Unterraum, Dimension & Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Gegeben sind die drei Vektoren v1 = [mm] (-1,4,5)^T, [/mm] v2 = [mm] (3,2,2)^T, [/mm] v3 = (1,10,a=^T mit a [mm] \in \IR [/mm] und der von ihnen aufgespannten Unterraum U=[v1,v2,v3].
a) Bestimmen sie die Dimension von U in Abhängigkeit von a. |
| Aufgabe 2 | | b) Sei a=12. Geben sie die Basis von U an. |
zu a)
v1 = Ortsvektor
b = [mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ 5} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
c = [mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ 5} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 10 \\ a} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -6 \\ 5-a}
[/mm]
U = [mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ 5} [/mm] + s [mm] \vektor{-4 \\ 2 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{-2 \\ -6 \\ 5-a}
[/mm]
Muss ich jetzt einfach prüfen ob v1, v2 & v3 linear unabhängig sind oder dann ist? Also für welches a [mm] \lambda=0 [/mm] ist?
zu b)
Muss ich hier einfach zeigen das für a=12 die 3 Vektoren linear unabhängig sind ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die drei Vektoren v1 = [mm](-1,4,5)^T,[/mm] v2 =
> [mm](3,2,2)^T,[/mm] v3 = (1,10,a=^T mit a [mm]\in \IR[/mm] und der von ihnen
> aufgespannten Unterraum U=[v1,v2,v3].
>
> a) Bestimmen sie die Dimension von U in Abhängigkeit von
> a.
> b) Sei a=12. Geben sie die Basis von U an.
> zu a)
> v1 = Ortsvektor
Hä ??
> b = [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ 5}[/mm] - [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{-4 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> c = [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ 5}[/mm] -
> [mm]\vektor{1 \\ 10 \\ a}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -6 \\ 5-a}[/mm]
Was in aller Welt treibst Du eigentlich ?????
Das sieht mir nach Einer Ebebengleichung aus. Aber was soll das ???
FRED
>
> U = [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ 5}[/mm] + s [mm]\vektor{-4 \\ 2 \\ 3}[/mm] + t
> [mm]\vektor{-2 \\ -6 \\ 5-a}[/mm]
>
> Muss ich jetzt einfach prüfen ob v1, v2 & v3 linear
> unabhängig sind oder dann ist? Also für welches a
> [mm]\lambda=0[/mm] ist?
>
> zu b)
> Muss ich hier einfach zeigen das für a=12 die 3 Vektoren
> linear unabhängig sind ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Ich glaube das habe ich etwas komplett flasch verstanden. Dachte der Unterraum ist eine Ebene mit den 3 gegebenen Vektoren, da ein Unterraum ja selbst auch ein Vektorraum ist.
Hier mein Lösungsansatz
Dimension d von U = linaer unabhägige Vektoren
Muss ich jetzt alle 3 Vektoren einzeln miteinader vergleichen ob es ein vielfaches gibt.
Also z.B. v1 & v2:
[mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ 5} [/mm] = [mm] k\vektor{3 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
beim "ersten" -> k = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
beim "zweiten" -> k = 2
beim "dritten" -> k = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
also nicht linear unabhängig.
bei v1 mit v3:
[mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ 5} [/mm] = [mm] k\vektor{1 \\ 10 \\ a}
[/mm]
1 -> k=-1
2 -> k= [mm] \bruch{2}{5} [/mm] hier schon klar nicht linear unabhängig
bei v2 mit v3:
[mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2} [/mm] = [mm] k\vektor{1 \\ 10 \\ a}
[/mm]
1 -> k=3
2 -> [mm] k=\bruch{1}{5} [/mm] hier schon wieder vorbei. Nicht linear unabhängig
Würde ja bedeuten des die Dimension = 0 wäre.
Allein schon wegen meinem Ergebnis denke ich mal mein Ansatz ich völlig falsch, richtig ?
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> Ich glaube das habe ich etwas komplett flasch verstanden.
> Dachte der Unterraum ist eine Ebene mit den 3 gegebenen
> Vektoren, da ein Unterraum ja selbst auch ein Vektorraum
> ist.
Hallo,
Du betrachtest den Unterraum U, welcher von den drei Vektoren [mm] v_1 v_2, v_3 [/mm] erzeugt wird.
Du sollst sagen, welche Dimension dieser Raum hat.
[mm] (v_1 v_2, v_3) [/mm] ist ein Erzeugendensystem.
Man weiß: jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
Man kann die Dimension also finden, indem man aus [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] eine Basis herausfischt.
Beginne mit [mm] v_1=\vektor{-1 \\ 4 \\ 5}.
[/mm]
Dieser Vektor ist linear unabhängig.
Jetzt nehmen wir [mm] v_2 [/mm] dazu und prüfen [mm] (v_1, v_2) [/mm] auf lineare Unabhängigkeit, indem wir gucken, ob die Gleichung
[mm] r*v_1+s*v_2=0 [/mm] nur die Lösung r=s=0 hat.
Ergebnis: ja sie sind linear unabhängig.
Jetzt kommt der nächste Vektor dazu.
Prüfe, ob [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig ist, indem Du schaust, ob
[mm] rv_1+sv_2+tv_3=0 [/mm] nur die Lösung r=s=t=0 hat.
Das Ergebnis wird von a abhängen.
>
> Hier mein Lösungsansatz
> Dimension d von U = linaer unabhägige Vektoren
> Muss ich jetzt alle 3 Vektoren einzeln miteinader
> vergleichen ob es ein vielfaches gibt.
> Also z.B. v1 & v2:
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ 5}[/mm] = [mm]k\vektor{3 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> beim
> "ersten" -> k = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
> beim "zweiten" -> k = 2
> beim "dritten" -> k = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>
> also nicht linear unabhängig.
[mm] Blödsinn^3!!!
[/mm]
Du Du hast doch gerade festgestellt, daß Du [mm] v_2 [/mm] nicht als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] schreiben kannst.
Und enn Du das auch noch prüfen würdest, ürdest Du merken, daß Du auch nicht [mm] v_2 [/mm] als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] schreiben kannst.
Also linear unabhängig.
Aber mach Dir besser das von mir oben genannte Kriterieum zu eigen:
[mm] v_1, v_2 [/mm] sind linear unabhängig
>==> [mm] rv_1+sv_2=0 [/mm] hat nur die Lösung r=s=0.
(Für mehr Vektoren entsprechend.)
LG Angela
>
> bei v1 mit v3:
> [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ 5}[/mm] = [mm]k\vektor{1 \\ 10 \\ a}[/mm]
> 1 -> k=-1
> 2 -> k= [mm]\bruch{2}{5}[/mm] hier schon klar nicht linear
> unabhängig
>
> bei v2 mit v3:
> [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 2}[/mm] = [mm]k\vektor{1 \\ 10 \\ a}[/mm]
> 1 -> k=3
> 2 -> [mm]k=\bruch{1}{5}[/mm] hier schon wieder vorbei. Nicht
> linear unabhängig
>
> Würde ja bedeuten des die Dimension = 0 wäre.
> Allein schon wegen meinem Ergebnis denke ich mal mein
> Ansatz ich völlig falsch, richtig ?
>
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