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| Aufgabe | | Bestimme den Flächeninhalt der Funktion f(x) = [mm] 2x^{2} [/mm] + 3 im Intervall [0;3] näherungsweise, indem du die Untersumme bei n Teilen aufstellst und den Grenzwert berechnest. |
Hallo,
Ich soll bei der Funktion den Flächeninhalt bestimmen, erhalte aber ein falsches Ergebnis. Bitte seht euch mal meine Rechnung an und guckt, ob ihr meinen Fehler findet:
[mm] U_{n} [/mm] = [mm] \bruch{3}{n}* [/mm] [ f(0) + [mm] f(1*\bruch{3}{n}) [/mm] + [mm] f(2*\bruch{3}{n}) [/mm] + ... + [mm] f((n-1)*\bruch{3}{n})]
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{n} [/mm] * [ 3 + 2*((1* [mm] (\bruch{3}{n}))^{2} [/mm] + ... + 2*[(n-1) * [mm] (\bruch{3}{n})^{2}]
[/mm]
= [mm] \bruch{6}{n} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{n})^{2} [/mm] * [ 3n + [mm] 1^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + ... + [mm] (n-1)^{2} [/mm] ]
= [mm] (\bruch{54}{n^{3}} [/mm] * [ 3n + [mm] \bruch{(n-1)n(2n-1)}{6} [/mm] ]
Hoffe, ich habe alles richtig abgeschrieben und es wird richtig dargestellt. Zur Erklärung: Ich reche die Breite ( [mm] \bruch{3}{n} [/mm] ) immer mal den Funktionswert an den Stellen, also den Flächeninhalt der einzelnen "Balken", die n mal auftreten. Dann klammere ich die 2 aus, so dass ich 6/n vor der großen Klammer habe. Anschließend setze ich die [mm] (3/n)^2 [/mm] auch vor die Klammer, so dass ich dann [mm] 54/n^3 [/mm] dort stehen habe. In der großen Klammer habe ich dann [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] und n mal 3, also 3n. Die ganzen [mm] x^2 [/mm] werden dann mit der entsprechenden Formel ersetzt. So komme ich zu diesen Term.
Wenn ich den weiter rechne, erhalte ich 18 als Ergebnis. Richtig wäre aber 27. Der letzte Term, der hier angegeben ist, ist bereits falsch, also beim weiterrechnen habe ich nicht den Fehler gemacht. Deshalb habe ich mir die restliche Rechnung gespart.
Ich vermute, dass beim [mm] (\bruch{54}{n^{3}}) [/mm] etwas nicht stimmt.
Wäre dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, was falsch ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Do 24.09.2009 | | Autor: | Gabs |
Der Ansatz dürfte richtig sein. Du hast jedoch beim Berechnen der Funktionswerte [mm] f(k\bruch{3}{n}) [/mm] vergessen die 3 zu addieren.
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Ja, das stimmt, habe das auf die Schnelle gemacht und dann die 3 bei manchen Termen vergessen. Aber im letzten Term ist es ja wieder drin, dort steht 3n. Denn Es müssen ja n Funktionswerte in dieser Klammer stehen, wobei zu jedem Funktionsterm noch die +3 gehört. Daher 3n.
Dennoch ist der letzte Term nicht richtig. Durch Umformen und Grenzwertberechnung kommt man auf 18, richtig wäre 27.
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Hat sich erledigt, ich weiß woran es lag.
ich habe die +3n als Produkt gesehen, man kann natürlich nicht 2 und [mm] (3/n)^{2} [/mm] ausklammern, ohne die 3n zu verändern. Wenn außerhalb der Klammer noch + (3/n)*3n steht, komme ich auf 18+9, also 27.
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