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| Aufgabe | Welche der Eigenschaften linkseindeutig, rechtseindeutig, linkstotal, rechtstotal,
reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv haben die folgenden Relation?
R = { (x, y) ∈ N × N | x + y = 10 } |
Moin, bei manchen Fragen habe ich schwirigkeiten die Definitionen auf die Aufgabe zu übertragen und würde mich über ein Tipp oder noch besser eine algemeine Regel, die man anwenden kann freuen.
mein Ansatz
ich habe für zwei Fragen leicht verständliche algemeine Regeln gefunden und zwar:
Symetrisch weil
x+y=10 <--> y+x=10
nicht reflexiv weil
(reflexiv heisst ja egal welche natürliche Zahlen man für x oder y einsetzt kommt immer 10 raus) das stimmt in diesem Fall nicht!
transitivität x+y=10 --> y+z=10x --> x+z=10y
--> x+y+y+z=10+10x
-->x+z=10+10x-2y
-->10y=10+10x-2y <--- ich verstehe aber trotzdem nicht ob und wieso die
transivität damit bewiesen ist?
Und wie kann ich die Aufgabe am besten auf die Eigenschaften linkseindeutig, rechtseindeutig, linkstotal, rechtstotal prüfen?
danke im voraus
gruß Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Do 21.01.2010 | | Autor: | capablanca |
ok
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Welche der Eigenschaften linkseindeutig, rechtseindeutig,
> linkstotal, rechtstotal,
> reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv haben
> die folgenden Relation?
>
> R = { (x, y) ∈ N × N | x + y = 10 }
> Moin, bei manchen Fragen habe ich schwirigkeiten die
> Definitionen auf die Aufgabe zu übertragen und würde mich
> über ein Tipp oder noch besser eine algemeine Regel, die
> man anwenden kann freuen.
>
> mein Ansatz
> ich habe für zwei Fragen leicht verständliche algemeine
> Regeln gefunden und zwar:
> Symetrisch weil
> x+y=10 <--> y+x=10
O.k.
>
> nicht reflexiv weil
> (reflexiv heisst ja egal welche natürliche Zahlen man für
> x oder y einsetzt kommt immer 10 raus) das stimmt in diesem
> Fall nicht!
Vielleicht meinst Du das richtige, reflexiv wäre die Relation, wenn x+x= 10 wäre für jedes x [mm] \in \IN. [/mm] Das ist aber nicht der Fall
>
> transitivität x+y=10 --> y+z=10x --> x+z=10y
> --> x+y+y+z=10+10x
> -->x+z=10+10x-2y
> -->10y=10+10x-2y <--- ich verstehe aber trotzdem nicht ob
> und wieso die
> transivität damit bewiesen ist?
Die Relation ist nicht transitiv !! Es ist 1+9=10 und 9+1=10, aber 1+1 [mm] \not= [/mm] 10
FRED
>
> Und wie kann ich die Aufgabe am besten auf die
> Eigenschaften linkseindeutig, rechtseindeutig, linkstotal,
> rechtstotal prüfen?
>
> danke im voraus
>
> gruß Alex
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Danke für die Antwort, mit transivität habe ich es verstanden aber
wie kann man die Aufgabe am besten auf die Eigenschaften linkseindeutig, rechtseindeutig, linkstotal, rechtstotal prüfen?
gibt es vieleicht leicht verständliche algemeine Regeln?
hier die Definitionen die ich leider nur schwer auf die Aufgabe übertragen kann
Definition: Eine Relation R ⊆ A × B heißt linkstotal, falls jedes Element aus A
mit mindestens einem Element aus B in Relation steht.
Prädikatenlogische Formulierung:
R linkstotal ⇔ ∀a ∃b: (a, b) ∈ R
Definition: Eine Relation R ⊆ A × B heißt rechtstotal, falls es für jedes
Element b aus B mindestens ein Element aus A gibt, das mit b in
Relation steht.
Prädikatenlogische Formulierung:
R rechtstotal ⇔ ∀b ∃a: (a, b) ∈ R
Definition: Eine Relation R ⊆ A × B heißt linkseindeutig, wenn keine zwei
verschiedenen Elemente aus A mit demselben Element aus B in
Relation stehen.
Prädikatenlogische Formulierung:
R linkseindeutig
⇔ ∀a1 ∀a2 ∀b: ((a1, b) ∈ R ∧ (a2, b) ∈ R ⇒ (a1 = a2))
Definition: Eine Relation R ⊆ A × B heißt rechtseindeutig, wenn kein
Element aus A mit zwei verschiedenen Elemente aus B in Relation
steht.
Prädikatenlogische Formulierung:
R rechtseindeutig
⇔ ∀a ∀b1 ∀b2: ((a, b1) ∈ R ∧ (a, b2) ∈ R ⇒ (b1 = b2))
gruß Alex
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Hiho,
> Danke für die Antwort, mit transivität habe ich es
> verstanden aber
> wie kann man die Aufgabe am besten auf die Eigenschaften
> linkseindeutig, rechtseindeutig, linkstotal, rechtstotal
> prüfen?
>
> gibt es vieleicht leicht verständliche algemeine Regeln?
Naja, gehen wir doch mal die Definition durch:
> hier die Definitionen die ich leider nur schwer auf die
> Aufgabe übertragen kann
>
> Definition: Eine Relation R ⊆ A × B heißt linkstotal,
> falls jedes Element aus A
> mit mindestens einem Element aus B in Relation steht.
> Prädikatenlogische Formulierung:
> R linkstotal ⇔ ∀a ∃b: (a, b) ∈ R
Wenn R linkstotal ist, soll also gelten, dass:
[mm] $\forall [/mm] a~ [mm] \exists [/mm] b:~(a,b) [mm] \in [/mm] R$
d.h. für die Aufgabe, weil so die Relation definiert ist:
[mm] $\forall [/mm] a~ [mm] \exists [/mm] b:~ a+b = 10$
stimmt das denn für deinen Definitionsbereich?
Die anderen kriegst du jetzt bestimmt allein hin, oder?
MFG,
Gono.
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Ok, wenn ich z.B. für a und b natürliche Zahlen einsetze also 5+5=10 in dem Fall enthält jedes Element aus A(1,2,3,4,5) mindestens ein Element aus B(1,2,3,4,5) also ist die Rel. linkstotal ?
gruß Alex
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> Ok, wenn ich z.B. für a und b natürliche Zahlen einsetze
> also 5+5=10 in dem Fall enthält jedes Element aus
> A(1,2,3,4,5) mindestens ein Element aus B(1,2,3,4,5) also
> ist die Rel. linkstotal ?
1.) Ist deine Relation denn nur auf [mm] $(1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5)$ [/mm] definiert?
2.) Nehmen wir an, sie sei nur auf [mm] $(1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5)$ [/mm] definiert, wie sähe dann dein $b$ aus für $a=1$?
3.) Wie müssten A und B also aussehen, damit R linkstotal wäre?
MFG,
Gono.
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Ah so, der Definitionsbereich gilt ja für alle natürliche Zahlen und für a=1 hätten wir b 1<N.
ist das richtig?
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> Ah so, der Definitionsbereich gilt ja für alle natürliche
> Zahlen und für a=1 hätten wir b 1<N.
Hä?
Beantworte doch die Fragen, die man dir stellt, genauso strukturiert wie sie hingeschrieben wurden und nicht nur einzeiler.
Nachdenken und anständig formuliert antworten!
MFG,
Gono.
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Ok, alles klar also:
<1.) Ist deine Relation denn nur auf $ [mm] (1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5) [/mm] $ definiert?
stimmt ja, die Relation ist für alle natürlichen Zahlen definiert.
<2.) Nehmen wir an, sie sei nur auf $ [mm] (1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5) [/mm] $ definiert,
<wie sähe dann dein $ b $ aus für $ a=1 $?
für a=1 würde b folgendermassen aussehen b=1<x>5(also x aus natürlichen Zahlen größer 1 und kleiner 5)
ist das richtig?
<3.) Wie müssten A und B also aussehen, damit R linkstotal wäre?
<weis ich leider noch nicht? )-:
gruß Alex
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> Ok, alles klar also:
> <1.) Ist deine Relation denn nur auf
> [mm](1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5)[/mm] definiert?
>
> stimmt ja, die Relation ist für alle natürlichen Zahlen
> definiert.
Korrekt!
>
> <2.) Nehmen wir an, sie sei nur auf
> [mm](1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5)[/mm] definiert,
> <wie sähe dann dein [mm]b[/mm] aus für [mm]a=1 [/mm]?
>
> für a=1 würde b folgendermassen aussehen b=1<x>5(also x
> aus natürlichen Zahlen größer 1 und kleiner 5)
Nein oO
Es soll doch gelten $(a,b) [mm] \in [/mm] R $, d.h. $a +b = 10$ in deinem Fall.
Nun ist $a = 1$, wie muss b dann aussehen, damit $a+b = 10$ ist.... was fällt dir auf?
> <3.) Wie müssten A und B also aussehen, damit R linkstotal
> wäre?
> <weis ich leider noch nicht? )-:
Für welche natürlichen Zahlen kommt denn $a+b = 10$ überhaupt in Frage?
MFG,
Gono
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Noch ein Versuch:
> > Ok, alles klar also:
> > <1.) Ist deine Relation denn nur auf
> > [mm](1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5)[/mm] definiert?
> >
> > stimmt ja, die Relation ist für alle natürlichen Zahlen
> > definiert.
>
> Korrekt!
> >
> > <2.) Nehmen wir an, sie sei nur auf
> > [mm](1,2,3,4,5)\times(1,2,3,4,5)[/mm] definiert,
> > <wie sähe dann dein [mm]b[/mm] aus für [mm]a=1 [/mm]?
> >
> > für a=1 würde b folgendermassen aussehen b=1<x>5(also x
> > aus natürlichen Zahlen größer 1 und kleiner 5)
>
> Nein oO
> Es soll doch gelten [mm](a,b) \in R [/mm], d.h. [mm]a +b = 10[/mm] in deinem
> Fall.
> Nun ist [mm]a = 1[/mm], wie muss b dann aussehen, damit [mm]a+b = 10[/mm]
> ist.... was fällt dir auf?
Ah so, na klar b muss = 9 sein
> > <3.) Wie müssten A und B also aussehen, damit R linkstotal
> > wäre?
> > <weis ich leider noch nicht? )-:
>
> Für welche natürlichen Zahlen kommt denn [mm]a+b = 10[/mm]
> überhaupt in Frage?
Stimmt ja für alle natürlichen Zahlen kleiner 10
> MFG,
> Gono
richtig?
gruß Alex
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> Ah so, na klar b muss = 9 sein
Jein. b MÜSSTE 9 nein, damit das gilt.
Kann b in dem Fall denn 9 sein (denk dran, wie sind noch bei 2.)!)?
Ist die Relation auf der unter 2.) gegebenen Menge also linkstotal?
> > Für welche natürlichen Zahlen kommt denn [mm]a+b = 10[/mm]
> > überhaupt in Frage?
> Stimmt ja für alle natürlichen Zahlen kleiner 10
Aha, da geht das überhaupt nur, ist deine Relation also auf [mm] $\IN\times\IN$ [/mm] linkstotal? Warum nicht? (Tip: Gegenbeispiel!!!!)
Fehlt noch die Beantwortung von 3., das wird zeigen, ob du das verstanden hast 
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guten Morgen,
> > Ah so, na klar b muss = 9 sein
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> Jein. b MÜSSTE 9 nein, damit das gilt.
> Kann b in dem Fall denn 9 sein (denk dran, wie sind noch
> bei 2.)!)?
> Ist die Relation auf der unter 2.) gegebenen Menge also
> linkstotal?
Nein, bei 2) kann b nicht 9 sein weil es gilt der Definitionbereich {1,2,3,4,5} deswegen damit die Relation a+b=10 erfüllt ist muss a und b 5 sein!
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> > > Für welche natürlichen Zahlen kommt denn [mm]a+b = 10[/mm]
> > > überhaupt in Frage?
> > Stimmt ja für alle natürlichen Zahlen kleiner 10
>
> Aha, da geht das überhaupt nur, ist deine Relation also
> auf [mm]\IN\times\IN[/mm] linkstotal? Warum nicht? (Tip:
> Gegenbeispiel!!!!)
Nei die Relation ist nicht linkstotal weil es ja mindestens ein Gegenbeispiel gibt: a=6, b=4 also kann [mm] \forall [/mm] a [mm] \exists [/mm] b nicht gelten und genau so umgekehrt, heiss die Relation ist auch nicht rechtstotal.
> Fehlt noch die Beantwortung von 3., das wird zeigen, ob du
> das verstanden hast
Der definitionsbereich sollte auf{1,2,3,4,5} beschränkt sein dann wäre ja die Relation a+b=10 nur erfüllt wenn a=5 und b=5 seien und damit wäre die Relation linkstotal und rechtstotal.
ist das richtig?
gruß Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Fr 22.01.2010 | | Autor: | capablanca |
Mit links und rechtstotalität habe ich es verstanden, danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 24.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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