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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Fudel |
| Aufgabe | a.) Für welche Werte von c ist der Vektor (c;-5;4) Linearkombination von (7;5;3) und (-3;1;2), für welche nicht.
b.) In welchen Fällen handelt es sich bei den Mengen
{(0;0;1)+α*(7;5;3)+β*(-3;1;2)+γ*(c;-5;4), α,β,γ Element von R} und
{(4;6;5)+α*(7;5;3)+β*(-3;1;2)+γ*(c;-5;4), α,β,γ Element von R}
um Unterräume des R³? Was stellen die Mengen geometrisch dar? |
Also Aufgabe a habe ich bereits gelöst und bin auf den Wert c=-29 gekommen. (Mit Hilfe eines LGS.)
Bei Aufgabe b setze ich jetzt c in den Vektor mit c ein, weiß aber nicht wie ich nun an die aufgabe herangehen soll. Ich hätte mt einem LGS angefangen, weiß aber nicht, ob mich das weiter bringt.
Würde mich über Hilfe freuen. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
ist U ein Unterraum von [mm] \IR^3 [/mm] und v [mm] \in \IR^3 [/mm] und
W = {v+u: u [mm] \in [/mm] U},
so gilt (Beweis !): W ist ein Unterraum des [mm] \IR^3 \gdw [/mm] v [mm] \in [/mm] U
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:02 Do 03.12.2009 | | Autor: | Fudel |
Sorry, aber leider nicht. Die Aufgabe ist wirklich unverständlich für mich.
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> a.) Für welche Werte von c ist der Vektor (c;-5;4)
> Linearkombination von (7;5;3) und (-3;1;2), für welche
> nicht.
>
> b.) In welchen Fällen handelt es sich bei den Mengen
>
> {(0;0;1)+α*(7;5;3)+β*(-3;1;2)+γ*(c;-5;4), α,β,γ
> Element von R} und
> {(4;6;5)+α*(7;5;3)+β*(-3;1;2)+γ*(c;-5;4), α,β,γ
> Element von R}
> um Unterräume des R³?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eine wichtige Bedingung für Unterräume ist, daß die Null drinliegt.
Du kannst Dir bei Deinen Mengen überlegen, daß das nur der Fall ist, wenn man [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] bzw. [mm] \vektor{4\\5\\6} [/mm] als Linearkombination der drei Vektoren schreiben kann.
In a) hast Du (vielleicht ohne es zu merken?) festgestellt, daß für [mm] c\not=-29 [/mm] die drei Vektoren linear unabhängig sind. Sie spannen also den kompletten [mm] \IR^3 [/mm] auf, und somit sind die beiden Vektoren [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] bzw. [mm] \vektor{4\\5\\6} [/mm] ganz sicher im Span der drei Vektoren, und es sind die fraglichen Unterräume [mm] =\IR^3.
[/mm]
Bleibt nun der Fall c=-29 zu untersuchen.
Wie gesagt: ohne den Nullvektor spielt sich überhaupt nichts ab, da kann man "Unterraum" schnell begraben.
Wenn die Null drin ist, dann mußt Du Dir überlegen, warum es ein Unterraum ist.
Ob die Null drin ist, erfährst Du, indem Du feststellst, ob (0;0;1)+α*(7;5;3)+β*(-3;1;2)+γ*(c;-5;4)=(0,0,0) eine Lösung hat, die andere entsprechend.
> Was stellen die Mengen geometrisch
> dar?
So viel kommt hier nicht infrage:
Da (7;5;3) und (-3;1;2) offensichtlich linear unabhängig sind, bleiben diese Fälle.
Unterräume:
1. der ganze [mm] \IR^3 [/mm]
2. Ebene durch den Ursprung
oder
3. Ebene, die nicht durch den Ursprung geht
Gruß v. Angela
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