Unterraum beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mi 03.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | a, b, c [mm] \in \IR
[/mm]
Zeige L = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | ax + by = c}
ist Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] wenn c = 0. |
Selbst diese einfache Aufgabe schaffe ich nicht mehr und es läuft grad zu gut im Studium um wegen solchen Aufgaben alles zu gefährden ;)
Würde mich über etwas Hilfe freuen.
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> a, b, c [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Zeige L = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| ax + by = c}
> ist Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm] wenn c = 0.
> Selbst diese einfache Aufgabe schaffe ich nicht mehr und
> es läuft grad zu gut im Studium um wegen solchen Aufgaben
> alles zu gefährden ;)
>
> Würde mich über etwas Hilfe freuen.
hallo,
Stichwort: Unterraumkriterien.
Zeig, daß es für c=0 ein Unterraum ist, und zeig, daß es ür [mm] c\not=0 [/mm] kein Unterraum ist (Abgeschlossenheit.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mi 03.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
In Ordnung.
Zu Zeigen:
L [mm] \not= \emptyset
[/mm]
a, b [mm] \in [/mm] L : a+b in L
[mm] \lambda, [/mm] a [mm] \in [/mm] L : [mm] \lambda \* [/mm] a [mm] \in [/mm] L
Zuerst: L [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Dies gilt sicherlich, da L = (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] und [mm] \IR \not= \emptyset [/mm] und somit auch L [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(Hier weis ich jetzt schon das dies dem Tutor nicht als Beweis ausreicht, weil es ihm immer noch zu viel Text ist :P - der ist so)
oder: Sei L = ( [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \emptyset [/mm] ) ist ( [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \emptyset [/mm] ) [mm] \in \IR^{2} [/mm] , was ein Widerspruch ist.
Danach: a, b [mm] \in [/mm] L : a+b in L
Ähm ja... keine Ahnung ^^
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Hallo Zodiak,
> In Ordnung.
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> Zu Zeigen:
> L [mm]\not= \emptyset[/mm]
> a, b [mm]\in[/mm] L : a+b in L
> [mm]\lambda,[/mm] a [mm]\in[/mm] L : [mm]\lambda \*[/mm] a [mm]\in[/mm] L
>
> Zuerst: L [mm]\not= \emptyset[/mm]
> Dies gilt sicherlich, da L =
> (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] und [mm]\IR \not= \emptyset[/mm] und somit auch L
> [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> (Hier weis ich jetzt schon das dies dem Tutor nicht als
> Beweis ausreicht, weil es ihm immer noch zu viel Text ist
> :P - der ist so)
Hier wird er nicht wegen des Textes meckern, sondern weil deine Begründung Unsinn ist.
Deiner Begründung nach wäre auch die Menge [mm] $S=\{(x,y)\in\IR^2\mid (x+y)^2=-1\}$ [/mm] nicht leer ...
Du musst die Argumentation schon mit der Eigenschaft, die L definiert, führen
Gib einfach ein Element aus der Menge $L$ an!
Da du weißt, dass jeder Vektorraum (und damit auch jeder UVR) den Nullvektor enthalten muss, prüfe nach, ob [mm] $(x,y)=(0,0)\in [/mm] L$ ist ...
>
> oder: Sei L = ( [mm]\emptyset[/mm] , [mm]\emptyset[/mm] )
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
was heißt denn das? $L$ ist doch eine Menge von Tupeln $(x,y)$, wobei die "Einträge" $x$ und $y$ reelle Zahlen sind, du schreibst hier ein Tupel von Mengen hin [mm] $(\emptyset,\emptyset)$
[/mm]
Das ist sicher kein Element von L (von [mm] $\IR^2$ [/mm] auch nicht!)
> ist ( [mm]\emptyset[/mm] ,
> [mm]\emptyset[/mm] ) [mm]\in \IR^{2}[/mm] , was ein Widerspruch ist.
>
> Danach: a, b [mm]\in[/mm] L : a+b in L
> Ähm ja... keine Ahnung ^^
Wieder mit der definierenden Eigenschaft von L argumentieren, das ist immer dasselbe Schema
Nimm dir ein Paar [mm] $(x,y)\in [/mm] L$ her, dann weißt du aufgrund der Definition von $L$, dass $ax+by=0$ gilt.
Dann nimm dir ein beliebiges [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] her und schaue, ob [mm] $\lambda(x,y)\in [/mm] L$ liegt
Wegen $ax+by=0$ ist sicher auch [mm] $\lambda(ax+by)=\lambda\cdot{}0$, [/mm] also [mm] $\lambda ax+\lambda [/mm] ay=0$, also [mm] $a(\lambda x)+b(\lambda [/mm] y)=0$, also [mm] $(\lambda x,\lambda y)=\lambda(x,y)\in [/mm] L$
Nun mache dich mal an die Abgeschlossenheit bzgl. "+"
Nimm dir $(x,y), [mm] (r,s)\in [/mm] L$ her, dh. .....
Dann ist $(x,y)+(r,s)=(x+r,y+s)$
Teste, ob das in L liegt ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 04.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Ok. L = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | ax+by=c } c=0
Habs mal abgekürzt.
Für Addition :
Es sei c,d,e,f [mm] \in \IR [/mm] ; x, y [mm] \in [/mm] L ; x=(c,d) und y=(e,f) . So gilt nach Definition (ac+bd) + (ae+bf) = 0 + 0 [mm] \gdw [/mm] ac+bd+ae+bf = 0 [mm] \gdw [/mm] a(c+e)+b(d+f) = 0. Also ist (c,d)+(e,f) = (c+e, d+f) [mm] \in [/mm] L und somit abgeschlossen Bezüglich der Addition q.e.d.
Das schaut ja schon viel besser aus ;) ... hoffe nur richtig :P aber jetz wirds bunt:
Für L [mm] \not= [/mm] 0 :
Es sei a,b,x,y [mm] \in \IR [/mm] mit ax+by = 0 . Dies trifft nur auf (0,0) [mm] \in [/mm] L zu , womit L [mm] \not= \emptyset[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok. L = [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} | ax+by=c \} [/mm] c=0
> Habs mal abgekürzt.
>
> Für Addition :
> Es sei c,d,e,f [mm]\in \IR[/mm] ; x, y [mm]\in[/mm] L ; x=(c,d) und y=(e,f)
> . So gilt nach Definition (ac+bd) + (ae+bf) = 0 + 0 [mm]\gdw[/mm]
> ac+bd+ae+bf = 0 [mm]\gdw[/mm] a(c+e)+b(d+f) = 0. Also ist
> (c,d)+(e,f) = (c+e, d+f) [mm]\in[/mm] L und somit abgeschlossen
> Bezüglich der Addition q.e.d.
Aha! Sehr gut!
>
> Das schaut ja schon viel besser aus ;) ... hoffe nur
> richtig :P aber jetz wirds bunt:
>
> Für L [mm]\not=[/mm] 0 :
> Es sei a,b,x,y [mm]\in \IR[/mm] mit ax+by = 0 . Dies trifft nur auf
> (0,0) [mm]\in[/mm] L zu , womit L [mm]\not= \emptyset[/mm]
Nein, andersherum argumentieren!
Es gilt insbesondere für den Nullvektor $(x,y)=(0,0)$, denn [mm] $a\cdot{}0+b\cdot{}0=0$, [/mm] also [mm] $(0,0)\in [/mm] L$, also [mm] $L\neq\emptyset$
[/mm]
Wenn die Bedingung $ax+by=0$ "nur" für den Nullvektor gelten würde, bestünde der Unterraum $L$ nur aus dem Nullvektor, das wäre ein bisschen wenig 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Do 04.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Vielen Dank.
Die einfache Lösung hab ich mir selbst schwer gemacht. :P
Und nächste Woche der Test... Mal gucken wie das wird.
thx
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