Unterräume, Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 29.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo!!
Meine Frage:
Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K. Für welche Untervektorräume U [mm] \subset [/mm] V gibt es einen Endomorphismus [mm] \gamma [/mm] : V --> V mit
[mm] ker(\gamma) [/mm] = [mm] im(\gamma) [/mm] = U?
Meine Idee:
Da V ein endlich dimensionaler Vektorraum ist, kann ich die Dimensionsformel verwenden (??)
also dim [mm] ker(\gamma) [/mm] + dim [mm] im(\gamma) [/mm] = dim V
Muss ich bei dieser Aufgabe die Inklusionen zeigen?? Also [mm] ker(\gamma) \subset [/mm] U und U [mm] \subset ker(\gamma) [/mm] usw.
Oder bin ich total auf dem Holzweg?? Gefragt ist ja nach den Untervektorräumen, für die diese Beziehung gilt. Ist dies für die Leere Menge oder für U = V der Fall?? *großes Fragezeichen*
Liebe Grüße,
Monschn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Di 29.11.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K. Für
> welche Untervektorräume U [mm]\subset[/mm] V gibt es einen
> Endomorphismus [mm]\gamma[/mm] : V --> V mit
> [mm]ker(\gamma)[/mm] = [mm]im(\gamma)[/mm] = U?
>
>
> Meine Idee:
> Da V ein endlich dimensionaler Vektorraum ist, kann ich
> die Dimensionsformel verwenden (??)
> also dim [mm]ker(\gamma)[/mm] + dim [mm]im(\gamma)[/mm] = dim V
das ist auf jeden fall schonmal eine sehr gute itdee die dimensionsformel anzuwenden. was folgt denn nun aus [mm] $\ker \gamma [/mm] = [mm] \text{im} \, \gamma$ [/mm] für die zugehörigen dimensionen und wenn man dies in die dimensionsformel anwendet? kann es solch einen unterraum etwa im [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] oder in [mm] $\mathbb{R}^4$ [/mm] geben?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 29.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Die Anzahl der Elemente, die im Kern sind und die Anzahl der Elemente, die im Bild von [mm] \gamma [/mm] sind, sind gleich der Dimension des Unterraums.
Wenn nun ker [mm] (\gamma) [/mm] = [mm] im(\gamma) [/mm] ist, dann sind diese beiden Mengen gleich, sprich sie haben die gleiche Mächtigkeit und somit die gleiche Dimension?!?
Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Mi 30.11.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Die Anzahl der Elemente, die im Kern sind und die Anzahl
> der Elemente, die im Bild von [mm]\gamma[/mm] sind, sind gleich der
> Dimension des Unterraums.
nicht wirklich. bei dimensionsbetrachtungen zählst du ja nicht die elemente, so hat ja der [mm] $\mathbb{R}$-vektorraum $\mathbb{R}^1$ [/mm] unendlich viele elemente, aber dennoch nur dimension 1.
> Wenn nun ker [mm](\gamma)[/mm] = [mm]im(\gamma)[/mm] ist, dann sind diese
> beiden Mengen gleich, sprich sie haben die gleiche
> Mächtigkeit und somit die gleiche Dimension?!?
das die beiden untervektorräume gleiche dimension haben, also dass gilt [mm] $\dim \ker \gamma [/mm] = [mm] \dim \textrm{im} \, \gamma$ [/mm] ist schon mal eine sehr gute idee. setze das doch mal in die dimensionsformel ein, also ersetze dort zum beispiel [mm] $\dim \textrm{im} \, \gamma$ [/mm] durch [mm] $\dim \ker \gamma$, [/mm] was kann man dann aussagen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo Andreas
gut, wenn ich dim [mm] im(\gamma) [/mm] durch dim [mm] ker(\gamma) [/mm] in der Dimensionsformel ersetze, erhalte ich:
dim [mm] ker(\gamma) [/mm] + dim [mm] ker(\gamma) [/mm] = dim V
--> 2 dim [mm] ker(\gamma) [/mm] = dim V
--> dim [mm] ker(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dim V
Die Dimension des Kerns ist also halb so groß wie die Dimension des Vektorraums.
Was bedeutet das aber für meinen Untervektorraum U, der gleich dem [mm] Ker(\gamma) [/mm] sein soll?
dim U = 1/2 dim V ???? bringt mir das was??
Ich versteh leider nicht ganz, was die Dimensionen mit den Unterräumen U zu tun haben soll, für die es einen Endomorphismus gibt, so dass dann [mm] Ker(\gamma) [/mm] = [mm] im(\gamma) [/mm] = U gilt.
Liebe Grüßle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 02.12.2005 | | Autor: | felixf |
> gut, wenn ich dim [mm]im(\gamma)[/mm] durch dim [mm]ker(\gamma)[/mm] in der
> Dimensionsformel ersetze, erhalte ich:
> dim [mm]ker(\gamma)[/mm] + dim [mm]ker(\gamma)[/mm] = dim V
> --> 2 dim [mm]ker(\gamma)[/mm] = dim V
> --> dim [mm]ker(\gamma)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] dim V
>
> Die Dimension des Kerns ist also halb so groß wie die
> Dimension des Vektorraums.
>
> Was bedeutet das aber für meinen Untervektorraum U, der
> gleich dem [mm]Ker(\gamma)[/mm] sein soll?
>
> dim U = 1/2 dim V ???? bringt mir das was??
Nun, die Dimension ist immer eine ganze Zahl: das bedeutet also, dass dim V gerade sein muss, damit es ueberhaupt so ein U geben kann.
LG Felix
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