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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:16 Sa 05.12.2009 | | Autor: | JanaM. |
| Aufgabe | Begründen Sie, dass folgende Teilmengen U des Vektorraumes V einen Unterraum bilden, geben Sie jeweils eine Basis für U an und begründen Sie, dass es sich dabei um eine Basis handelt.
(a) V=R³, U= { [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } \in [/mm] R³ : [mm] x_{1}=x_{3} [/mm] }
(b) [mm] V=R^{4}, [/mm] U= { [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} } \in R^{4}: x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=0 [/mm] und [mm] 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 [/mm] }
(c) V... Menge aller auf R definierten reellwertigen Funktionen, U={f [mm] \in [/mm] V: f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] R mit Ausnahme von höchstens endlich vielen x [mm] \in [/mm] R } |
Ich meine, dass (a) einen Unterraum von V beschreibt, da der Nullvektor enthalten ist und Addition und Multiplikation funktionieren (beweise ich natürlich noch ausführlich).
Bei (b) habe ich die zwei Gleichungen gleichgesetzt und komme so auf eine Vektordarstellung [mm] \vektor{-x_{1}\\ 2x_{2}\\ -x_{3}\\ 2x_{4} }. [/mm] Damit kann ich ja nun auch wieder nachweisen, dass Multiplikation und Addition funktionieren. Und dass der Nullvektor enthalten ist, zeige ich, indem ich die obigen Gleichungen umstelle...
Bei (c) wird es für mich schon schwieriger... über einen Ansatz wäre ich daher sehr dankbar :)
(Kann es sein, dass der eventuelle Unterraum hier eine der Koordinatenachsen ist? - Aber warum wären dann endlich viele x aus R ausgeschlossen? Hier hab ich noch eine Denkblockade...)
Ein weiteres Problem habe ich mit dr Bestimmung der Basen im Allgemeinen. Ich weiß, dass eine Basis eine Teilmenge des Vektorraums wäre - jedes Element aus V wäre dann durch diese Basis darstellbar - außerdem ist eine Basis ein minimales Erzeugendensystem und maximal linear unabhängig.
... bei (a) würde ich daher so vorgehen: ich weiß, dass die Dimension 3 ist, da ja der R³ gegeben ist und in der Bedingung nichts davon steht, dass [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] oder [mm] x_{3} [/mm] gleich Null sind.
Ich suche mir also drei Vektoren, die die Bedingung [mm] x_{1}=x_{3} [/mm] erfüllen.
Zum Beispiel [mm] \vektor{ 1 \\ 2 \\ 1 }, \vektor{ 2 \\ 5 \\ 2 } [/mm] uns [mm] \vektor{ 3 \\ 1 \\ 3 }, [/mm] wichtig hierbei ist dann noch, dass diese drei Vektoren keine Vielfachen von einander sind...
Soweit meine Überlegung - ist das in etwa richtig?
(bei (c) würde ich aber mit dieser Denkweise leider nicht so recht weiterkommen...)
Vielen Dank im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Begründen Sie, dass folgende Teilmengen U des Vektorraumes
> V einen Unterraum bilden, geben Sie jeweils eine Basis für
> U an und begründen Sie, dass es sich dabei um eine Basis
> handelt.
>
> (a) V=R³, U= { [mm]\vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } \in[/mm] R³
> : [mm]x_{1}=x_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> (b) [mm]V=R^{4},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U= { [mm]\vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} } \in R^{4}: x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=0[/mm]
> und [mm]2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> (c) V... Menge aller auf R definierten reellwertigen
> Funktionen, U={f [mm]\in[/mm] V: f(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] R mit
> Ausnahme von höchstens endlich vielen x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R }
> Ich meine, dass (a) einen Unterraum von V beschreibt, da
> der Nullvektor enthalten ist und Addition und
> Multiplikation funktionieren (beweise ich natürlich noch
> ausführlich).
Hallo,
das klingt vernünftig.
Ob Du es wirklich richtig machst, weiß ich natürlich nicht.
>
> Bei (b) habe ich die zwei Gleichungen gleichgesetzt und
> komme so auf eine Vektordarstellung [mm]\vektor{-x_{1}\\ 2x_{2}\\ -x_{3}\\ 2x_{4} }.[/mm]
Überlege Dir erstmal was es bedeutet, wenn da steht, daß in U die Vektoren sind
mit [mm] x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=0 [/mm] und [mm]2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm]:
Das sind die Vektoren, bei denen, wenn man das die erste Komponente, das Dreifacheder zweiten und das Zweifache der dritten addiert, 0 herauskommt und gleichzeitig, wenn man das Zweifache der ersten Komponente, die zweite und die dritte addiert, 0 herauskommt.
Dazu kann man sicher nicht alle drei Komponenten beliebig wählen, so, wei das in Deiner Vektordarstellung der Fall ist.
Ich sag Dir jetzt mal, wie die Vektordarstellung in a) aussehen würde: weil [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich sind, hätten alle Vektoren aus U die Gestalt [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }=\vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2} } [/mm] .
Vielleicht überlegst Du nun mal für b) weiter.
Du kommst hier nicht mit Gleichsetzen zum Ziel, sondern Du mußt das Gleichungssystem lösen, wenn Du die Vektordarstellung haben willst.
> Damit kann ich ja nun auch wieder nachweisen, dass
> Multiplikation und Addition funktionieren. Und dass der
> Nullvektor enthalten ist, zeige ich, indem ich die obigen
> Gleichungen umstelle...
Nein. Das zeigst Du, indem Du zeigst, daß der Nullvektor von der geforderten Machart ist. (Vielleiht meintest Du das ja.)
>
> Bei (c) wird es für mich schon schwieriger... über einen
> Ansatz wäre ich daher sehr dankbar :)
> (Kann es sein, dass der eventuelle Unterraum hier eine der
> Koordinatenachsen ist? - Aber warum wären dann endlich
> viele x aus R ausgeschlossen? Hier hab ich noch eine
> Denkblockade...)
In der Menge U sind hier lauter Funktionen: f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] bei denen die Funktionswerte nur an endlich vielen Stellen von 0 verschieden sind.
Also: die Vektoren, mit denen wir es in c) zu tun haben, sind Funktionen.
>
> Ein weiteres Problem habe ich mit dr Bestimmung der Basen
Zumindest für a) und b) löst sich das schnell, sobald dasteht, wie die Vektoren aussehen. das besprechen wir dann, wenn wir soweit sind.
Die bisherigen Überlegungen dazu sind falsch.
Gruß v. Angela
> im Allgemeinen. Ich weiß, dass eine Basis eine Teilmenge
> des Vektorraums wäre - jedes Element aus V wäre dann
> durch diese Basis darstellbar - außerdem ist eine Basis
> ein minimales Erzeugendensystem und maximal linear
> unabhängig.
>
> ... bei (a) würde ich daher so vorgehen: ich weiß, dass
> die Dimension 3 ist, da ja der R³ gegeben ist und in der
> Bedingung nichts davon steht, dass [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] oder [mm]x_{3}[/mm]
> gleich Null sind.
> Ich suche mir also drei Vektoren, die die Bedingung
> [mm]x_{1}=x_{3}[/mm] erfüllen.
> Zum Beispiel [mm]\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1 }, \vektor{ 2 \\ 5 \\ 2 }[/mm]
> uns [mm]\vektor{ 3 \\ 1 \\ 3 },[/mm] wichtig hierbei ist dann noch,
> dass diese drei Vektoren keine Vielfachen von einander
> sind...
> Soweit meine Überlegung - ist das in etwa richtig?
> (bei (c) würde ich aber mit dieser Denkweise leider nicht
> so recht weiterkommen...)
>
> Vielen Dank im Voraus :)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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