Unterraum Beweis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Jonny86 |
| Aufgabe | | U={x [mm] \in \IR³ [/mm] : [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}^{3} [/mm] } |
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich dem Beweis des Unterraums.
Laut Lösung ist dies kein Unterraum .
Wenn ich aber selbst alle Kriterien überprüfe erhalte ich folgendes:
1. Der Nullvektor ist Element vom Unterraum.
2. für alle x,y [mm] \in [/mm] U gilt auch x+y [mm] \in [/mm] U
3. für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] U gilt auch [mm] \lambda*x \in [/mm] U.
Der Fehler liegt anscheinend in der 3.Bedingung, diese ist laut Lösung nämlich nicht erfüllt, leider weiß ich nicht wie ich das anders beweisen kann.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jonny86,
> [mm] $U=\{x\in \IR^3 : x_{1}=x_{2}^{3}\}$
[/mm]
> Hallo,
> ich habe eine Frage bezüglich dem Beweis des Unterraums.
> Laut Lösung ist dies kein Unterraum .
>
> Wenn ich aber selbst alle Kriterien überprüfe erhalte ich
> folgendes:
> 1. Der Nullvektor ist Element vom Unterraum.
> 2. für alle x,y [mm]\in[/mm] U gilt auch x+y [mm]\in[/mm] U
> 3. für alle [mm]\lambda \in \IR[/mm] und alle x [mm]\in[/mm] U gilt auch
> [mm]\lambda*x \in[/mm] U.
>
> Der Fehler liegt anscheinend in der 3.Bedingung
Ja, aber auch die 2.Bedingung für einen Unterraum ist nicht erfüllt
> , diese ist
> laut Lösung nämlich nicht erfüllt, leider weiß ich nicht
> wie ich das anders beweisen kann.
Was meinst du mit "anders beweisen"? Wenn eines der obigen 3 Kriterien nicht erfüllt ist, ist $U$ kein Unterraum des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Die zu widerlegende Aussage in (3) ist ja eine "Allaussage":
Für alle [mm] $\lambda$ [/mm] und alle [mm] $x\in [/mm] U$ ist [mm] $\lambda\cdot{}x\in [/mm] U$
Es genügt also vollkommen, ein einziges Gegenbsp. anzugeben, für das die obige Allaussage nicht erfüllt ist, dann ist sie widerlegt
Ein solches konstruiert man sich möglichst einfach:
Wir suchen ein [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und ein [mm] $x\in [/mm] U$, so dass [mm] $\lambda\cdot{}x\notin [/mm] U$ ist
Nehmen wir den Vektor [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{8\\2\\0}$
[/mm]
Der ist in $U$, denn offensichtlich ist [mm] $8=2^3$, [/mm] also [mm] $x_1=x_2^3$
[/mm]
Dazu nehmen wir [mm] $\lambda=2$
[/mm]
Dann ist [mm] $\lambda\cdot{}x=2\cdot{}\vektor{8\\2\\0}=\vektor{16\\4\\0}$
[/mm]
Ist der in $U$?
Wohl kaum, denn [mm] $16\neq 4^3$
[/mm]
Dasselbe Gegenbsp. funktioniert aber auch, um (2) zu widerlegen:
Wähle [mm] $x=y=\vektor{8\\2\\0}\in [/mm] U$
Dann ist [mm] $x+y=\vektor{8\\2\\0}+\vektor{8\\2\\0}=\vektor{16\\4\\0}\notin [/mm] U$
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Jonny86 |
| Aufgabe | U={ x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] x_{1}- 2x_{2}+ 3x_{3}= [/mm] 0
[mm] x_{2}+ 2x_{3}= [/mm] 0 } |
Hey vielen Dank für deine Antwort, habs jetzt echt gut verstanden mit den Beispielen.
Ich habe nun noch ne andere Frage, wollte nicht extra ein neues Thema eröffnen.
Ich soll aus dem obigen Unterraum die Basis bilden:
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß was ich mit den 2 Funktionen machen soll. Soll ich die vorher addieren oder eine in die andere einsetzen bevor ich die Basis bilde? Wie geht man hier vor?
Danke
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Hallo nochmal,
> [mm] $U=\{x\in\IR^{\red{3}} : x_{1}- 2x_{2}+ 3x_{3}=0 \ \wedge \ x_{2}+ 2x_{3}=0\}$
[/mm]
> Hey vielen Dank für deine Antwort, habs jetzt echt gut
> verstanden mit den Beispielen.
>
> Ich habe nun noch ne andere Frage, wollte nicht extra ein
> neues Thema eröffnen.
> Ich soll aus dem obigen Unterraum die Basis bilden:
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß was ich mit den 2
> Funktionen machen soll. Soll ich die vorher addieren oder
> eine in die andere einsetzen bevor ich die Basis bilde? Wie
> geht man hier vor?
Davon, dass das Biest tatsächlich ein Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, hast du dich überzeugt?
Nun, dann versuche mal, einen allg. Vektor [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in [/mm] U$ anzugeben.
Löse dazu das Gleichungssystem, das durch die beiden Bedingungen an die [mm] $x_i$ [/mm] gegeben ist.
Zwei Gleichungen in 3 Unbekannten, da wirst du einen freien Parameter haben, den du belegen kannst und die anderen Variablen dann abh. davon ausdrücken können
Beginne mal damit, die zweite Gleichung nach [mm] $x_2$ [/mm] aufzulösen und setze das in die erste Gleichung ein.
Dann bekommst du [mm] $x_1, x_2$ [/mm] in [mm] $x_3$ [/mm] ausgedrückt und kannst einen allg. Vektor [mm] $x\in [/mm] U$ nur in [mm] $x_3$ [/mm] darstellen.
Dann kannst du die (eine) Basis ablesen ...
Gruß
schachuzipus
>
> Danke
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