Untersuchung auf Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hallo ihr Lieben,
hätte mal eine Frage zur Konvergenzuntersuchung bei rekursiv definierten Folgen, da hab ich nämlich so meine Probleme mit. Und zwar hab ich in einer alten Examensklausur folgende Aufgabe gefunden:
Es sei [mm] (a_{n}) [/mm] mit n von 1 bis [mm] \infty [/mm] .
[mm] a_{1} [/mm] = 1
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + ( [mm] (-1^{n}) [/mm] / [mm] 2^{n})
[/mm]
Dazu hab ich die ersten 10 Werte berechnet und festgestellt dass der Grenzwert wohl etwa bei 0,75 liegt. Den hab ich dann in meine Gleichung für Konvergenzuntersuchungen eingesetzt:
[mm] |a_{n}+((-1^{n}) [/mm] / [mm] 2^{n}) [/mm] - 0,75| < [mm] \varepsilon
[/mm]
als [mm] \varepsilon [/mm] habe ich 0,5 gewählt.
Leider hänge ich genau hier jetzt fest. Kann man das so angehen? Und wenn ja: wäre einer von euch so lieb mir das mal gaaanz ausführlich vorzurechnen, damit ichs in Zukunft auch auf alle anderen Folgen anwenden kann?
Vielen Dank schon im Voraus,
liebe Grüße,
Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hallo Nicole,
>
> Es sei [mm](a_{n})[/mm] mit n von 1 bis [mm]\infty[/mm] .
> [mm]a_{1}[/mm] = 1
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + ( [mm](-1^{n})[/mm] / [mm]2^{n})[/mm]
>
> Dazu hab ich die ersten 10 Werte berechnet und festgestellt
> dass der Grenzwert wohl etwa bei 0,75 liegt. Den hab ich
> dann in meine Gleichung für Konvergenzuntersuchungen
> eingesetzt:
> [mm]|a_{n}+((-1^{n})[/mm] / [mm]2^{n})[/mm] - 0,75| < [mm]\varepsilon[/mm]
> als [mm]\varepsilon[/mm] habe ich 0,5 gewählt.
>
Nein, so kann man das leider nicht angehen, denn du darfst für [mm] \epsilon [/mm] nicht einfach etwas wählen, die obige Abschätzung muß im Gegenteil für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 gelten! Außerdem hast du die 0,75 ja auch nur geschätzt, damit könntest du zwar richtig liegen, aber wenn das "erst" dein zehnter Wert der Folge ist, muß es nicht auch der exakte Grenzwert ist.
Bei dieser induktiv definierten Folge kann man den Grenzwert aber folgendermaßen ausrechnen, und zwar gilt:
[mm] a_{n}=a_{1}+\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}=a_{n-2}+ \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}=....=a_{1}+\sum_{i=1}^{n-1} (\frac{-1}{2})^{i} [/mm]
Das wäre per Induktion zu beweisen. Und nun folgt weiter:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] a_{1} +\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}{n-1}(\frac{-1}{2})^{i}
[/mm]
Man hat das Problem also auf den Grenzwert einer gemoetrischen Reihe reduziert und wegen [mm] |\frac{-1}{2}|<1 [/mm] konvergiert diese gegen
[mm] \frac{1}{1-(\frac{-1}{2})} [/mm] -1= [mm] -\frac{1}{3} [/mm] und damit folgt:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] a_{1} +\frac{-1}{3} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
(also nicht ganz 0,75)
Beim wem hast du denn in Heidelberg die Analysis-Vorlesung gehört?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 17.07.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hi du,
danke für die schnelle Antwort. Da hab ich wohl noch so einiges zu lernen.
Und weil du wissen wolltest bei wem die Vorlesung war: ich bin ja nicht an der Uni sondern an der PH, von daher werden die dir als Diplomstudent wohl alle recht unbekannt vorkommen (für weitere Fragen dann grad Email an mich  ).
Liebe Grüße,
Nicole
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