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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:02 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende Mengen:
a) U= { (x1,x2,x3,x4) [mm] \in R^4 [/mm] | x1 -2x3 +x4 = 0}
b) U= { (x1,x2,x3,x4) [mm] \in R^4 [/mm] | x1 -2x3 +x4 = 1}
c) U= { (x1,x2,x3,x4) [mm] \in R^4 [/mm] | x1 +x2 -x3 -x4 = 0 und 3x1 -2x4 =0}
d) U= { (x1,x2,x3,x4) [mm] \in R^4 [/mm] | x1 +x2 -x3 -x4 = 0 oder 3x1 -2x4 =0}
(i) Entscheiden Sie für die vier gegebenen Fälle, ob die Menge U ein Untervektorraum von [mm] R^4 [/mm] ist.
(ii) Liegt ein Untervektorraum vor, so geben Sie bitte eine mögliche Basis von U an und weisen Sie nach, dass dies eine Basis ist.
zu a) wäre eine Basis {(0,1,0,0), (2,0,1,0), (1,0,0,-1)}
zu b) prüfen Sie ob der Nullvektor in U enthalten ist!
zu c) wäre eine Basis {2,1,0,3), (2,0,-1,3)}
zu d) hier ist z.B. e1 + e4 enthalten ist, e3 enthalten ist, aber nicht deren Summe... |
Moin,
hier mein Lösungsversuch...
zu (i)
a)
- Nullvektor [mm] \in [/mm] U?
x1 -2x3 +x4 =0
(0,0,0,0) eingesetzt ergibt 0 -2*0 +0 = 0 w.A.
- abgeschlossen bezgl. Addition?
[mm] \vektor{x1 \\ 0 \\ -2x3 \\x4} [/mm] + [mm] \vektor{y1 \\ 0 \\-2y3 \\y4} [/mm] = [mm] \vektor{x1+y1 \\ 0 \\ -2(x3+y3)\\x4+y4}
[/mm]
- abgeschlossen bezgl. Multiplikation?
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ 0 \\ -2x3 \\x4} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda*x1 \\ 0 \\ -2*\lambda*x3\\ \lambda*x4}
[/mm]
Kann man das so machen?
entsprechend für c)
beides Untervektorräume.
b)
- Nullvektor [mm] \in [/mm] U?
x1-2x3+x4 =1
(0,0,0,0) eingesetzt ergibt 0 -2*0 +0 = 1 f.A. bzw. WIDERSPRUCH
kein Untervektorraum.
d)
- Nullvektor [mm] \in [/mm] U?
x1+x2-x3-x4 =0 oder 3x1-2x4 =0
(0,0,0,0) eingesetzt ergibt 0+0-0-0 =0 w.A. oder 3*0 -2*0 =0 w.A.
- abgeschlossen bezgl. Addition?
e1+e4 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\1} [/mm]
e3 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\0} [/mm]
e1+e4 +e3 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\1} +\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\1} [/mm]
aber
1+0-1-1 = 0 f.A. oder 3*1 -4*1 =0 f.A.
=> [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\1} \not\in [/mm] U
U nicht abgeschlossen bezgl. Addition, kein Untervektorraum.
zu (ii)
a) [mm] r*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\0} [/mm] + [mm] s*\vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{1\\ 0\\ 0\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0\\ 0& 0& -1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0& 1\\ 0& 0& 0}
[/mm]
t=0 ; 2s +t =0 => s=0 ; r=0 => linear unabhängig also Basis
c) [mm] r*\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\3} [/mm] + [mm] s*\vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1\\ 3 & 3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -1\\ 0 & 0}
[/mm]
-s=0
s=0
r=0
r+s=0
widerspruchsfreie Lösung => linear unabhängig also Basis.
Ist das so richtig?
Danke & Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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