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| Aufgabe | Seien V ein Vektorraum und U und W Unterräume in V.
Zeigen Sie:
Ist V endlichdimensional und lässt sich schreiben als V=U+W, so existiert ein Unterraum W' [mm] \subset [/mm] W mit V = U [mm] \oplus [/mm] W' (direkte Summe).
(Hinweis: Basisergänzungssatz.) |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das löst??
Ich steh da irgendwie auf dem Schlauch.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien V ein Vektorraum und U und W Unterräume in V.
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> Zeigen Sie:
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> Ist V endlichdimensional und lässt sich schreiben als
> V=U+W, so existiert ein Unterraum W' [mm]\subset[/mm] W mit V = U
> [mm]\oplus[/mm] W' (direkte Summe).
>
> (Hinweis: Basisergänzungssatz.)
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das löst??
>
> Ich steh da irgendwie auf dem Schlauch.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dieses "stehe auf dem Schlauch", welches man hier im Forum immer wieder liest, gibt leider keinerlei Ansatzpunkte dafür, wo das Problem ist.
Was hast Du Dir den bisher überlegt?
Was bedeutet
V=U+W,
was ist mit [mm] V=U\oplus [/mm] W' gemeint?
Der Tipp ist eigentlich in der Aufgabe schon angegeben.
V, U, W sind Vektorräume, haben also Basen.
Gruß v. Angela
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Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit der Basis { [mm] v\U_{1} [/mm] ... [mm] v\U_{n} [/mm] } und U und W Unterräume von V.
Da V = U+ W folgt,
die Basis von U = { [mm] v\U_{1} [/mm] ... [mm] v\U_{i} [/mm] } und
die Basis von W = { [mm] v\U_{j} [/mm] ... [mm] v\U_{n} [/mm] }
Das bedeutet auch, dass dimV = dimU + dimW
Ist das soweit richtig und bringt mich das weiter ??
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> Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit der Basis { [mm] v\U_{1}... v\U_{n} [/mm] } und U und W Unterräume von V.
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> Da V = U+ W folgt,
>
> die Basis von U = { [mm] v\U_{1}... v\U_{i} [/mm] } und
> die Basis von W = { [mm] v\U_{j} [/mm] ... [mm] v\U_{n} [/mm] }
>
> Das bedeutet auch, dass dimV = dimU + dimW
Hallo,
nein, diese Gleichung stimmt nicht.
Beispiel:
[mm] V:=\IR^3
[/mm]
Basis von [mm] U=(\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0}),
[/mm]
Basis von [mm] W=(\vektor{1\\1\\1}, \vektor{2\\3\\0}
[/mm]
Überzeuge Dich davon, daß [mm] \IR^3=U+W.
[/mm]
Mitnichten ist aber die Dimension von [mm] \IR=4.
[/mm]
>
> Ist das soweit richtig und bringt mich das weiter ??
Es ist nicht richtig, sollte Dich aber insofern weiterbringen, als daß Du erkennen kannst, worum es geht.
Lös' die Aufgabe doch mal für dieses konkrete Beispiel, das allgemeine ist ein Klacks, wenn man die Aussage kapiert hat.
Ich hatte in meinem anderen Post ja schon nach der Def. der Summe und der direkten Summe gefragt, worauf Du nicht geantwortet hast - was nicht schlimm ist, denn ich weiß das schon. Aber stell sicher, daß Dir die Definitionen und Unterschiede zwischen beiden klar sind - sonst kann man die Aufgabe nicht lösen.
Gruß v. Angela
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