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| Aufgabe | | Sei K ein Körper. Finden Sie einen Unterring A des Polynomrings K[X] mit K [mm] \subset [/mm] A, K [mm] \not= [/mm] A , A ist kein Körper und A nicht issomorph zu K[X] |
Hallo,
Es gilt ja : K[X]:= K [mm] \cup [/mm] K *x [mm] \cup K*x^2 \cup [/mm] ...
und da K [mm] \subset [/mm] A gelten muss mit K [mm] \not= [/mm] A ,so muss
A= K [mm] \cup [/mm] .. aussehen, außerdem gilt für einen Unterring [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] a*B [mm] \in [/mm] A
kurz:
Ich habe die Vermutung, dass A:= K [mm] \cup K*x^2 \cup K*x^4 \cup [/mm] ...
die Lösung sein könnte.
Alle bedingungen der Aufgabenstellung habe ich zeigen könne, außer die Tatsache, dass A nicht isomorph zu K[X] sein soll.
Weis einer von euch, ob dies bei A zutrifft und wenn ja, wie zeigt man das?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 16.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper. Finden Sie einen Unterring A des
> Polynomrings K[X] mit K [mm]\subset[/mm] A, K [mm]\not=[/mm] A , A ist kein
> Körper und A nicht issomorph zu K[X]
>
> Es gilt ja : K[X]:= K [mm]\cup[/mm] K *x [mm]\cup K*x^2 \cup[/mm] ...
>
> und da K [mm]\subset[/mm] A gelten muss mit K [mm]\not=[/mm] A ,so muss
>
> A= K [mm]\cup[/mm] .. aussehen, außerdem gilt für einen Unterring
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] a*B [mm]\in[/mm] A
>
> kurz:
>
> Ich habe die Vermutung, dass A:= K [mm]\cup K*x^2 \cup K*x^4 \cup[/mm]
> ...
>
> die Lösung sein könnte.
>
> Alle bedingungen der Aufgabenstellung habe ich zeigen
> könne, außer die Tatsache, dass A nicht isomorph zu K[X]
> sein soll.
>
> Weis einer von euch, ob dies bei A zutrifft und wenn ja,
> wie zeigt man das?
Nun, dein Ring ist [mm] $K[x^2]$, [/mm] und die Abbildung $K[x] [mm] \to K[x^2]$, [/mm] $f(x) [mm] \mapsto f(x^2)$ [/mm] ist ein Isomorphismus.
Du musst also weitersuchen.
LG Felix
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ok hast du einen Tipp, ich komme nicht darauf,
wahrscheinlich wird eine einfache steigerung der Potenz z.B [mm] K[x^n] [/mm] auch nichts bringen mit demselben argument.
Ich meine, wenn man doch ein Element der form [mm] f(x)=x^n [/mm] , n [mm] \in \IN
[/mm]
in A ´steckt, dann muss aufgrund der Eigenschaft, dass A ein Unterrung ist,
alle Funktionen der Form [mm] f(x)=x^{p*n} [/mm] mit p,n [mm] \in \IN [/mm] auch in A sein.
und da mindestens ein Polynom dieser Form (also mit einer Variable [mm] x^n [/mm] ) in A sein muss, da K [mm] \subset [/mm] A, mit A [mm] \not= [/mm] K .
Ist die AUfgabe denn lösbar?
Ich wäre über einige hilfestellungen sehr dankbar
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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