Unterscheidbarkeit von Kugeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Hi
Folgende Frage stellt sich mir gerade:
5 Kugeln werden rein zufällig in 5 Fächer geworfen. Mehrfachbelegung ist also möglich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jedem Fach genau eine Kugel landet, wenn die Kugeln
a) unterscheidbar
b) nicht unterscheidbar
sind?
Von der Logik her hätt ich ja gedacht, die Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß, denn was soll es für einen Unterschied machen, ob die Kugeln bemalt sind oder nicht?
Jedoch meine Rechnung ergibt:
a) Unterscheidbar:
Möglichkeiten mit genau einer Kugel pro Kiste: 5! = 120
Möglichkeiten insgesamt: [mm] 5^{5} [/mm] = 3125
Also p = 3,84 %
b) Nicht unterscheidbar:
Möglichkeiten mit genau einer Kugel pro Kiste: [mm] \bruch{5!}{5!} [/mm] = 1
Möglichkeiten insgesamt: [mm] \vektor{5+5-1 \\ 5}= \vektor{9 \\ 5} [/mm] = 126.
Also p = 0,79 %
Wo liegt der Fehler? Hab ich falsch gerechnet? Die Gesamt-möglichkeiten bei b) hab ich mit der Formel [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] berechnet. Oder ist meine Annahme, dass beide Wahrscheinlichkeiten gleich sein müssten, falsch? Aber was macht da den Unterschied?
Hoffe ihr könnt mein Dilemma aufklären.
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Fr 26.10.2007 | | Autor: | DirkG |
Es sind zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsmodelle der Verteilung der Kugeln, die du da betrachtest - völlig normal, dass da was unterschiedliches rauskommt.
a) beschreibt den Vorgang, wenn du jede einzelne der 5 Kugeln für sich zufällig (und gleichberechtigt) auf die 5 Fächer aufteilst. Das ist das übliche Modell, wie man es auch vom Würfeln mit mehreren Würfeln kennt.
b) ist etwas schwieriger zu deuten ... vielleicht so, wenn auch etwas holprig: Man nimmt die 5 Kugeln und 4 "Trennwände" und ordnet diese 9 Elemente zufällig an - jede Trennwand symbolisiert den Übergang zum nächsten Fach. Dann kommt das raus, was du bei b) betrachtest.
Gruß,
Dirk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Hi
Vielen Dank für die Antwort. So ganz versteh ichs aber immer noch nicht.
b) ist doch dasselbe Problem wie a) (also voneinander unabhängiges Aufteilen), nur dass die Kugeln alle gleich aussehen. Wieso muss man denn da so eine komplizierte Deutung finden?
Und noch eine Frage: Welchen der Fälle würde man auf die Fragestellung "Wenn in einer Woche 7 Einbrüche passieren, wie wahrscheinlich ist es dann, dass an jedem Tag genau einer passiert?" (unter der Annahme dass jeder Tag für einen Einbruch gleichwahrscheinlich ist) anwenden?
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Hi
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> Vielen Dank für die Antwort. So ganz versteh ichs aber
> immer noch nicht.
> b) ist doch dasselbe Problem wie a) (also voneinander
> unabhängiges Aufteilen), nur dass die Kugeln alle gleich
> aussehen.
Dein Fehler im 2. Fall besteht schlicht und einfach darin, daß du zwar die Anzahl der Möglichkeiten korrekt beerchnet hast, aber diese Möglichkeiten nicht alle gleich wahrscheinlich sind. Das heißt, du darfst die Wahrscheinlichkeit nicht einfach durch Division nach Laplace berechnen, weil die Laplacesche Formel nur für den Fall der diskreten Gleichverteilung gilt.
siehe auch diesen Thread
> Und noch eine Frage: Welchen der Fälle würde man auf die
> Fragestellung "Wenn in einer Woche 7 Einbrüche passieren,
> wie wahrscheinlich ist es dann, dass an jedem Tag genau
> einer passiert?" (unter der Annahme dass jeder Tag für
> einen Einbruch gleichwahrscheinlich ist) anwenden?
den ersten Fall!
Den zweiten kannst du vergessen, das Modell reflektiert nicht die Realität.
Vertraue in diesem Falle ruhig deiner Intuition.
Liebe Grüße
Will
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