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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Sa 10.11.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktionen:
a) f: [mm] \IR_{+} \to \IR [/mm] mit f(x) := [mm] \wurzel{^x}
[/mm]
b) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{|x|}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm] |
Ich denke, die erste Funktion ist stetig, und die zweite Funktion ist nicht stetig. Oder liege ich da komplett falsch?
Bei Aufgabe a) habe ich aber keine Ahunung wie ich diese lösen kann.
Die Aufgabe b) kann ich doch mit dem Folgekriterium für Stetigkeit lösen? Muss ich dann zuerst eine Folge finden, welche gegen einen Punkt konvergiert, wo die Funktion nicht stetig ist?
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Hallo jokerose,
> Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktionen:
> a) f: [mm]\IR_{+} \to \IR[/mm] mit f(x) := [mm]\wurzel{^x}[/mm]
> b) f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{|x|}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> Ich denke, die erste Funktion ist stetig, und die zweite
> Funktion ist nicht stetig. Oder liege ich da komplett
> falsch? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
nein, liegst du nicht
>
> Bei Aufgabe a) habe ich aber keine Ahunung wie ich diese
> lösen kann.
Wie wär's mit der Definition, also mit dem [mm] $\varepsilon/\delta$ [/mm] - Kriterium?
Gib dir einen beliebigen Punkt [mm] $x_0\in\IR^+$ [/mm] und ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor und konstruiere ein [mm] $\delta>0$ [/mm] derart, dass für alle [mm] $0<|x-x_0|<\delta$ [/mm] gilt: [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
[/mm]
Ein Tipp dazu: Du kannst [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|$ [/mm] schreiben als [mm] $\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|$
[/mm]
Das ist lediglich erweitert mit [mm] $\sqrt{x}+\sqrt{x_0}$ [/mm] --> 3.binom. Formel im Zähler...
>
> Die Aufgabe b) kann ich doch mit dem Folgekriterium für
> Stetigkeit lösen? Muss ich dann zuerst eine Folge finden,
> welche gegen einen Punkt konvergiert, wo die Funktion nicht
> stetig ist?
>
Jo, so viele kritische Punkte gibt es ja nicht, außerhalb von 0 ist die Funktion wohl stetig.
Untersuche, wie es in [mm] x_0=0 [/mm] aussieht.
Dazu ist die Idee mit dem Folgenkriterium schon sehr gut.
Nimm dir ne Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] her mit [mm] $x_n\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und schaue, ob auch [mm] $f(x_n)\to [/mm] f(0)=0$ geht für [mm] n\to\infty
[/mm]
Tipp: Die einfachsten Folgen sind oft die besten 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 11.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Hallo schachuzipus,
Vielen Dank für die Antwort.
Also für Aufgabe b) habe ich eine Folge gefunden, nähmlich 1/x. Mit dieser klappt es.
Aber bei Aufgabe a) bin ich leider immer noch nicht weitergekommen. Wie kann ich ein solches [mm] \delta [/mm] herausfinden?
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
> Vielen Dank für die Antwort.
> Also für Aufgabe b) habe ich eine Folge gefunden, nähmlich ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> 1/x.
Vllt. schreibst du besser [mm] $(x_n)_n=\left(\frac{1}{n}\right)_n$
[/mm]
>Mit dieser klappt es.
Klappt was?
> Aber bei Aufgabe a) bin ich leider immer noch nicht
> weitergekommen. Wie kann ich ein solches [mm]\delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> herausfinden?
Nun, du musst ja im Endeffekt $|f(x)-f(x_0)|$ abschätzen und das kleiner kriegen als dein beliebig vorgegebenes $\varepsilon$
Also mit der Erweiterung von oben ist schon mal $|f(x)-f(x_0)|=|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right|=|x-x_0|\cdot{}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}$
Da sowohl \sqrt{x} als auch \sqrt{x_0} > 0 sind, kannst du den Betrag weglassen
$< |x-x_0|\cdot{}\frac{1}{\sqrt{x_0}}$ denn \sqrt{x} ist >0 und wenn wir das weglassen, verkleinern wir den Nenner und vergrößern somit den Bruch
Also, bisher haben wir $|f(x)-f(x_0)|<\underbrace{|x-x_0|}_{<\delta}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{x_0}}\overset{!}{<}\varepsilon$
Wie musst du also nun $\delta$ wählen, damit diese Abschätzung passt?
Ganz am Schluss musst du das noch in die richtige Reihenfolge bringen, die Abschätzung war erst einmal eine Nebenrechnung, um das $\delta$ zu finden
Nachher dann:
Sei $x_0\in\IR^+$ und $\varepsilon>0$
Wähle $\delta:=.....$ Dann gilt für alle $x\in\IR^+$ mit $|x-x_0|<\delta$:
$|f(x)-f(x_0)|<$ hier kommt dann die ganze Abschätzung von oben $<\varepsilon$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 So 11.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Vielen Dank nochmals.
Ja bei der Aufgabe b) habe ich mich nur vertippt. War mir klar, dass es 1/n sein musste.
Und Aufgabe a) werde ich dann morgen noch anschauen. Hoffe, dass es dann klappt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 So 11.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Stimmt das, dass ich dann [mm] \delta [/mm] := min{1, [mm] \varepsilon*\wurzel{x_o} [/mm] }wählen muss?
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Hallo jokerose,
> Stimmt das, dass ich dann [mm] $\delta [/mm] := [mm] min\{1,\varepsilon*\wurzel{x_o}\}$ [/mm] wählen muss?
Hmm, wieso das minimum? Ich sehe nicht, dass das in die Abschätzung eingegangen ist.
Wähle lediglich [mm] $\delta:=\varepsilon\cdot{}\sqrt{x_0}$
[/mm]
Dann sollte die Abschätzung passen.
LG
schachuzipus
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