Untersuchung einer Abb. auf In < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Do 25.10.2007 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Untersuchen Sie f auf Injektivität.
f: [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] mit f(m) = (m-1,2) |
Hallo!
Ich bin etwas am Verzweifeln, da ich zwar die Definition von Injektivität verstehe, aber trotzdem nicht weiß ob meine Ahnung von der Lösung richtig ist..
Erstmal die Definition:
f ist injektiv, falls aus f([mm]m_{1}[/mm]) = f([mm]m_{2}[/mm]) immer [mm]m_{1}[/mm] = [mm]m_{2}[/mm] folgt. (Für alle [mm]m_{2}[/mm],[mm]m_{1}\in\IZ[/mm])
Hier mein Ansatz:
Also muss ich jetzt zeigen, dass
f([mm]m_{1}[/mm]) = f([mm]m_{2}[/mm]) => [mm]m_{1}[/mm] = [mm]m_{2}[/mm]
=> [mm](m_{1}-1,2)[/mm] = [mm](m_{2}-1,2)[/mm]
Aber wie berechnet man das denn nu?
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Tipps und Hilfen!
Ilfairy
PS: Ich bin mir nicht sicher, ob man auch zwei Fragen in einem Beitrag stellen darf, falls nicht ignoriert diese:
Wie kann ich mir [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] bildlich vorstellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ilfairy,
> Untersuchen Sie f auf Injektivität.
> f: [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] mit f(m) = (m-1,2)
> Hallo!
>
> Ich bin etwas am Verzweifeln, da ich zwar die Definition
> von Injektivität verstehe, aber trotzdem nicht weiß ob
> meine Ahnung von der Lösung richtig ist..
>
> Erstmal die Definition:
> f ist injektiv, falls aus f([mm]m_{1}[/mm]) = f([mm]m_{2}[/mm]) immer [mm]m_{1}[/mm]
> = [mm]m_{2}[/mm] folgt. (Für alle [mm]m_{2}[/mm],[mm]m_{1}\in\IZ[/mm])
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Hier mein Ansatz:
> Also muss ich jetzt zeigen, dass
> f([mm]m_{1}[/mm]) = f([mm]m_{2}[/mm]) => [mm]m_{1}[/mm] = [mm]m_{2}[/mm]
> [mm](m_{1}-1,2)[/mm] = [mm](m_{2}-1,2)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") auch richtig
>
> Aber wie berechnet man das denn nu?
Nun Gleichheit bedeutet Gleichheit in beiden Komponenten, also [mm] $m_1-1=m_2-1$ [/mm] und $2=2$
Also... [mm] $\Rightarrow m_1=m_2$
[/mm]
> Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Tipps und Hilfen!
>
> Ilfairy
>
>
> PS: Ich bin mir nicht sicher, ob man auch zwei Fragen in
> einem Beitrag stellen darf, falls nicht ignoriert diese:
> Wie kann ich mir [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] bildlich vorstellen?
Nun, f ordnet jeder ganzen Zahl $m$ das Tupel $(m-1,2)$ zu.
Zeichne das doch mal in ein Koordinatensysten. Das sind diejenigen Gitterpunkte, deren x-Koordinate ganz [mm] \IZ [/mm] durchläuft und die y-Koordinate stets 2 ist, also ....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 25.10.2007 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Bedeutung:
[mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] |
"Nun, f ordnet jeder ganzen Zahl m das Tupel (m-1,2) zu.
Zeichne das doch mal in ein Koordinatensysten. Das sind diejenigen Gitterpunkte, deren x-Koordinate ganz [mm]\IZ[/mm] durchläuft und die y-Koordinate stets 2 ist, also .... "
Danke! Da hab ich ja scheinbar den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen!
Jedoch zu meiner zweiten Frage: Bei meinem Koordinatensystem kommt nun eine Gerade y=2 raus.. Was passiert mit dem m-1 aus dem Tupel?
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Hi,
> Jedoch zu meiner zweiten Frage: Bei meinem
> Koordinatensystem kommt nun eine Gerade y=2 raus. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") . Was
> passiert mit dem m-1 aus dem Tupel?
Das Bild von f ist doch nicht die gesamte Gerade, es sind nur die ganzzahligen Punkte (Gitterpunkte - s. oben), die auf der Parallelen zur x-Achse durch (0,2) , also auf y=2 liegen !
f(m) ist doch in [mm] $\IZ\times\IZ$ [/mm] ! Da sind doch Punkte wie [mm] \left(\frac{1}{2},2\right) [/mm] oder [mm] (\pi,2) [/mm] oder gar [mm] (\sqrt{2},2) [/mm] wohl nicht dabei, oder? 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ilfairy |
Alles klar! Jetzt habe ich's verstanden!
Natürlich nur Punkte wie (1,2) , (2,2) , (3,2) , (4,2) ..
Danke!
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