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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Do 29.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei [mm] A \in M_{mn}(K) [/mm] eine Matrix. Sei [mm] W=\{w \in K^m | [/mm] es gibt ein [mm] x \in K^n [/mm] mit [mm] Ax=w\} [/mm].
Beweisen Sie, dass W ein Unterraum von [mm] K^m [/mm] ist. |
Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo, ich muss erstmal die Frage verstehen, bevor ich die Aufgabe angehen kann. Ich versuche es mal, die Aufgabe in eigene Worte zu fassen:
W ist eine Menge von Vektoren( Matrixzeilen), die sich aus einem Vielfachen einer Matrixspalte ergeben.
Das verstehe ich nicht, das stimmt wahrscheinlich nicht.
Aber was ist dann richtig ?
Danke für eure Hilfe, Susanne.
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> Sei K ein Körper und sei [mm]A \in M_{mn}(K)[/mm] eine Matrix. Sei
> [mm]W=\{w \in K^m |[/mm] es gibt ein [mm]x \in K^n[/mm] mit [mm]Ax=w\} [/mm].
>
> Beweisen Sie, dass W ein Unterraum von [mm]K^m[/mm] ist.
> W ist eine Menge von Vektoren( Matrixzeilen), die sich aus
> einem Vielfachen einer Matrixspalte ergeben.
> Das verstehe ich nicht, das stimmt wahrscheinlich nicht.
Hallo,
A ist eine mxn-Matrix, folglich muß x Spaltenvektor sein mit n Einträgen und w ist, wie in der Aufgabenstellung vermerkt, ein Spaltenvektor mit m Einträgen.
A ist die darstellende Matrix einer linearen Abbildung f: [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] mit [mm] f_A(x):=A*x [/mm] für alle [mm] x\in \IR^n.
[/mm]
In Deiner Menge W sind nun sämtliche Vektoren w, die durch die Abbildung [mm] f_A [/mm] "getroffen" werden, also Bild f bzw. Bild A.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 29.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
wieder einmal vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
> A ist eine mxn-Matrix, folglich muß x Spaltenvektor sein
> mit n Einträgen und w ist, wie in der Aufgabenstellung
> vermerkt, ein Spaltenvektor mit m Einträgen.
>
> A ist die darstellende Matrix einer linearen Abbildung f:
> [mm]\IR^n \to \IR^m[/mm] mit [mm]f_A(x):=A*x[/mm] für alle [mm]x\in \IR^n.[/mm]
>
> In Deiner Menge W sind nun sämtliche Vektoren w, die durch
> die Abbildung [mm]f_A[/mm] "getroffen" werden, also Bild f bzw. Bild
> A.
Ich fürchte, ich verstehe das immer noch nicht:
Mal angenommen, ich habe eine 3x5 Matrix.
x ist ein Spaltenvektor mit beliebigen 5 Einträgen. Den multipliziere ich mit der Matrix und erhalte einen Vektor mit 3 Einträgen. Das verstehe ich noch. Aber diese Vektoren w haben doch nichts gemeinsam, da ich beliebige Zahlen multipliziere und addiere. Dadurch erreiche ich doch keine Einschränkung.
Was habe ich übersehen ?
Vielen Dank, Susanne.
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> Ich fürchte, ich verstehe das immer noch nicht:
> Mal angenommen, ich habe eine 3x5 Matrix.
> x ist ein Spaltenvektor mit beliebigen 5 Einträgen. Den
> multipliziere ich mit der Matrix und erhalte einen Vektor
> mit 3 Einträgen. Das verstehe ich noch.
gUT.
Aber diese Vektoren
> w haben doch nichts gemeinsam, da ich beliebige Zahlen
> multipliziere und addiere.
Welche Vektoren w überhaupt vorkommen, hängt ganz stark v. der Matrix A ab.
Das Bild v. A umfaßt nicht unbedingt den kompletten [mm] \IR^m. [/mm] Aber ein VR ist es in jedem Fall, und das zu zeigen ist Deine Aufgabe.
Die 0 ist ja unter Garantie drin.
Nun mußt Du Dir als nächstes überlegen, warum aus v,w [mm] \in [/mm] W folgt: [mm] v+w\in [/mm] W.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 29.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
Ah, jetzt ist der Groschen gefallen.
Vielen, vielen Dank nochmal !
LG, Susanne.
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