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| Aufgabe | Handelt es sich bei der vorliegenden Teilmenge um einen Unterraum von [mm] R^3?
[/mm]
U=(x Element [mm] R^3; [/mm] und [mm] X1^2= [/mm] X2 * X3
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Handelt es sich bei der vorliegenden Teilmenge um einen Unterraum von [mm] R^3?
[/mm]
U=(x Element [mm] R^3; [/mm] und [mm] X1^2= [/mm] X2 * X3
In der Lösung heißt es, daß
[mm] x=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] Element des Unterraums ist und
[mm] y=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] Element des Unterraums ist, aber weil
[mm] x+y=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] nicht Element des Unterraumes ist, also der Unterraum kein Unterraum von [mm] R^3 [/mm] ist;
Wie kommt man hier auf die Vektoren x und y, ausgehend von den Angaben der Fragestellung?
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Hallo Anaximander,
um zu zeigen, dass es sich bei einer gegebenen Menge um einen Unterraum handelt oder nicht, muss man entweder zeigen, dass die Menge die Unterraumaxioma erfüllt (vor allem Abgeschlossenheit gegeüber Multiplikation/Addition) oder man findet ein schnelles Gegenbeispiel.
Der Wortlaut in der Lösung ist vllt ein wenig komisch gewählt.
Im Prinzip hat man hier nur ein wahnsinnig einfaches Gegenbeispiel gefunden.
Die Vektoren [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \in [/mm] U (denn [mm] 0^2=1*0 [/mm] und [mm] 0^2=0*1)
[/mm]
Nach Unterraumaxiomen müsste nun auch deren Summe in U enthalten sein, aber die Summe beider Vektoren liegt nicht drinne (denn [mm] 0^2\not=1*1), [/mm] somit kann U kein Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] sein.
lg Kai
Ps.: Im Prinzip gehen hier 2 beliebige Vektoren, solange du zu einem Widerspruch kommst. Die kanonischen Basen zu nehmen bietet sich oft an, aber in diesem Falle wären viele Möglichkeiten richtig gewesen.
Das hier war nur ein Beispiel von vielen.
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Vielen Dank für deine sehr gute und vor allem sehr verständliche Erklärung, Kai. So würde ich es mir immer wünschen, verständlich und zur Sicherheit etwas ausführlicher als zu knapp.
Bitte weiter so.
Viele Grüße
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