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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 So 20.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi.
Sitz gerad an meiner Übung und bin mir mit folgender Aufgabe nicht ganz sicher, wär deshalb nett wenn jemand drüber gucken könnte
Aufagabe:
1.Teigen Sie [mm] U={(a,b,c,d)^{T}|a=2b-d }\subseteq \IR^{4} [/mm] (T sei Transposition) ein Untervektorraum ist.
Geben sie eine Basi an mit Begründung
2.Für welches [mm] t\in \IR [/mm] sind die Vektoren linear unabhängig?
[mm] v=\vektor{0 \\ 1\\1}; w=\vektor{2 \\ 0\\-2}; z=\vektor{0\\ t+1\\1}; [/mm] |
zu a;
folgende Bedingungen müssen überprüft werden
(i): [mm] a,b\in U=>a+b\in [/mm] U
(ii) [mm] a\in [/mm] U=> ka [mm] \in [/mm] U
mit:
a=2b-d
b=a/2+d/2
d=2b-a
=> hab mal bspw. für a=1 eingestz und bin dann daruaf gekommen das a=b=d ist=> a=b=d=a. Stimmt das denn?
(i):
[mm] \vektor{a\\ a\\c\\a}+ \vektor{y1\\ y2\\y3\\y4}= \vektor{a+y1\\ a+y2\\c+y3\\a+y4}
[/mm]
=> Wenn mein Ansatz nicht falsch ist müsste dass doch stimmen?
(ii):
k* [mm] \vektor{a\\ a\\c\\a}= \vektor{ka\\ ka\\kc\\ka}\in [/mm] U
damit ist es Untervektorraum
Bedingung für Basis:
B1: L( v1,...,vr) ist linear unabhängig
B2: L( v1,...,vr) =V , V sei vektorraum
Frage könnte ich da nicht einfach den Nullvektor nehmen [mm] n=\vektor{0\\ 0\\0\\0}= [/mm] , weil B1 ja erfüllt ist,B2 auch wel der Nullvektor eiine Teilmenge von V ist.Ehrlich gesagt bin ich mir aber nicht so ganz sicher wie an die Aufageb rangehen soll?
zu 2:
erhalte
(i)2k2=0
(ii)k1+k3(t+1)=0
(iii)k1-2k2+k3=0 aus (i)=> k1=-k3 in (ii) eingestetzt=>k1-k1(t+1)=0
=> t =0 ??
Vielen Dank für eure Mühe im vorraus
matheja
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Hallo matheja,
> Hi.
>
> Sitz gerad an meiner Übung und bin mir mit folgender
> Aufgabe nicht ganz sicher, wär deshalb nett wenn jemand
> drüber gucken könnte
>
>
> Aufagabe:
>
> 1.Teigen Sie [mm]U={(a,b,c,d)^{T}|a=2b-d }\subseteq \IR^{4}[/mm] (T
> sei Transposition) ein Untervektorraum ist.
> Geben sie eine Basi an mit Begründung
>
> 2.Für welches [mm]t\in \IR[/mm] sind die Vektoren linear
> unabhängig?
>
> [mm]v=\vektor{0 \\ 1\\1}; w=\vektor{2 \\ 0\\-2}; z=\vektor{0\\ t+1\\1};[/mm]
>
> zu a;
>
> folgende Bedingungen müssen überprüft werden
> (i): [mm]a,b\in U=>a+b\in[/mm] U
> (ii) [mm]a\in[/mm] U=> ka [mm]\in[/mm]
UND (o): [mm] $U\neq\emptyset$ [/mm] bzw. [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0}\in [/mm] U$
> mit:
> a=2b-d
> b=a/2+d/2
> d=2b-a
> => hab mal bspw. für a=1 eingestz und bin dann daruaf
> gekommen das a=b=d ist=> a=b=d=a. Stimmt das denn? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
ich verstehe nicht, was du genau hier machst?
Wieso prüfst du nicht einfach die 3 Unterraumkriterien nach?
(o) Ist [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0}\in [/mm] U$?
Offensichtlich, denn [mm] $0=2\cdot{}0-0$
[/mm]
(i) nimm dir 2 beliebige Vektoren aus U her, [mm] $x=\vektor{a_1\\b_1\\c_1\\d_1}$ [/mm] und [mm] $y=\vektor{a_2\\b_2\\c_2\\d_2}$
[/mm]
Da [mm] $x,y\in [/mm] U$ sind, gilt [mm] $a_1=2b_1-d_1$ [/mm] und [mm] $a_2=2b_2-d_2$
[/mm]
Addiere beide Gleichungen: [mm] $a_1+a_2=2b_1-d_1+2b_2-d_2=2(b_1+b_2)-(d_1+d_2)$
[/mm]
Was ist x+y? [mm] $x+y=\vektor{a_1+a_2\\b_1+b_2\\c_1+c_2\\d_1+d_2}$
[/mm]
Ist der nun in U?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, dass x+y in U ist?
Genauso mit (ii) Nimm dir ein beliebiges [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und einen beliebigen Vektor [mm] $x=\vektor{a\\b\\c\\d}\in [/mm] U$ her.
Bilde [mm] $\lambda\cdot{}x$ [/mm] und schaue, ob das in U ist, ob also die Bedingung für Vektoren in U erfüllt ist
>
> (i):
> [mm]\vektor{a\\ a\\c\\a}+ \vektor{y1\\ y2\\y3\\y4}= \vektor{a+y1\\ a+y2\\c+y3\\a+y4}[/mm]
>
> => Wenn mein Ansatz nicht falsch ist müsste dass doch
> stimmen?
>
> (ii):
> k* [mm]\vektor{a\\ a\\c\\a}= \vektor{ka\\ ka\\kc\\ka}\in[/mm] U
Vektoren dieser Gestalt sind zwar auch in U, aber es sind bei weitem mehr Vektoren in U.
zB. [mm] $x=\vektor{4\\5\\0\\6}$
[/mm]
Der ist in U, wird aber durch deine nicht erfasst...
>
> damit ist es Untervektorraum
Das stimmt, aber deine Begründung will mir nicht recht einleuchten
>
> Bedingung für Basis:
> B1: L( v1,...,vr) ist linear unabhängig
> B2: L( v1,...,vr) =V , V sei vektorraum
> Frage könnte ich da nicht einfach den Nullvektor nehmen
> [mm]n=\vektor{0\\ 0\\0\\0}=[/mm]
Was ist denn der Spann vom Nullvektor? Was kannst du aus ihm linear kombinieren?
Doch nur ihn selbst, der Nullvektor spannt einen VR auf, der nur den Nullvektor enthält, quasi den Nullraum, wenn man so will
> weil B1 ja erfüllt ist,B2 auch
> wel der Nullvektor eiine Teilmenge von V ist.Ehrlich gesagt
> bin ich mir aber nicht so ganz sicher wie an die Aufageb
> rangehen soll?
Schau nochmal genau auf die Bedingungen, die ein Vektor in U haben muss.
Der muss von der Gestalt [mm] $x=\vektor{a\\b\\c\\d}=\blue{\vektor{2b-d\\b\\c\\d}}$ [/mm] sein.
Das schreibe mal schön getrennt [mm] $..=\vektor{2b\\b\\0\\0}+\vektor{0\\0\\c\\0}+\vektor{-d\\0\\0\\d}$
[/mm]
[mm] $=b\cdot{}\vektor{2\\1\\0\\0}+c\cdot{}\vektor{0\\0\\1\\0}+d\cdot{}\vektor{-1\\0\\0\\1}$
[/mm]
.... nun scharf nachdenken 
> zu 2:
>
> erhalte
> (i)2k2=0
> (ii)k1+k3(t+1)=0
> (iii)k1-2k2+k3=0 aus (i)=> k1=-k3 in (ii)
> eingestetzt=>k1-k1(t+1)=0
> => t =0 ?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das kannst du so machen. Was sagt dir dein Ergebnis?
Alternativ kannst du die 3 Vektoren als Spalten in eine Matrix stecken und dann deren Rang bestimmen, sie also in Zeilenstufenform bringen...
Falls du schon Determinanten hattest, kannst du auch die Determinante dieser Matrix (in Abh. von t) berechnen und schauen, für welches t die Determinante [mm] \neq [/mm] 0 ist
>
> Vielen Dank für eure Mühe im vorraus
>
> matheja
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 20.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Viele Dank für deine hilfe!
Aber irgendwie steh ich noch ein biscchen auf den Schlauch |
> Wieso prüfst du nicht einfach die 3 Unterraumkriterien
> nach?
>
> (o) Ist [mm]\vektor{0\\0\\0\\0}\in U[/mm]?
>
> Offensichtlich, denn [mm]0=2\cdot{}0-0[/mm]
>
> (i) nimm dir 2 beliebige Vektoren aus U her,
> [mm]x=\vektor{a_1\\b_1\\c_1\\d_1}[/mm] und
> [mm]y=\vektor{a_2\\b_2\\c_2\\d_2}[/mm]
>
> Da [mm]x,y\in U[/mm] sind, gilt [mm]a_1=2b_1-d_1[/mm] und [mm]a_2=2b_2-d_2[/mm]
>
> Addiere beide Gleichungen:
> [mm]a_1+a_2=2b_1-d_1+2b_2-d_2=2(b_1+b_2)-(d_1+d_2)[/mm]
>
> Was ist x+y?
> [mm]x+y=\vektor{a_1+a_2\\b_1+b_2\\c_1+c_2\\d_1+d_2}[/mm]
>
> Ist der nun in U?
>
> Welche Bedingung muss erfüllt sein, dass x+y in U ist?
[mm] \vektor{2(b_1+b_2)-(d_1+d_2\\b_1+b_2\\c_1+c_3\\d_1+d_3}[/
[/mm]
Frage: um auf die Ausgangsbedingung [mm] a_1=2b_1-d_1 [/mm] zu kommen müsste müste also [mm] b_2 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] sein ?
>
> Genauso mit (ii) Nimm dir ein beliebiges [mm]\lambda\in\IR[/mm] und
> einen beliebigen Vektor [mm]x=\vektor{a\\b\\c\\d}\in U[/mm] her.
>
> Bilde [mm]\lambda\cdot{}x[/mm] und schaue, ob das in U ist, ob also
> die Bedingung für Vektoren in U erfüllt ist
>
> >
> > (i):
> > [mm]\vektor{a\\ a\\c\\a}+ \vektor{y1\\ y2\\y3\\y4}= \vektor{a+y1\\ a+y2\\c+y3\\a+y4}[/mm]
>
> >
> > => Wenn mein Ansatz nicht falsch ist müsste dass doch
> > stimmen?
> >
> > (ii):
> > k* [mm]\vektor{a\\ a\\c\\a}= \vektor{ka\\ ka\\kc\\ka}\in[/mm] U
> > k* [mm]\vektor{a\\ b\\c\\d}= \vektor{k*(2b*-d)\\ kb\\kc\\kd}\in[/mm] U
mmmh irgendwie durch blicke ich das nicht ist das so nich schon fertig weil trivila ?
>
> Vektoren dieser Gestalt sind zwar auch in U, aber es sind
> bei weitem mehr Vektoren in U.
>
> zB. [mm]x=\vektor{4\\5\\0\\6}[/mm]
>
> Der ist in U, wird aber durch deine nicht erfasst...
>
> >
> > damit ist es Untervektorraum
> Was ist denn der Spann vom Nullvektor? Was kannst du aus
> ihm linear kombinieren?
>
> Doch nur ihn selbst, der Nullvektor spannt einen VR auf,
> der nur den Nullvektor enthält, quasi den Nullraum, wenn
> man so will
>
> Schau nochmal genau auf die Bedingungen, die ein Vektor in
> U haben muss.
>
> Der muss von der Gestalt
> [mm]x=\vektor{a\\b\\c\\d}=\blue{\vektor{2b-d\\b\\c\\d}}[/mm] sein.
>
> Das schreibe mal schön getrennt
> [mm]..=\vektor{2b\\b\\0\\0}+\vektor{0\\0\\c\\0}+\vektor{-d\\0\\0\\d}[/mm]
>
> [mm]=b\cdot{}\vektor{2\\1\\0\\0}+c\cdot{}\vektor{0\\0\\1\\0}+d\cdot{}\vektor{-1\\0\\0\\1}[/mm]
>
> .... nun scharf nachdenken
=>
2b-d=0
b=0
c=0
d=0
häää was soll mir das sagen ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Ein Danke vorweg
matheja
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Hallo nochmal,
boah, ist das unübersichtlich - meine Fre....
ich versuche mal, das meiste wegzulassen und die eigentlichen Fragen rauszupicken
> > (i) nimm dir 2 beliebige Vektoren aus U her,
> > [mm]x=\vektor{a_1\\b_1\\c_1\\d_1}[/mm] und
> > [mm]y=\vektor{a_2\\b_2\\c_2\\d_2}[/mm]
> >
> > Da [mm]x,y\in U[/mm] sind, gilt [mm]a_1=2b_1-d_1[/mm] und [mm]a_2=2b_2-d_2[/mm]
> >
> > Addiere beide Gleichungen:
> > [mm]a_1+a_2=2b_1-d_1+2b_2-d_2=2(b_1+b_2)-(d_1+d_2)[/mm]
> >
> > Was ist x+y?
> > [mm]x+y=\vektor{a_1+a_2\\b_1+b_2\\c_1+c_2\\d_1+d_2}[/mm]
> >
> > Ist der nun in U?
> >
> > Welche Bedingung muss erfüllt sein, dass x+y in U ist?
> [mm]\vektor{2(b_1+b_2)-(d_1+d_2\\b_1+b_2\\c_1+c_3\\d_1+d_3}[/[/mm]
>
> Frage: um auf die Ausgangsbedingung [mm]a_1=2b_1-d_1[/mm] zu kommen
> müsste müste also [mm]b_2[/mm] und [mm]d_2[/mm] sein ?
Hier wird's wieder umständlich, wenn nicht gar komisch??
Wenn [mm] $x+y=\vektor{a_1+a_2\\b_1+b_2\\c_1+c_2\\d_1+d_2}\in [/mm] U$ sein soll, muss doch gelten [mm] $(a_1+a_2)=2(b_1+b_2)-(d_1+d_2)$
[/mm]
So ist doch U definiert.
Und das gilt doch, das haben wir oben aus der Tatsache, dass x und y aus U sind nachgerechnet
Also ist die Summe x+y auch in U, also ist U bzgl. + abgeschlossen
Fehlt noch die Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation
Der Nachweis geht genauso. Halte dich nur immer an die U definierende Eigenschaft: "1. Komponente=2*2. Komponente-4. Komponente"
> >
> > Bilde [mm]\lambda\cdot{}x[/mm] und schaue, ob das in U ist, ob also
> > die Bedingung für Vektoren in U erfüllt ist
> mmmh irgendwie durch blicke ich das nicht ist das so nich
> schon fertig weil trivila ?
Nein, du hast mit deiner Wahl der komischen Vektoren [mm] $\vektor{a\\a\\c\\a}$ [/mm] ganz spezielle Vektoren aus U ausgewählt, du musst die Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation aber für alle beliebigen Vektoren aus U zeigen - s. mein Einwand mit dem Vektor [mm] $\vektor{4\\2\\0\\6}\in [/mm] U
$
Sind skalare Vielfache von dem auch in U?
> > Der ist in U, wird aber durch deine nicht erfasst...
[sic!]
> > Schau nochmal genau auf die Bedingungen, die ein Vektor in
> > U haben muss.
> >
> > Der muss von der Gestalt
> > [mm]x=\vektor{a\\b\\c\\d}=\blue{\vektor{2b-d\\b\\c\\d}}[/mm] sein.
> >
> > Das schreibe mal schön getrennt
> >
> [mm]..=\vektor{2b\\b\\0\\0}+\vektor{0\\0\\c\\0}+\vektor{-d\\0\\0\\d}[/mm]
> >
> >
> [mm]=b\cdot{}\vektor{2\\1\\0\\0}+c\cdot{}\vektor{0\\0\\1\\0}+d\cdot{}\vektor{-1\\0\\0\\1}[/mm]
> >
> > .... nun scharf nachdenken
>
> =>
> 2b-d=0
> b=0
> c=0
> d=0
>
> häää was soll mir das sagen
Ich kapiere wieder nicht, was du machst??
Du willst doch eine Basis von U bestimmen, also musst du linear unabhängige Vektoren finden, die dir dein U aufspannen.
Ich habe dir schön aufgedröselt, wie du einen beliebigen Vektor [mm] $\vektor{a\\b\\c\\d}$ [/mm] aus U schreiben kannst, nämlich als [mm] $b\cdot{}\vektor{2\\1\\0\\0}+c\cdot{}\vektor{0\\0\\1\\0}+d\cdot{}\vektor{-1\\0\\0\\1}$
[/mm]
Also ......wird U erzeugt von???
Und denke noch über die zweite Eigenschaft einer Basis nach..
> Ein Danke vorweg
Jo, gerne
> matheja
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 So 20.01.2008 | | Autor: | matheja |
:) Wer lesen kann ist klar im Vorteil.Endlich kapiert.
Nochmals Danke!
matheja
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