Unterraum & orthogonal zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] L^2 ( \left[0,1 \right] ) = L^2 ( \left[0,1 \right], \mu , \mathbb C ) [/mm] der Hilbertraum der quadrat - integrablen komplexwertigen Funktionen bezüglich des Lebesque - Maßes auf [mm] \left[ 0,1 \right] [/mm].
Für eine messbare Teilmenge [mm] A \subset \left[ 0,1 \right] [/mm] sei
[mm] L_{A}^{2} = \{ \chi_{A} \cdot f \| f \in L^2( \left[ 0,1 \right] ) \} \subset L^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm]
Zeigen Sie:
(i) [mm] L_{A}^{2} [/mm] ist ein abgeschlossner Unterraum und [mm] L_{A}^{2} = \{ 0 \} \gdw \mu (A) = 0 [/mm]
(ii) Ist [mm] A \cap B = \emptyset [/mm] , dann gilt [mm] L_{A}^{2} \bot L_{B}^{2} [/mm]. |
Guten Tag alle zusammen!
Momentan versuche ich neben anderen Übungsaufgaben auch diese Aufgabe zu bearbeiten und habe auch ( denke ich zumindest ) größtenteils alles gemacht, nur bin ich mir wieder unsicher, ob das reicht, ob das richtig ist und vorallem wegen der formal richtigen Schreibunktionweise :-(.
Zu der Teilaufgabe (i):
1. z.z: [mm] L_{A}^{2} [/mm] ist Unterraum.
(a) [mm] 0 \in L_{A}^{2} [/mm] offensichtlich; wähle [mm] f [/mm] als
Nullfunktion. Diese ist messbar und integrabel.
(b) Seien [mm] f, g \in L_{A}^{2} [/mm], also
[mm] \integral_{A} \| f \|^2 < \infty & \integral_{A} \| g \|^2 < \infty [/mm]
Dann ist aufgrund der Linearität des Integrals
[mm] \integral_{A} \| f + g \|^2 d \mu \le \integral_{A} \| f \|^2 + \| g \|^2 d \mu = \integral_{A} \| f \|^2 + \integral_{A} \|g \|^2 dy < \infty [/mm]
Somit ist [mm] f +g \in L_{A}^2 [/mm].
(Frage: Welche Ungleichung benutz ich hier, Dreiecksungleichung oder Minkowsche ? )
(c) Sei [mm] f \in L_{A}^{2}( \left[ 0,1 \right] ) , & \lambda \in \mathbb C [/mm].
Dann ist
[mm] \integral_{0}^1 \lambda \chi_{A} \cdot f d\mu = \lambda \integral_0^1 \chi_{A} \cdot f d\mu = \lambda \integral_{A} f d \mu < \infty [/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda f \in L_{A}^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm]
Damit ist gezeigt, dass es ein Unterraum ist.
2. z.z:
[mm]L_{A}^2 [/mm] ist abgeschlossen, d.h [mm] \forall (x_n) [/mm] Folgen in [mm] L_{A}^2 [/mm] mit [mm] x_n \to x [/mm] in [mm] L^2 ( \left[0,1 \right] ) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in L_{A}^2
[/mm]
[/mm]
Sei [mm] (x_n ) [/mm] Chauchy - Folge in [mm] L_{A}^2 [/mm].
[mm] \Rightarrow [/mm] Da [mm] L_{A}^2 [/mm] Unterraum, ist [mm] (x_n) [/mm] auch Chauchy - Folge in [mm] L^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm].
[mm] \Rightarrow [/mm] Da [mm] L^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm] Hilbertraum folgt [mm] x_n \to x [/mm] in [mm] L^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm]
... So , und hier weiß ich nicht wirklich weiter .... Wie kann ich schließen, dass x auch im Unterraum ist... ????
3. z.z: [mm] L_{A}^2 = \{ 0 \} \gdw \mu (A) = 0 [/mm]
[mm] L_{A}^2 [/mm] = [mm] \{ 0 \} \gdw \{ \chi_{A} \cdot f \| f \in L^2( \left[ 0,1 \right] ) \} [/mm] = [mm] \{ 0 \} [/mm]
[mm] \gdw \integral_{A} \|f \|^2 [/mm] d [mm] \mu [/mm] = 0 [mm] \gdw \mu [/mm] (A) = 0 [/mm]
Kann das richtig sein? Irgendwie sieht das unvollständig für mich aus... Als ob viele Zwischenschritte fehlen würden :-(.
Zu der Teilaufgabe (ii):
Zu zeigen:
Ist [mm] A \cap B = \emptyset [/mm], dann gilt [mm] L_{A}^{2} \bot L_{B}^{2} [/mm].
Sein [mm] A, B \subset L^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm] messbar und [mm]
A \cap B = \emptyset [/mm]. Seien [mm] f \in L_{A}^{2} [/mm] und [mm] g \in L_{B}^{2} [/mm].
Zu zeigen ist, dass das Skalarprodukt Null ergibt.
Das Skalarprodukt auf [mm] L^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm] ist allgemein definiert als
[mm] \langle f,g \rangle = \integral_0^1 f \cdot \overline{g} d\mu [/mm]
Somit ist dann für [mm] f \in L_{A}^{2} [/mm] und [mm] g \in L_{B}^{2} [/mm] mit [mm] A \cap B = \emptyset [/mm]
[mm] \langle f,g \rangle = \integral_0^1 \chi_{A} f \cdot \overline{\chi_{B} g} d\mu = \integral_{ A \cap B } f \cdot \overline{g} d \mu = 0 [/mm]
Hier bin ich mir total unsicher... Darf ich das überhaupt so machen? Mir ist klar, dass da Null herauskommt, da ich über eine leere Menge integriere, ober ob ich das so hinschreiben kann?
Vielen Dank schon mal!
Grüße
Irmchen
Hallo nochmal!
Ich hatte heute ne Übung und da wurde mir klar, dass die Menge hier [mm] L_{A}^2 [/mm] keine Menge von FUnktionen ist und meine Lösungen denke ich somit komplett verkehrt sind :-( ....
Leider weiß ich jetzt garnicht, was davon zu "gebrauchen " ist ...
Den Tipp, den wir heute bekommen haben ist zu zeigen, dass
[mm] \chi_{A} f_{A} \to f [/mm] in Zwei-Norm... Also irgendwie, dass
[mm] f = \chi_{A} f [/mm] fast überall ist..
Wenn dies stimmt, dann ist wohl [mm] \left[ f \right] = \left[ \chi_{A} f \right] \in L_{A}^2 [/mm]
Leider vertseh ich garnicht, warum das so geht ... :-(.
Hoffe jemand kann mir da behilflich sein..
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 20.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Sei [mm]L^2 ( \left[0,1 \right] ) = L^2 ( \left[0,1 \right], \mu , \mathbb C )[/mm]
> der Hilbertraum der quadrat - integrablen komplexwertigen
> Funktionen bezüglich des Lebesque - Maßes auf [mm]\left[ 0,1 \right] [/mm].
>
> Für eine messbare Teilmenge [mm]A \subset \left[ 0,1 \right][/mm]
> sei
>
> [mm]L_{A}^{2} = \{ \chi_{A} \cdot f \| f \in L^2( \left[ 0,1 \right] ) \} \subset L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> (i) [mm]L_{A}^{2}[/mm] ist ein abgeschlossner Unterraum und
> [mm]L_{A}^{2} = \{ 0 \} \gdw \mu (A) = 0[/mm]
>
> (ii) Ist [mm]A \cap B = \emptyset[/mm] , dann gilt [mm]L_{A}^{2} \bot L_{B}^{2} [/mm].
>
> Guten Tag alle zusammen!
>
> Momentan versuche ich neben anderen Übungsaufgaben auch
> diese Aufgabe zu bearbeiten und habe auch ( denke ich
> zumindest ) größtenteils alles gemacht, nur bin ich mir
> wieder unsicher, ob das reicht, ob das richtig ist und
> vorallem wegen der formal richtigen Schreibunktionweise
> :-(.
Auf den ersten Blick würde ich sagen, dass du es im Prinzip richtig gemacht hast, aber einige Kleinigkeiten nicht stimmen.
> Zu der Teilaufgabe (i):
>
> 1. z.z: [mm]L_{A}^{2}[/mm] ist Unterraum.
>
> (a) [mm]0 \in L_{A}^{2}[/mm] offensichtlich; wähle [mm]f[/mm] als
> Nullfunktion. Diese ist messbar und integrabel.
>
> (b) Seien [mm]f, g \in L_{A}^{2} [/mm], also
>
> [mm]\integral_{A} \| f \|^2 < \infty & \integral_{A} \| g \|^2 < \infty[/mm]
Das stimmt so nicht, es muss [mm]\integral_{A} | f |^2 < \infty [/mm] heissen. Genauer gesagt:
[mm] \infty > \integral_0^1 | f |^2 = \integral_{A} | f |^2 [/mm],
weil für jeden Repräsentanten von f gilt: [mm]f(x)=0[/mm] fast überall für [mm]x\notin A[/mm].
>
> Dann ist aufgrund der Linearität des Integrals
>
> [mm]\integral_{A} \| f + g \|^2 d \mu \le \integral_{A} \| f \|^2 + \| g \|^2 d \mu = \integral_{A} \| f \|^2 + \integral_{A} \|g \|^2 dy < \infty[/mm]
Korrekt, bis auf die Normstriche, die Betragsstriche sein müssen.
> Somit ist [mm]f +g \in L_{A}^2 [/mm].
Fast. Somit ist [mm]f +g \in L^2( \left[0,1 \right] )[/mm]. Du hast hier implizit angenommen, dass [mm](f+g)(x) = 0[/mm] für [mm]x\notin A[/mm]. Das ist natürlich richtig, sollte aber gesagt werden. (Bei solchen Beweisen ist es immer die Frage, welche der "offensichtlichen" Aussagen man hinschreibt. Du kannst ja nicht jeden mathematischen Zusammenhang begründen, da würdest du nie fertig.)
> (Frage: Welche Ungleichung benutz ich hier,
> Dreiecksungleichung oder Minkowsche ? )
Minkowskiungleichung wäre:
[mm] \|f+g\|_2 \le \|f\|_2 + \|g\|_2 [/mm]
Dreiecksungleichung ist auf jeden Fall richtig.
> (c) Sei [mm]f \in L_{A}^{2}( \left[ 0,1 \right] ) , & \lambda \in \mathbb C [/mm].
>
> Dann ist
>
> [mm]\integral_{0}^1 \lambda \chi_{A} \cdot f d\mu = \lambda \integral_0^1 \chi_{A} \cdot f d\mu = \lambda \integral_{A} f d \mu < \infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda f \in L_{A}^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm]
Gleiche Bemerkung wie oben: ich würde nur sagen, dass auch wieder [mm]\lambda f[/mm] außerhalb von A Null ist.
> Damit ist gezeigt, dass es ein Unterraum ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. z.z:
>
> [mm]L_{A}^2[/mm] ist abgeschlossen, d.h [mm]\forall (x_n)[/mm] Folgen in
> [mm]L_{A}^2 [/mm] mit [mm]x_n \to x[/mm] in [mm]L^2 ( \left[0,1 \right] )[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in L_{A}^2[/mm]
>
> Sei [mm](x_n )[/mm] Chauchy - Folge in [mm]L_{A}^2 [/mm].
> [mm]\Rightarrow[/mm] Da
> [mm]L_{A}^2[/mm] Unterraum, ist [mm](x_n)[/mm] auch Chauchy - Folge in [mm]L^2 ( \left[ 0,1 \right] ) [/mm].
nur dass es Cauchy-Folge heisst.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Da [mm]L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm] Hilbertraum folgt
> [mm]x_n \to x[/mm] in [mm]L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm]
>
> ... So , und hier weiß ich nicht wirklich weiter .... Wie
> kann ich schließen, dass x auch im Unterraum ist... ????
Du musst zeigen, dass der Grenzwert x von der Form [mm]x=\chi_A f [/mm] ist, dass also die Funktion x außerhalb von A überall den Wert 0 hat, wenn alle [mm]x_n[/mm] diese Eigenschaft haben. Tipp: punktweise Konvergenz, unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die [mm]x_n[/mm] Äquivalenzklassen sind, deren Repräsentanten sich durch eine Funktion unterscheiden, die fast überall 0 ist.
> 3. z.z: [mm]L_{A}^2 = \{ 0 \} \gdw \mu (A) = 0[/mm]
>
> [mm]L_{A}^2[/mm] = [mm]\{ 0 \} \gdw \{ \chi_{A} \cdot f \| f \in L^2( \left[ 0,1 \right] ) \}[/mm]
> = [mm]\{ 0 \}[/mm]
> [mm]\gdw \integral_{A} \|f \|^2[/mm] d [mm]\mu[/mm] = 0 [mm]\gdw \mu[/mm] (A) = 0[/mm]
>
> Kann das richtig sein? Irgendwie sieht das unvollständig
> für mich aus... Als ob viele Zwischenschritte fehlen würden
> :-(.
Du hast
[mm] \{ \chi_{A} \cdot f \| f \in L^2( \left[ 0,1 \right] ) \} = \{0 \} [/mm]
An dieser Stelle musst du nochmal berücksichtigen, dass [mm]L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm] und [mm]L_A^2[/mm] Mengen von Äquivalenzklassen enthalten. Das heisst diese Gleichung ist äquivalent zu:
[mm] \chi_{A} \cdot f = 0 [/mm] fast überall in [mm]\left[ 0,1 \right][/mm] und für alle [mm]f\in L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm].
Damit ist dann
[mm] \integral_{A} |f |^2 = 0 [/mm] für alle [mm]f\in L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm].
Hilft dir das weiter?
> Zu der Teilaufgabe (ii):
>
> Zu zeigen:
>
> Ist [mm]A \cap B = \emptyset [/mm], dann gilt [mm]L_{A}^{2} \bot L_{B}^{2} [/mm].
>
> Sein [mm]A, B \subset L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm] messbar und
> [mm]
A \cap B = \emptyset [/mm]. Seien [mm]f \in L_{A}^{2}[/mm] und [mm]g \in L_{B}^{2} [/mm].
>
> Zu zeigen ist, dass das Skalarprodukt Null ergibt.
> Das Skalarprodukt auf [mm]L^2 ( \left[ 0,1 \right] )[/mm] ist
> allgemein definiert als
>
> [mm]\langle f,g \rangle = \integral_0^1 f \cdot \overline{g} d\mu[/mm]
>
> Somit ist dann für [mm]f \in L_{A}^{2}[/mm] und [mm]g \in L_{B}^{2}[/mm] mit
> [mm]A \cap B = \emptyset[/mm]
>
>
> [mm]\langle f,g \rangle = \integral_0^1 \chi_{A} f \cdot \overline{\chi_{B} g} d\mu = \integral_{ A \cap B } f \cdot \overline{g} d \mu = 0[/mm]
>
> Hier bin ich mir total unsicher... Darf ich das überhaupt
> so machen? Mir ist klar, dass da Null herauskommt, da ich
> über eine leere Menge integriere, ober ob ich das so
> hinschreiben kann?
Das ist Alles richtig. Wenn du ein paar Zwischenschritte hinschreibst, wird es klarer. Da [mm]\chi_B[/mm] reell ist, ist
[mm] \integral_0^1 \chi_{A} f \cdot \overline{\chi_{B} g} d\mu
= \integral_0^1 \chi_{A} \chi_{B} f \cdot \overline{ g} d\mu [/mm]
Nun ist [mm] (\chi_{A} \chi_{B})(x) = 0 [/mm]für alle [mm]x\notin A\cap B[/mm].
> Ich hatte heute ne Übung und da wurde mir klar, dass die
> Menge hier [mm]L_{A}^2[/mm] keine Menge von FUnktionen ist und meine
> Lösungen denke ich somit komplett verkehrt sind :-( ....
Nein, sind sie nicht. Die meisten deiner Überlegungen gelten, denn du hast die Aussage für einen beliebigen Repräsentanten der Äquivalenzklasse gezeigt und damit für die gesamte Klasse. An einigen Stellen musst du genauer argumentieren und die Äquivalenzklassen von Funktionen und ihre Repräsentanten unterscheiden.
> Den Tipp, den wir heute bekommen haben ist zu zeigen, dass
>
> [mm]\chi_{A} f_{A} \to f[/mm] in Zwei-Norm... Also irgendwie, dass
> [mm]f = \chi_{A} f[/mm] fast überall ist..
> Wenn dies stimmt, dann ist wohl [mm]\left[ f \right] = \left[ \chi_{A} f \right] \in L_{A}^2[/mm]
Das ist eigentlich ganz einfach 
Der Unterschied zwischen den [mm]{\cal L}^p[/mm]- und den [mm]L^p[/mm]-Räumen besteht doch darin, dass man die "uninteressanten" Funktionen loswird, die fast überall 0 sind. Präziser formuliert: seien f und g aus [mm]{\cal L}^p[/mm], dann gilt für die zugehörigen Äquivalenzklassen:
[mm] \left[ f \right] = \left[g\right] \gdw (f-g) [/mm] ist fast überall 0.
Und für [mm]L_A^2[/mm] ist das ganz genauso: die Elemente von [mm]L_A^2[/mm] sind Äquivalenzklassen, in Formeln:
[mm]\left[ f \right] = \left[ \chi_{A} f \right] \in L_{A}^2[/mm]
Es gibt einen Repräsentanten, der außerhalb von A immer 0 ist (wegen des [mm]\chi_A[/mm]).
Alle anderen Repräsentanten sind fast überall gleich diesem, in Formeln:
[mm]f = \chi_{A} f[/mm] fast überall
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 20.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Als erstes viele Dank für die ausführliche Antwort!
Es gibt zwei Dinge, die ich irgenwie nicht wirklich hinbekomme, ansonsten ist alles soweit klar geworden  .
Erstens:
>
> Du musst zeigen, dass der Grenzwert x von der Form [mm]x=\chi_A f[/mm]
> ist, dass also die Funktion x außerhalb von A überall den
> Wert 0 hat, wenn alle [mm]x_n[/mm] diese Eigenschaft haben. Tipp:
> punktweise Konvergenz, unter Berücksichtigung der Tatsache,
> dass die [mm]x_n[/mm] Äquivalenzklassen sind, deren Repräsentanten
> sich durch eine Funktion unterscheiden, die fast überall 0
> ist.
Hier habe ich wie oft schon das Problem die punktweise Konvergenz zu zeigen... Wie soll ich da ansetzen?
Zweitens:
Ich verstehe garnicht, wo ich diesen Tipp, den wir in der Vorlesung erhalten haben, unterbringen soll in der Argumentaton?
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Do 20.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Guten Abend!
>
> Als erstes viele Dank für die ausführliche Antwort!
> Es gibt zwei Dinge, die ich irgenwie nicht wirklich
> hinbekomme, ansonsten ist alles soweit klar geworden .
>
> Erstens:
>
> >
> > Du musst zeigen, dass der Grenzwert x von der Form [mm]x=\chi_A f[/mm]
> > ist, dass also die Funktion x außerhalb von A überall den
> > Wert 0 hat, wenn alle [mm]x_n[/mm] diese Eigenschaft haben. Tipp:
> > punktweise Konvergenz, unter Berücksichtigung der Tatsache,
> > dass die [mm]x_n[/mm] Äquivalenzklassen sind, deren Repräsentanten
> > sich durch eine Funktion unterscheiden, die fast überall 0
> > ist.
>
> Hier habe ich wie oft schon das Problem die punktweise
> Konvergenz zu zeigen... Wie soll ich da ansetzen?
Du gehst von einer Cauchyfolge [mm]([f]_n)[/mm] in [mm]L_A^2[/mm] aus, die wegen der Vollständigkeit von [mm]L^2([0,1])[/mm] gegen eine Funktion [mm][f]\in L^2([0,1])[/mm] konvergiert.
Meine Argumentation:
Da alle [mm][f]_n\in L_A^2[/mm] sind, gibt es jeweils einen Repräsentanten [mm]f_n[/mm], der außerhalb von A 0 ist. Diese Repräsentanten konvergieren außerhalb von A punktweise gegen einen Repräsentanten von [mm][f][/mm], der außerhalb von A 0 ist. Also ist jeder Repräsentant von [mm][f][/mm] außerhalb von A fast überall 0, das heisst, dass [mm][f]\in L_A^2[/mm] ist.
> Zweitens:
>
> Ich verstehe garnicht, wo ich diesen Tipp, den wir in der
> Vorlesung erhalten haben, unterbringen soll in der
> Argumentaton?
Das ist eine elegantere Formulierung: die Cauchyfolge [mm]([f]_n)[/mm] konvergiert in [mm]L^2[/mm] gegen [mm][f][/mm]; da [mm]f_n = \chi_A f_n[/mm] fast überall, ist auch [mm]f=\chi_A f[/mm] fast überall, und damit [mm][f]\in L_A^2[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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