Untersuchung quad. Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine quadratische Matrix A [mm] \in R^{nxn} [/mm] heisst symmetrisch wenn [mm] A^T [/mm] = A gilt, sie heisst schiefsymmetrisch
wenn [mm] A^T [/mm] = −A gilt. Wir bezeichnen mit [mm] V_S_y [/mm] die Menge alles symmetrischen Matrizen und mit [mm] V_S_c [/mm] die
Menge alles schiefsymmetrischen Matrizen.
c) Zeigen Sie dass [mm] R^{nxn} [/mm] = [mm] V_S_y [/mm] + [mm] V_S_c [/mm] gilt. Das heisst, zeigen Sie dass man jede Matrix A [mm] \in R^{n×n} [/mm] als
Summe von zwei Matrizen A = [mm] M_S_y [/mm] + [mm] M_S_c [/mm] darstellen kann, wobei die Matrix [mm] M_S_y [/mm] symmetrisch
und die Matrix [mm] M_S_c [/mm] schiefsymmetrisch ist.
d) Zeigen Sie, dass die Summe aus Aufgabe c) eine direkte Summe ist. |
Hallo.
Die Aufgaben a) und b) habe ich nicht mit reingestellt, da sie nichts mit den hier aufgeführten Aufgaben zu tun haben und ich sie außerdem lösen konnte.
Aber hier habe ich absolut keinen Plan, wie ich rangehen soll. Wäre also für jede Hilfe sehr dankbar.^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Eine quadratische Matrix A [mm]\in R^{nxn}[/mm] heisst symmetrisch
> wenn [mm]A^T[/mm] = A gilt, sie heisst schiefsymmetrisch
> wenn [mm]A^T[/mm] = −A gilt. Wir bezeichnen mit [mm]V_S_y[/mm] die Menge
> alles symmetrischen Matrizen und mit [mm]V_S_c[/mm] die
> Menge alles schiefsymmetrischen Matrizen.
>
> c) Zeigen Sie dass [mm]R^{nxn}[/mm] = [mm]V_S_y[/mm] + [mm]V_S_c[/mm] gilt. Das
> heisst, zeigen Sie dass man jede Matrix A [mm]\in R^{n×n}[/mm] als
> Summe von zwei Matrizen A = [mm]M_S_y[/mm] + [mm]M_S_c[/mm] darstellen kann,
> wobei die Matrix [mm]M_S_y[/mm] symmetrisch
> und die Matrix [mm]M_S_c[/mm] schiefsymmetrisch ist.
>
> d) Zeigen Sie, dass die Summe aus Aufgabe c) eine direkte
> Summe ist.
> Hallo.
>
> Die Aufgaben a) und b) habe ich nicht mit reingestellt, da
> sie nichts mit den hier aufgeführten Aufgaben zu tun haben
> und ich sie außerdem lösen konnte.
> Aber hier habe ich absolut keinen Plan, wie ich rangehen
> soll. Wäre also für jede Hilfe sehr dankbar.^^
c) Ist A gegeben durch die Elemente [mm] $a_{ij}. [/mm] Definiere für die Elemente [mm] $(M_S_y)_{ij}$ [/mm] der symmetrischen Matrix:
[mm] $(M_S_y)_{ij} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})$
[/mm]
Und für die Elemente der schiefsymmetrischen Matrix:
[mm] $(M_S_c)_{ij} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji})$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass die so definierten Matrizen wirklich symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch sind, und dass [mm] $M_S_y [/mm] + [mm] M_S_c [/mm] = A$ gilt.
Damit die Definionen nicht so aus der Luft gegriffen sind, mache dir die Sache vielleicht mal an einer Beispielmatrix klar.
d) Du hast ja bereits gezeigt, dass [mm] $\IR^{n \times n} [/mm] = [mm] V_S_y [/mm] + [mm] V_S_c$ [/mm] gilt. Damit diese Summe direkt ist, muss gelten [mm] $V_S_y \cap V_S_c [/mm] = [mm] \{0\}$. [/mm] Du musst also nur zeigen, dass außer der Nullmatrix keine Matrix sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch ist. Nehme dazu einfach mal an, die Matrix $B$ würde beide Eigenschaften erfüllen. Folgere daraus, dass $B$ die Nullmatrix sein muss.
LG Lippel
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