Unterraum des R^{3} < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Di 01.05.2007 | | Autor: | seny |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] \alpha\vektor{1\\2\\-1}+\beta\vektor{3\\5\\8}+\gamma\vektor{1\\1\\10}, \alpha, \beta, \gamma \in [/mm] R
Zeigen Sie, dass es sich bei der Menge um einen Unterraum des [mm] R^{3} [/mm] handelt. |
Hallo,
Ich sitzte jetzt schon eine halbe Stunde vor dieser Aufgabe und überlege wie das geht, komme aber zu keinem Ergebnis. Kann mir jemand einen Tipp geben, der mir weiterhilft. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Di 01.05.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Seny,
Wenn die Vektoren einen Unterraum aufspannen sollen, müssen sie ja eine Basis des Unterraums bilden...
...und hier gilt doch:
(-2)* [mm] \vektor{1\\2\\-1}+ \vektor{3\\5\\8}=\vektor{1 \\1\\ 10}
[/mm]
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
Allgemein müsstest du zeigen, dass die gegebene Menge ein Vektorraum ist, der dann auch noch eine Untermenge des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Letzteres ist aber klar. Da der [mm] \IR^3 [/mm] ein Vektorraum ist und die gegebene Menge Elemente aus diesem Vektorraum enthält, brauchst du bestimmte Vektorraum-Eigenschaften nicht mehr zu zeigen: Assoziativität, Distributivität usw. sind klar. Das Einzige, was du zeigen musst, ist die Abgeschlossenheit incl. Nullelement und Inversem (hier Gegenvektor). Du zeigtst einfach: mit A und B liegt auch rA + sA in der Menge. Damit liegen auch 0A+0B=0 und -1A+0B=-A in der Menge.
Ein Beispiel, wo das nicht klappt, wäre die Menge aller Vektoren [mm] \alpha\vektor{1 \\ 5}+\vektor{3 \\ 1}. Während\vektor{4 \\ 6}=
[/mm]
[mm] 1\vektor{1 \\ 5}+\vektor{3 \\ 1}in [/mm] der Menge liegt, lässt sich [mm] 2\vektor{4 \\ 6}=2(1\vektor{1 \\ 5}+\vektor{3 \\ 1}))=2\vektor{1 \\ 5}+2\vektor{3 \\ 1}nicht [/mm] mehr als [mm] k\vektor{1 \\ 5}+\vektor{3 \\ 1} [/mm] schreiben.
Auch Nullvektor und Inverses sind nicht so darstellbar.
|
|
|
|
