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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 05.06.2011 | | Autor: | fevrier |
| Aufgabe | Führen Sie eine Funktionsuntersuchung durch und zeichnen Sie den Graphen.
a) f(x)= [mm] 2x-e^x
[/mm]
b) e*x+e^-x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufg. a)
f(x)= [mm] 2x-e^x
[/mm]
Zuerst sollen wir die Nullstellen bestimmen:
Dann muss ja f(x)=0 gesetzt werden. Also: [mm] 2x-e^x=0.
[/mm]
Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich die Gleichung nach x hin umformen soll, da ich mit dem x im Exponenten Probleme hab...
Wenn die erste Ableitung f'(x)= [mm] 2-e^x [/mm] richtig ist, würde ich für den Hochpunkt 0,693 rausbekommen.
Die Wendestelle berechnet man ja mit der zweiten Ableitung. Ist die dann einfach [mm] -e^x???
[/mm]
In erster Linie hat es bei mir mit dem x im Exponenten und wie ich das "runterhole" noch nicht klick gemacht. Zudem hab ich Schwierigkeiten bei dem Bilden der Ableitungen.
Zu Aufg. b):
Dort hab ich die gleich Probleme; ich weiß nicht, wie ich zum Errechnen der Nullstelle die Gleichung nach x umformen soll und wie ich für die Extremstellen/Wendestellen die Ableitungen bilden soll.
Um Tipps und Lösungsvorschläge bin ich sehr dankbar :)
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> Führen Sie eine Funktionsuntersuchung durch und zeichnen
> Sie den Graphen.
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> a) f(x)= [mm]2x-e^x[/mm]
> b) e*x+e^-x
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Aufg. a)
>
>
> f(x)= [mm]2x-e^x[/mm]
>
> Zuerst sollen wir die Nullstellen bestimmen:
> Dann muss ja f(x)=0 gesetzt werden. Also: [mm]2x-e^x=0.[/mm]
> Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich die Gleichung
> nach x hin umformen soll, da ich mit dem x im Exponenten
> Probleme hab...
Das geht auch schlichtweg gar nicht analytisch! Da muss man mit der lambertW-Funktion herum hantieren. Kurz: fast nur numerisch lösbar. Also mit Schulstoff geht das eigentlich gar nicht. $x = -LambertW(-1/2)$
>
> Wenn die erste Ableitung f'(x)= [mm]2-e^x[/mm] richtig ist, würde
> ich für den Hochpunkt 0,693 rausbekommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Wendestelle berechnet man ja mit der zweiten Ableitung.
> Ist die dann einfach [mm]-e^x???[/mm]
ja. Die hat keine Nullstellen!
>
> In erster Linie hat es bei mir mit dem x im Exponenten und
> wie ich das "runterhole" noch nicht klick gemacht. Zudem
> hab ich Schwierigkeiten bei dem Bilden der Ableitungen.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
>
> Zu Aufg. b):
> Dort hab ich die gleich Probleme; ich weiß nicht, wie ich
> zum Errechnen der Nullstelle die Gleichung nach x umformen
> soll und wie ich für die Extremstellen/Wendestellen die
> Ableitungen bilden soll.
Geht genauso wenig analytisch. [mm] $x=LambertW(e^{-1})$
[/mm]
>
> Um Tipps und Lösungsvorschläge bin ich sehr dankbar :)
Also nichts von denen ist so richtig lösbar, sofern die Aufgabe wirklich so gestellt war würde ich in Berufung gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fevrier |
Danke erstmal für die Antwort.
Ich habe den Graphen mal mithilfe von Geogebra gezeichnet; scheint soweit zu stimmen: Es gibt keine Nullstellen und auch nur eine Extremstelle (Hochpunkt). Also kann es ja keine Wendestelle geben.
Jetzt hab ich dazu nur noch die Frage, wie man das Verhalten für x->oo bzw. x-> -oo bestimmt? Muss man das dann jeweils für 2x und für [mm] -e^x [/mm] bestimmen?
Ist das vllt richtig: x->oo ----> 2x-> -oo ; [mm] -e^x-> [/mm] -oo
x-> -oo -----> 2x-> o ; [mm] -e^x-> [/mm] o
Auf b) hab ich auch mit Geogebra gezeichnet. Daraus ergibt sich, dass -1 die Nullstelle ist, 1 der y-Achsen-Anschnitt und (-1|0) der Tiefpunkt.
Also müssen diese Werte j auch irgendwie ausgrechnet werden können?!
Vllt könnte mir ja jemand helfen, die die Gleichung abzuleiten:
f(x)= e*x+e^-x
f'(x)= ?
f''(x)= ?
Danke im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Sigrid |
Ich habe den Graphen mal mithilfe von Geogebra gezeichnet; scheint soweit zu stimmen: Es gibt keine Nullstellen und auch nur eine Extremstelle (Hochpunkt). Also kann es ja keine Wendestelle geben.
Der Schluss ist nicht richtig. Es gibt auch Funktionen mit nur einem Hochpunkt, deren Graph einen Wendepunkt hat.
Ich habe den Graphen mal mithilfe von Geogebra gezeichnet; scheint soweit zu stimmen: Es gibt keine Nullstellen und auch nur eine Extremstelle (Hochpunkt). Also kann es ja keine Wendestelle geben.
Jetzt hab ich dazu nur noch die Frage, wie man das Verhalten für x->oo bzw. x-> -oo bestimmt? Muss man das dann jeweils für 2x und für $ [mm] -e^x [/mm] $ bestimmen?
Genau! Und dann schließt du aus den Teilergebnissen auf das Verhalten der Funktion.
Ist das vllt richtig: x->oo ----> 2x-> -oo ; $ [mm] -e^x-> [/mm] $ -oo
x-> -oo -----> 2x-> o ; $ [mm] -e^x-> [/mm] $ o
2x [mm] \rightarrow [/mm] - ∞ für x [mm] \rightarrow [/mm] - ∞
b) hab ich auch mit Geogebra gezeichnet. Daraus ergibt sich, dass -1 die Nullstelle ist, 1 der y-Achsen-Anschnitt und (-1|0) der Tiefpunkt.
Also müssen diese Werte j auch irgendwie ausgrechnet werden können?!
Die Nullstelle kannst du durch Ausprobieren finden.
Vllt könnte mir ja jemand helfen, die die Gleichung abzuleiten:
f(x)= e*x+e^-x
f'(x)= ?
f''(x)= ?
Die Ableitung bekommst du über Potenzregel und Kettenregel:
f'(x) = e + (-1) * [mm] e^{-x}
[/mm]
Schaffst Du jetzt auch die 2. Ableitung?
x-> -oo -----> 2x-> o ; $ [mm] -e^x-> [/mm] $ o
siehe oben
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fevrier |
ok.
Meine nächste Frage ist: Warum kann ich die Nullstelle für f(x) = e*x+e^-x nur durch Ausprobieren herausfinden und nicht durch Rechnen? Das ist mir irgendwie ziemlich "unmathematisch"...
Ich glaube, mein Problem ist, dass ich das mit der Kettenregel noch nicht ganz verstanden habe...
Also: f'(x)= e <--- das ist erstmal klar. Es ist ja einfach so, dass das x wegfällt.
So dann aber f'(x)= [mm] e+(-1)*e^x [/mm] <--- ist das da so, dass man den Exponenten quasi ableitet??
Muss dann die zweite Ableitung heißen: e+1*e^-x ??
Gruß
février
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Hallo,
da stimmt noch was nicht.
> Meine nächste Frage ist: Warum kann ich die Nullstelle
> für f(x) = e*x+e^-x nur durch Ausprobieren herausfinden
> und nicht durch Rechnen? Das ist mir irgendwie ziemlich
> "unmathematisch"...
Man kann sehr gezielt ausprobieren. Numerische Näherungslösungen für analytisch nicht aufzulösende Gleichungen zu finden, ist eine sehr mathematische Aufgabe und in der Praxis meist relevanter als die "genaue" Lösung. Jeder Taschenrechner arbeitet z.B. so! Dabei ist ein Hauptziel, schnell konvergierende Verfahren zu finden, die sich möglichst automatisieren lassen.
> Ich glaube, mein Problem ist, dass ich das mit der
> Kettenregel noch nicht ganz verstanden habe...
> Also: f'(x)= e <--- das ist erstmal klar. Es ist ja
> einfach so, dass das x wegfällt.
Hm. Sehr pragmatisch ausgedrückt, aber korrekt.
> So dann aber f'(x)= [mm]e+(-1)*e^x[/mm] <--- ist das da so, dass
> man den Exponenten quasi ableitet??
Hier fehlt ein Minus im Exponenten. Der zweite Summand, also [mm] e^{-x}, [/mm] wird sozusagen in zwei Stufen abgeleitet.
Erstmal "außen": da steht [mm] e^{\text{blabla}}, [/mm] das bleibt einfach so (eine Besonderheit der e-Funktion). Damit multipliziert wird nun die "innere Ableitung", also [mm] \text{blabla} [/mm] abgeleitet nach x. Und daher kommt der Faktor (-1), also:
[mm] f'(x)=e+(-1)*e^{\blue{-x}}
[/mm]
> Muss dann die zweite Ableitung heißen: e+1*e^-x ??
Nein. Das erste e fällt ja weg, es ist eine Konstante.
[mm] f''(x)=e^{-x}
[/mm]
> Gruß
> février
Salutations,
révérend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Di 07.06.2011 | | Autor: | fevrier |
Vielen Dank. Ich glaube, jetzt hab ich es verstanden! :)
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