schaffst du jetzt!
da haben wir eine Linearkombination des Nullvektors von
paarweise verschiedenen Vektoren aus A'. Also sind die
Koeffizienten, also die [mm] \alpha_{k+1}...\alpha_{n} [/mm] gleich 0.
somit hätten wir gezeigt das sowohl die [mm] \alpha_{a}...\alpha_{k} [/mm] als auch die [mm] \alpha_{k+1}...\alpha_{n} [/mm] gleich 0 sind und somit wäre gezeigt das [mm] \alpha_{1}=...=\alpha{n}=0 [/mm] ist...oder habe ich jetzt einen zwischenschritt vergessen???...dann sind wir doch am ziel oder?
> Also? Trommelwirbel und...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > > > Danach das gleiche mit
> [mm]\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0[/mm] und
> > > > der linearen Unabhängigkeit von A'.
> > Das schaffst du jetzt!
> da haben wir eine Linearkombination des Nullvektors von
> paarweise verschiedenen Vektoren aus A'. Also sind die
> Koeffizienten, also die [mm]\alpha_{k+1}...\alpha_{n}[/mm] gleich
> 0.
>
> somit hätten wir gezeigt das sowohl die
> [mm]\alpha_{a}...\alpha_{k}[/mm] als auch die
> [mm]\alpha_{k+1}...\alpha_{n}[/mm] gleich 0 sind und somit wäre
> gezeigt das [mm]\alpha_{1}=...=\alpha{n}=0[/mm] ist...oder habe ich
> jetzt einen zwischenschritt vergessen???...dann sind wir
> doch am ziel oder?
Haargenau! Juhu! Wir sind einmal durch!
Sollen wir es dabei belassen?
Oder willst du noch einmal den gesamten Beweis aufschreiben?
Oder soll ich dies tun?
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> Haargenau! Juhu! Wir sind einmal durch!
Super und ich habe es verstanden...
> Sollen wir es dabei belassen?
> Oder willst du noch einmal den gesamten Beweis
> aufschreiben?
> Oder soll ich dies tun?
Es wäre nett wenn du ihn einmal aufschreiben würdest, weil ich habe dies aúch schon parallel versucht und habe festgestellt das mein Beweis sehr viel Text enthält und ich würde gern sehen wie es kürzer geht..danke für deine Hilfe...
Jetzt habe ich nur noch 3 andere Aufgaben vor mir...kann ich dich da auch um Rat fragen wenn nötig?...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Es wäre nett wenn du ihn einmal aufschreiben würdest,
> weil ich habe dies aúch schon parallel versucht und habe
> festgestellt das mein Beweis sehr viel Text enthält und
> ich würde gern sehen wie es kürzer geht..danke für deine
> Hilfe...
Mache ich gleich.
> Jetzt habe ich nur noch 3 andere Aufgaben vor mir...kann
> ich dich da auch um Rat fragen wenn nötig?...
Ja, kannst du gerne; wie geschrieben, macht es mir Freude, wie kontinuierlich du dran bleibst! Allerdings möchte ich mir die Option offen halten, irgendwann stopp zu sagen.
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Ja klar hast du die Option immer...ich will jetzt bloß verstärkt dran arbeiten, dass der Knoten bei mir aufgeht..damit ich das auch selber lösen kann..weißt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ...ich will jetzt bloß
> verstärkt dran arbeiten, dass der Knoten bei mir
> aufgeht..damit ich das auch selber lösen kann..weißt?
Ja. Das schätze ich auch an dir, dass du hier nicht darauf aus bist, schnellstmöglich irgendwelche Musterlösungen zu bekommen, sondern etwas lernen möchtest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Beweis:
Seien [mm] $n\in\IN$ [/mm] und paarweise verschiedene Vektoren [mm] $a_1,\ldots,a_n\in A\cup [/mm] A'$ gegeben. Es gelte [mm] $\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] für gewisse [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in [/mm] K$ an. Zu zeigen ist [mm] $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$.
[/mm]
OBdA existiert ein [mm] $k\in\{0,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $a_1,\ldots,a_k\in [/mm] A$ und [mm] $a_{k+1},\ldots,a_n\in [/mm] A'$ (sonst ändern wir die Reihenfolge der Vektoren).
Aus [mm] $\summe_{i=1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] folgt [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=-\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i$.
[/mm]
Wegen [mm] $a_1,\ldots,a_k\in [/mm] A$ folgt mit [mm] $A\subset [/mm] U$, dass [mm] $a_1,\ldots,a_k\in [/mm] U$. Da U ein Unterraum von V ist, folgt, dass auch [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i\in [/mm] U$ gilt.
Analog: Wegen [mm] $a_{k+1},\ldots,a_n\in [/mm] A'$ folgt mit [mm] $A'\subset [/mm] U'$, dass [mm] $a_{k+1},\ldots,a_n\in [/mm] U'$. Da U' ein Unterraum von V ist, folgt, dass auch [mm] $\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i\in [/mm] U'$ und damit auch [mm] $-\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i\in [/mm] U'$ gilt.
Also haben wir [mm] $b:=\underbrace{\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i}_{\in U}=\underbrace{-\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i}_{\in U'}\in U\cap [/mm] U'$.
Wegen [mm] $U\cap [/mm] U'=0$ folgt [mm] $b\in [/mm] 0$, also $b=0$.
Aus [mm] $\summe_{i=1}^k\alpha_ia_i=0$ [/mm] folgt mit der linearen Unabhängigkeit von A, dass [mm] $\alpha_1=\ldots=\alpha_k=0$.
[/mm]
Aus [mm] $-\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] folgt [mm] $\summe_{i=k+1}^n\alpha_ia_i=0$ [/mm] und daraus mit der linearen Unabhängigkeit von A': [mm] $\alpha_{k+1}=\ldots=\alpha_n=0$.
[/mm]
Somit ist [mm] $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$ [/mm] gezeigt.
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So ähnlich siehts bei mir auch aus..bloß mit deutlich mehr Text danke für die hilfe:)
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