Unterraum von einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Loki._. |
Hallo liebes Forum,
ich habe folgendes Problem:
Ich habe eine 74x74 Matrix, deren charakteristisches Polynom in zwei Polynome 6ter Ordnung zerfällt und weitere kleinere Polynome. Eigentlich bin ich nur an der Matrix interessiert die, das Polynom mit dem größten Eigenwert erzeugt, was eines der Polynome 6ten Grades ist. Also sollte sich durch geeignete Linearkombination meiner ursprünglichen Variablen doch eine 6x6 Matrix erzeugen lassen, die dieses Polynom produziert, richtig?
Edit: Polynom 6. Grades mit ganzzahligen Koeffizienten, ansonsten könnte man es ja weiter faktorisieren (zumindest theoretisch).
Bisher habe ich mir die Eigenvektoren angesehen, die diesen Raum aufspannen und geschaut, welche Einträge denselben Wert haben und diese dann zu einer Variablen zusammenaddiert (bzw. subtrahiert, wenn das Vorzeichen andersrum war). Das Resultat ist leider eine 22x18 Matrix.
Hat jemand von euch eine Idee, wie man die richtige(n) Kombination(en) rausbekommt, um zu der gesuchten 6x6 Matrix zu kommen?
Schonmal vielen Dank fürs Lesen und ich hoffe auf erhellende Antworten
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=529322
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 So 20.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Loki und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine 74x74 Matrix, deren charakteristisches
> Polynom in zwei Polynome 6ter Ordnung zerfällt und weitere
> kleinere Polynome. Eigentlich bin ich nur an der Matrix
> interessiert die, das Polynom mit dem größten Eigenwert
> erzeugt, was eines der Polynome 6ten Grades ist. Also
> sollte sich durch geeignete Linearkombination meiner
> ursprünglichen Variablen doch eine 6x6 Matrix erzeugen
> lassen, die dieses Polynom produziert, richtig?
>
> Edit: Polynom 6. Grades mit ganzzahligen Koeffizienten,
> ansonsten könnte man es ja weiter faktorisieren (zumindest
> theoretisch).
Ist der gesuchte Faktor irreduzibel bzw. teilerfremd zu den restlichen Faktoren?
> Bisher habe ich mir die Eigenvektoren angesehen, die diesen
> Raum aufspannen und geschaut, welche Einträge denselben
> Wert haben und diese dann zu einer Variablen
> zusammenaddiert (bzw. subtrahiert, wenn das Vorzeichen
> andersrum war). Das Resultat ist leider eine 22x18 Matrix.
Ich glaube was du suchst ist ein 6-dimensionaler Untervektorraum $U$, welcher invariant unter deiner Matrix ist (sprich die Vektoren daraus werden von deiner Matrix auf Vektoren aus $U$ abgebildet) so, dass die Matrix "eingeschraenkt auf $U$" das gesuchte charakteristische Polynom hat.
Eine beliebige Basis dieses Unterraums $U$ liefert dann die gesuchte Linearkombination deiner Variablen.
> Hat jemand von euch eine Idee, wie man die richtige(n)
> Kombination(en) rausbekommt, um zu der gesuchten 6x6 Matrix
> zu kommen?
Wenn der Faktor von Grad 6 des char. Polynom teilerfremd zum Rest des Polynoms ist (der Rest hat Grad 68), dann kannst du einfach die ![[]](/images/popup.gif) Frobenius-Normalform der Matrix bestimmen -- die Bloecke, die zu den irreduziblen Teilern deines Polynoms von Grad 6 gehoeren liefern dir den invarianten Unterraum.
Wenn der Faktor von Grad 6 nicht teilerfremd zum Rest des Polynoms ist, musst du die Normalform verfeinern, z.B. mit Hilfe der Weierstrassschen Normalform, und hoffen dass du da die passenden Bloecke fuer den Faktor von Grad 6 zusammenbekommst. Ob das immer so einfach klappt - gute Frage. Ich kann mir das schon vorstellen. Muesste man aber beweisen 
Schreib doch noch etwas genauer auf, was du ueber das char. Polynom und dessen Faktoren weisst, und ueber die Matrix.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:09 Do 24.10.2013 | | Autor: | Loki._. |
Hallo Felix und vielen Dank für deine Antwort.
> Ist der gesuchte Faktor irreduzibel bzw. teilerfremd zu den
> restlichen Faktoren?
Das entscheidende Teiler des Polynoms sieht folgendermaßen aus:
[mm](1 + 24 x + 432 x^2 + 8192 x^3 + 79872 x^4 + 327680 x^5 + 524288 x^6)[/mm]
Ich nehme an, dass du mit teilerfremd meinst, dass dieses Polynom keine Lösung besitzt, die auch Lösung der anderen Teiler ist.
Das ist auf jeden Fall der Fall. Ansonsten sind die restlichen Teiler des Polynoms höchstens vom Grad 6, wobei einige auch mehrfach vorkommen, z.B. gibt es den Faktor [mm]x^{31}[/mm].
Ansonsten kann ich zu der Matrix noch sagen, dass sie nur rationale Einträge hat und relativ viele Nulleinträge.
> Ich glaube was du suchst ist ein 6-dimensionaler
> Untervektorraum [mm]U[/mm], welcher invariant unter deiner Matrix
> ist (sprich die Vektoren daraus werden von deiner Matrix
> auf Vektoren aus [mm]U[/mm] abgebildet) so, dass die Matrix
> "eingeschraenkt auf [mm]U[/mm]" das gesuchte charakteristische
> Polynom hat.
>
> Eine beliebige Basis dieses Unterraums [mm]U[/mm] liefert dann die
> gesuchte Linearkombination deiner Variablen.
Das hört sich auf jeden Fall ziemlich gut an. Gibt es einen einfachen Weg die Frobenius Normalform zu bererchnen oder zumindest eine Quelle in der dies gut dargestellt wird?
Gruß
Loki._.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mo 28.10.2013 | | Autor: | Loki._. |
Ok, das Erstellen der Frobenius Normalform ist anscheinend nicht so schwer. Wenn ich das richtig verstanden habe, ist mein invarianter Unterraum dann die Begleitmatrix zu meinem Polynom 6. Grades, richtig?
Und dann müsste ich nur noch dessen Basis bestimmen oder bräuchte ich nicht noch die Matrix die von meiner ursprünglichen Matrix zur Frobenius Normalform transformiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 24.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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