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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Sa 21.03.2009 | | Autor: | DerPadde |
| Aufgabe | | [mm]a_n:= \bruch{(-1)^n}{1+n^2}[/mm] |
Hallo Liebe Forenmitglieder und Mathematikbegeisterte, als erstes die Klausel:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Obige Aufgabe ist eigentlich relativ simpel denke ich.
Wie folgt bin ich an die Sache rangegangen:
um es formal aufzuschreiben habe ich als erstes den oberen und unteren Grenzwert gesucht.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n:=a_n= \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(-1)^n}{\limes_{n\rightarrow\infty}(1+n^2)}[/mm]
Daraus folgt meines erachtens => [mm]\bruch{|1|}{\infty} = \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
bin ich da auf dem richtigen weg ?
Damit meine ich, ob 1.) Der Lösungsweg richtig ist und 2.) Wenn ja, ob die Ausdrucksweise stimmt.
Ich habe das Forum schon durchsucht, bücher studiert etc. aber ein paar tipps für die Vorgehensweise zur bearbeitung solcher aufgaben wären nicht schlecht.
Mit freundlichem Gruß
Patrick
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Die Idee stimmt wohl - formal ist es ein wenig unglücklich aufgeschrieben, d.h. man kann an deinem Weg erkennen, was du dir für Gedanken gemacht hast.
Etwas formaler würde man etwa so vorgehen (und das ist noch nicht die ganz saubere mathematische Formulierung):
Vermutung: 0 ist der Grenzwert.
Dann muss der Bruch vom Betrag her immer kleiner werden (etwas formaler: du findest zu einem vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine Zahl n, ab der alle Folgeglieder vom Betrag her kleiner als dieses Epsilon sind).
Du kannst dann also den Betrag des Folgenterms betrachten:
[mm]|a_n|= |\bruch{(-1)^n}{\(1+n^2}| =\bruch{1}{\(1+n^2} < \varepsilon[/mm]
Wenn du die letzte Ungleichung nach n auflöst, bekommst du die Bedingung [mm]n^{2} > \bruch{1-\varepsilon}{\varepsilon}[/mm], ab welchem n dein Folgenglied tatsächlich kleiner als das beliebig vorgegebene [mm] \varepsilon [/mm] wird. Je kleiner du [mm] \varepsilon [/mm] wählst, desto größer wird naturgemäß diese Zahl n.
Grundsätzliche Vorgehensweise:
1. Grenzwert vermuten
2. Differenz aus Folgenglied und Grenzwert bilden (hier in dem Beispiel ist der ja 0, also muss nichts subtrahiert werden).
3. Den Betrag dieser Differenz vereinfachen, kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] setzen
4. Diese Ungleichung nach n auflösen.
Das ist ein möglicher Weg für die "einfachen" Folgen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Sa 21.03.2009 | | Autor: | DerPadde |
Danke, das hat mir einiges zur verständlichkeit gebracht.
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