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| Aufgabe | | Es seien [mm] W_{1} [/mm] und [mm] W_{2} [/mm] Unterräume eines Vektorraums V. Zeige: [mm] W_{1} \cup W_{2} [/mm] ist ein Unterraum genau dann, wenn entweder gilt [mm] W_{1} \subseteq W_{2} [/mm] oder [mm] W_{2}\subseteq W_{1} [/mm] . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Beweis besteht ja aus zwei Teilen. Zuerst nehme ich dann, dass [mm] W_{1} \cup W_{2} [/mm] ein Unterraum ist und somit die 3 Axiome gelten (nichtleer, Summe und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen) und soll zeigen, dass entweder [mm] W_{1} [/mm] Teilmenge von [mm] W_{2} [/mm] ist oder umgekehrt. Und dann nehme ich an, dass die beiden eben genannten Teilmengebedingungen gelten und zeige, dass [mm] W_{1} \cup W_{2} [/mm] ein Unterraum ist.
könnte mir vllt jemand mit einem Ansatz helfen???!
Danke schon im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Gilt $ [mm] W_{1} \subseteq W_{2} [/mm] $ oder $ [mm] W_{2}\subseteq W_{1} [/mm] $, so ist $ [mm] W_{1} \cup W_{2} =W_1$ [/mm] oder $ [mm] W_{1} \cup W_{2}=W_2 [/mm] $
Sei jetzt $ [mm] W_{1} \cup W_{2} [/mm] $ ein Unterraum.
Nimm an [mm] W_{1} \subseteq W_{2} [/mm] gilt nicht und [mm] W_{2}\subseteq W_{1} [/mm] gilt auch nicht. Dann gibt es [mm] w_1, w_2 [/mm] mit:
[mm] w_1 \in W_1, w_2 \in W_2, w_1 \notin W_2 [/mm] und [mm] w_2 \notin W_1
[/mm]
Beschäftige Dich mit der Summe [mm] w_1+w_2
[/mm]
FRED
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