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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Di 24.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper.Betrachte [mm] V=End_{K}(K^{2}) [/mm] als K-Vektorraum.
Man beweise, dass [mm] U=\{f \in V| f(e_{1})=0\} [/mm] ein Unterraum von V ist.
Man bestimme dim(V/U) und eine Basis von V/U. |
Hallo zusammen^^
Ich habe ein paar Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Das mit Unterraum ist nicht so schwer.
1. Die Nullabbildung [mm] f:K^{2} \to [/mm] 0 liegt in U da [mm] f(e_{1})=0.
[/mm]
2. Es ist [mm] f(e_{1})=0, [/mm] also [mm] r*f(e_{1})=0=f(r*e_{1}), [/mm] da f linear ist, r [mm] \in [/mm] K. Also liegt auch r*f in U.
3. zz: [mm] f_{1}+f_{2} \in [/mm] U. Es ist [mm] f_{1}(e_{1})+f_{2}(e_{1})=0+0=0. [/mm] Also liegt auch [mm] f_{1}+f_{2} [/mm] in U.
Damit ist U ein Unterraum.
Ich würde jetzt zuerst eine Basis von V/U bestimmen und dann hätte ich die Dimension. V/U sind erstmal alle Endomorphismen die von [mm] K^{2} [/mm] in [mm] K^{2} [/mm] gehen und für die [mm] f(e_{1}) \not=0 [/mm] ist.
Die Frage ist jetzt, wie kann man diese erzeugen? Ich brauche auf jeden Fall mindestens einen Endomorphismus [mm] f:K^{2} \to K^{2}.
[/mm]
Vielleicht ist es doch logischer zuerst die Dimension zu bestimmen, dann weiß ich wie viel Basiselemente ich brauche.
Aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich die Dimension von V/U bestimmen soll. Vielleicht mit dem Dinemsionssatz für f, der besagt, dass dim [mm] K^{2}=dim [/mm] kerf+dim Bild f. Und e1 liegt schonmal im Kern. Das heisst
2=dim kerf+dim Bild f. Aber ueber das Bild von f in U kann man nicht viel aussagen.
Anders weiss ich nicht,wie ich an die Aufgabe rangehen koennte.
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank
lg
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> Seien K ein Körper.Betrachte [mm]V=End_{K}(K^{2})[/mm] als
> K-Vektorraum.
> Man beweise, dass [mm]U=\{f \in V| f(e_{1})=0\}[/mm] ein Unterraum
> von V ist.
> Man bestimme dim(V/U) und eine Basis von V/U.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe ein paar Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Das
> mit Unterraum ist nicht so schwer.
>
> 1. Die Nullabbildung [mm]f:K^{2} \to[/mm] 0 liegt in U da
> [mm]f(e_{1})=0.[/mm]
Hallo,
ich glaube, Du wolltest sagen:
die Nullabbildung [mm] f:K^2\to K^2 [/mm] mit f(v):=0 für alle [mm] v\in K^2 [/mm] ist in U, denn es ist [mm] f(e_1)=0.
[/mm]
>
> 2. Es ist [mm]f(e_{1})=0,[/mm] also [mm]r*f(e_{1})=0=f(r*e_{1}),[/mm] da f
> linear ist, r [mm]\in[/mm] K. Also liegt auch r*f in U.
Da hat durchaus richtige Bestandteile, die Argumentation allerdings schmeckt mir nicht so recht - insbesondere brauchen wir keine Linearität:
zu zeigen ist, daß für [mm] r\in [/mm] K und für [mm] f\in [/mm] U auch die Funktion rf in U ist.
Es ist [mm] (rf)(e_1)=r*f(e_1)=r*0=0, [/mm] also ist [mm] rf\in [/mm] U.
>
> 3. zz: [mm]f_{1}+f_{2} \in[/mm] U. Es ist
[mm] (f_1+f_2)(e_1)=
[/mm]
> [mm]f_{1}(e_{1})+f_{2}(e_{1})=0+0=0.[/mm] Also liegt auch
> [mm]f_{1}+f_{2}[/mm] in U.
Ja.
>
> Damit ist U ein Unterraum.
Genau.
>
> Ich würde jetzt zuerst eine Basis von V/U bestimmen und
> dann hätte ich die Dimension. V/U sind erstmal alle
> Endomorphismen die von [mm]K^{2}[/mm] in [mm]K^{2}[/mm] gehen und für die
> [mm]f(e_{1}) \not=0[/mm] ist.
Moment! Du solltest mal nachschauen, wie V/U definiert ist.
Die Elemente von V/U sind keine Endomorphismen, sondern es sind Mengen, die Endomorphismen enthalten.
> Vielleicht ist es doch logischer zuerst
> die Dimension zu bestimmen, dann weiß ich wie viel
> Basiselemente ich brauche.
Möglicherweise war bereits dran, daß dimV=dimU + dimV/U.
Ich halte es für sehr klug, erstmal eine Basis von V und von U zu bestimmen, und nicht gleich über eine Basis von V/U nachzudenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Angela,
> Möglicherweise war bereits dran, daß dimV=dimU + dimV/U.
Ja genau.
Ich glaube ich habs hingekriegt.Ist V/U zufällig zweidimensional?
Wenn nicht, dann poste ich nochmal meine Schritte.
Vielen Dank
lg
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> Hallo Angela,
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> > Möglicherweise war bereits dran, daß dimV=dimU + dimV/U.
>
> Ja genau.
>
> Ich glaube ich habs hingekriegt.Ist V/U zufällig
> zweidimensional?
Hallo,
zufällig ist das nicht, aber zweidimensional.
Gruß v. Angela
>
> Wenn nicht, dann poste ich nochmal meine Schritte.
>
> Vielen Dank
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
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> > Hallo Angela,
> >
> > > Möglicherweise war bereits dran, daß dimV=dimU + dimV/U.
> >
> > Ja genau.
> >
> > Ich glaube ich habs hingekriegt.Ist V/U zufällig
> > zweidimensional?
>
> Hallo,
>
> zufällig ist das nicht, aber zweidimensional.
>
Hmm, zufällig wird das wohl wirklich nicht sein, aber gut 
Danke für die Bestätigung.
lg
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