Untersuchung von Polynomfunkt. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 09.09.2011 | | Autor: | BAPH1 |
| Aufgabe | Hallo!
Ich habe hier ein schweres Beispiel, welches ich nicht lösen kann:
Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion f! Zeichne ihren Graphen und bestimme die Nullstellen von f!
f:x l-> [mm] -3x^3+9x [/mm] |
ich habe die erste Ableitung berechnet: X=1
Nun habe ich mir eine Wertetabelle angelegt und den Graphen gezeichnet.
Wie berechne ich die Nullstellen? pq formel geht nicht, das newton verfahren verstehe ich leider nicht, trotz etlicher online-videos mit erklärung...
Bitte helft mir!!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 09.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion f! Zeichne
> ihren Graphen und bestimme die Nullstellen von f!
> f:x l-> [mm]-3x^3+9x[/mm]
das bedeutet wohl [mm]f(x)=-3x^3+9x[/mm].
> ich habe die erste Ableitung berechnet: X=1
Du hast alle x für die die Gleichung [mm]f'(x)=-9x^2+9=0[/mm] gilt, bestimmen wollen, um die Extrempunkte zu ermitteln?! [mm]f'(1)=0[/mm], das ist korrekt. Es gibt aber noch eine weitere Lösung. Das müsstest du auch an deinem Graphen sehen. Handelt es sich bei den Extrempunkten um ein Minimum, ein Maximum?
> Nun habe ich mir eine Wertetabelle angelegt und den
> Graphen gezeichnet.
>
> Wie berechne ich die Nullstellen? pq formel geht nicht, das
> newton verfahren verstehe ich leider nicht, trotz etlicher
> online-videos mit erklärung...
[mm]f(x)=-3x^3+9x=x*(-3x^2+9)[/mm]
Tipp: [mm]a*b=0[/mm],wenn [mm]a=0[/mm] oder [mm]b=0[/mm].
>
> Bitte helft mir!!
> Danke
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 12.09.2011 | | Autor: | BAPH1 |
hallo barsch, hallo an alle!
also heut mache ich weiter wo ich freitag aufgehört habe:
f(1)=6 f´(1)= 0
was heißt das jetzt für mich?
f(x) habe ich wie ,so wie es mir barsch erklärt hat berechnet:
-3x³+9x = x * (-3x² + 9)
0 = 0
und weiter? bei meinen graphen sehe ich .... das er streng monoton wächst sowie auch streng monoton fällt.
bitte um hilfe, danke philipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 12.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast folgende Gleichung zu lösen, um die Werte zu bekommen, an denne sich die Monotonie ändern könnte.
[mm] -9x^{2}+9x=0
[/mm]
Das eleganteste Verfahren ist, -9x auszuklammern, also:
[mm] -9x^{2}+9x=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-9x(x-1)=0
[/mm]
Jetzt hast du ein Produkt, das Null werden soll, also reicht es, wenn einer der Faktoren Null wird.
Betrachte also folgende beiden Teilgleichungen.
-9x=0 und x-1=0
Daraus ermittelst du die Lösungen der Startgleichung.
Der unelegante Weg, wäre, hier eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen loszulassen, (ABC-Formel/Mitternachtsformel bzw. die p-q-Formel)
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mo 12.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Die HNullstellen von f berechnest du auch über das Ausklammern.
[mm] -3x^{3}+9x=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-3x(x^{2}-3)=0
[/mm]
Nun hast du wieder das Produkt, also betrachte:
-3x=0 und x²-3=0,
um an die Nullstellen der Funktion zu gelangen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 12.09.2011 | | Autor: | BAPH1 |
hallo marius,
zur 1.antwort:
$ [mm] 9x^{2}-9x=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow9x(x-1)=0 [/mm] $
x-1=0 -------> f´(1)= 0 das heißt eine nullstelle ist bei punkt (1;0)
so lese ich es auch vom graphen ab.
zur 2 antwort:
$ [mm] -3x^{3}+9x=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow-3x(x^{2}-3)=0 [/mm] $
x=1,73205... f(1,73205)=6,588457
welcher punkt ist (1,73205;6,588457) ? wie nennt man diesen punkt?
mfg philipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 12.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hallo marius,
>
> zur 1.antwort:
>
> [mm]9x^{2}-9x=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow9x(x-1)=0[/mm]
>
> x-1=0 -------> f´(1)= 0 das heißt eine nullstelle ist
> bei punkt (1;0)
> so lese ich es auch vom graphen ab.
Nein x=1 ist eine Stelle mit waagerechter Tangente.
Aber es fehlt noch die Stelle x=0 an der der Graph auch die Steigung Null hat (Erster Fakotor -9x=0<=>x=0).
F'(x) gibt die Steigung von f an
>
> zur 2 antwort:
>
> [mm]-3x^{3}+9x=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow-3x(x^{2}-3)=0[/mm]
>
> x=1,73205... f(1,73205)=6,588457
Aus -3x=0 folgt x=0, also liegt die erste Nullstelle bei x=0
Aus x²-3=0 folgt [mm] x=\pm\sqrt{3}, [/mm] also sind weitere Nullstellen bei [mm] x=\sqrt{3} [/mm] und bei [mm] x=-\sqrt{3}
[/mm]
>
> welcher punkt ist (1,73205;6,588457) ? wie nennt man diesen
> punkt?
Die y-Koordinate ist falsch, das sollte Null ergeben, die Stelle hast du doch gerade mit f(x)=0 bestimmt.
>
> mfg philipp
Schau dir aber unbedingt nochmal an, wie man Gleichunge löst, einen guten Überblick dazu gibt es bei ![[]](/images/popup.gif) Strobl-f.de, speziell
hier.
Auch zu Extrema und Monotonie gibt es dort einen Überblick.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mo 12.09.2011 | | Autor: | BAPH1 |
> zur 2 antwort:
>
> $ [mm] -3x^{3}+9x=0 [/mm] $
> $ [mm] \Leftrightarrow-3x(x^{2}-3)=0 [/mm] $
>
> x=1,73205... f(1,73205)=6,588457
Aus -3x=0 folgt x=0, also liegt die erste Nullstelle bei x=0
Aus x²-3=0 folgt $ [mm] x=\pm\sqrt{3}, [/mm] $ also sind weitere Nullstellen bei $ [mm] x=\sqrt{3} [/mm] $ und bei $ [mm] x=-\sqrt{3} [/mm] $
CHECK ICH!
zur 1.antwort:
was heißt :
Aber es fehlt noch die Stelle x=0 an der der Graph auch die Steigung Null hat (Erster Fakotor -9x=0<=>x=0).
F'(x) gibt die Steigung von f an
erster faktor = -9x=0
das ergibt logischer weiße -> x = 0
was fehlt noch.
danke für die tips. werde mir die überblicke anschauen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 12.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > zur 2 antwort:
> >
> > [mm]-3x^{3}+9x=0[/mm]
> > [mm]\Leftrightarrow-3x(x^{2}-3)=0[/mm]
> >
> > x=1,73205... f(1,73205)=6,588457
>
> Aus -3x=0 folgt x=0, also liegt die erste Nullstelle bei
> x=0
>
> Aus x²-3=0 folgt [mm]x=\pm\sqrt{3},[/mm] also sind weitere
> Nullstellen bei [mm]x=\sqrt{3}[/mm] und bei [mm]x=-\sqrt{3}[/mm]
>
>
> CHECK ICH!
Schön
>
> zur 1.antwort:
>
> was heißt :
> Aber es fehlt noch die Stelle x=0 an der der Graph auch
> die Steigung Null hat (Erster Fakotor -9x=0<=>x=0).
> F'(x) gibt die Steigung von f an
Die Gleichung entstammt ja der Bedingung f'(x)=0, also sich Nullstellen der Ableitung gesucht. Und die Ableitung gibt eben die Steigung des Graphen an, also sind Nullstellen der Ableitung Stellen, an denen die Originalfunktion eine waagerechte Tangente hat.
>
> erster faktor = -9x=0
> das ergibt logischer weiße -> x = 0
> was fehlt noch.
Der zweite Faktor, der für x=1 zu Null wird. Es gibt also zwei Stellen, an denen f' eine Nullstelle, f also eine waagerechte Tangente hat. Diese Stellen sind die einzig möglichen Stellen, an denen sich die Monotonie von f ändern kann.
Betrachte die Monotonie von f also auf folgenden drei Intervallen:
[mm] I_{1}:=]-\infty;0[,
[/mm]
[mm] I_{2}:=]0;1[
[/mm]
[mm] I_{3}:=]1;\infty[
[/mm]
>
> danke für die tips. werde mir die überblicke anschauen
>
Mach das
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 12.09.2011 | | Autor: | BAPH1 |
verstehe das nicht:
Der zweite Faktor, der für x=1 zu Null wird. Es gibt also zwei Stellen, an denen f' eine Nullstelle, f also eine waagerechte Tangente hat. Diese Stellen sind die einzig möglichen Stellen, an denen sich die Monotonie von f ändern kann.
Frage: muss ich jetzt noch irgeneine zahl berechnen? wenn ja wie? was?
bitte vorrechnen, ich verzweifle ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 12.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> verstehe das nicht:
>
>
> Der zweite Faktor, der für x=1 zu Null wird. Es gibt also
> zwei Stellen, an denen f' eine Nullstelle, f also eine
> waagerechte Tangente hat. Diese Stellen sind die einzig
> möglichen Stellen, an denen sich die Monotonie von f
> ändern kann.
>
> Frage: muss ich jetzt noch irgeneine zahl berechnen? wenn
> ja wie? was?
Nein, die Nullstellen der Ableitung (und damit die Grenzen der "Monotonieintervalle") hast du doch schon berechnent, mit x=1 und x=0
> bitte vorrechnen, ich verzweifle ...
Das habe ich in meiner letzten Antwort schon getan.
Da steht alles, was du brauchst, um die Monotonieintervalle zu bestimmen. Die Begründung, wie man aus der Gleichung f'(x)=0 diese beiden "Monotonieänderungsstellen" bekommt, ist in den Antworten davor.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mo 12.09.2011 | | Autor: | BAPH1 |
hallo danke für die erklärungen!
die strobl-f.de seite ist die zur zeit beste erklärungsseite die ich im internet finden konnte! echt der hammer!
die ist nicht so "geschwollen" formuliert wie die bücher usw.
gibts so eine seite auch mit anderen fächern
mfg
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