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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Mengen M auf (1) Offenheit, (2) Konvexität sowie ob sie (3) wegzusammenhängend sind.
a) M = [mm] B_{1}(-\bruch{1}{2},0)\cup B_{1}(\bruch{1}{2},0)
[/mm]
b) M = [mm] {(x,y):(x+1)^{2}+y^{2}\le1 oder (x-1)^{2}+y^{2}\le1}
[/mm]
c) M = {(x,y):-1<x<1 und -1<y<1} |
Guten Abend!
Wie zu sehen ist, muss ich die oben stehenden Mengen auf einige Eigenschaften untersuchen. Grundsätzlich habe ich die benannten drei Eigenschaften verstanden und nachvollzogen. Ich habe jedoch große Probleme damit, mathematisch korrekt nachzuweisen, dass diese Eigenschaften von einer Menge erfüllt werden oder nicht.
Wie weise ich beispielsweise bei Menge (c) nach (welche in etwa ein Quadrat abbildet), dass sie konvex ist - also eine beliebige Verbindungsstrecke darin stets in der Menge liegt? Genau das Gleiche Problem besteht bei der dritten Eigenschaft "wegzusammenhängend".
Über eine kleine Beispielrechnung in Bezug auf diese drei Eigenschaften (gerne an einer ganz simplen, einfachen Menge, die nicht in der Aufgabe vorkommt) wäre ich unglaublich dankbar!
Mit besten Grüßen
mathe_thommy
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Hallo. Es ist schon mal gut, dass du die drei Begriffe verstanden hast. Was ist bei dir mit [mm] B_{1}(-\bruch{1}{2},0) [/mm] gemeint? Das wird doch irgendeine Kugel mit einem Radius um einen gewissen OPunkt sein oder? Da stehen drei Informationen, hast du dich da evtl. vertippt? Kümmern wir uns erst mal um Offenheit. Um Offenheit nachzuweisen, kann man z.B. folgendes verwenden:
Die Vereinigung beliebiger offener Mengen ist wieder offen
Eine Menge ist offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist
Das Komplement einer offenen Menge ist abgeschlossen und umgekehrt.
Für Konvexität: Zeichne dir mal die Mengen auf und versuche für beliebige zwei Punkte eine Verbindungsstrecke innerhalb der Menge zu zeichnen? Schaffst du das? Woran liegt es, dass es bei manchen nicht gehen wird? Und nun wegzusammenhang: Dafür musst du eine stetige Kurve innerhalb der menge finden, die zwei beliebige Punkte in der Menge verbindet. Bei den hier vorgegebenen Mengen gibt es ein paar ganz einfache stetige Kurven, die zwei Punkte immer so verbinden, dass die Kurve in der Menge bleibt, vor allem bei der dritten Menge (da ist es wirklich sehr einfach, denke an Konvexität).
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