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| Aufgabe | Gegeben ist die Menge U [mm] \subset \IR^{3} [/mm] der Vektoren der Form
[mm] \vektor{x + y \\ 3x + 4y \\ x - 2y}
[/mm]
mit x, y [mm] \in \IR^{3}
[/mm]
Zeigen Sie, dass U ein Unterraum des [mm] \IR^{3} [/mm] ist. |
Hallo, liebe Leute! =)
Ich möchte beweisen, dass obiger Vektor einen Unterraum des [mm] \IR^{3} [/mm] darstellt.
Ich weiss bereits, dass der Vektor dazu die 3 Unterraumkriterien erfüllen muss, welche da wären:
1. 0 muss [mm] \in [/mm] von U sein.
2. wenn u, v [mm] \in [/mm] U, dann muss u + v ebenfalls [mm] \in [/mm] U sein.
3. [mm] \lambda \in [/mm] K; u [mm] \in [/mm] U, dann muss [mm] \lambda [/mm] * u ebenfalls [mm] \in [/mm] U sein.
Meine Frage ist nun:
Wie schreibe ich den Beweis möglichst einfach hin und der Klausurkorrigierer ist trotzdem zufrieden?
(U1) würde ich so darstellen:
x,y = 0
[mm] \vektor{0 + 0 \\ 3*0 + 4*0 \\ 0 - 2*0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0 \\0}
[/mm]
(U1) ist erfüllt.
(U2)(hier verlassen mich so ein wenig die Geister):
könnte ich schreiben:
u =: x = 1, y = 1
v =: x = 1, y = 2
[mm] \vektor{1 + 1 \\ 3 + 4 \\ 1 - 2}+\vektor{1 + 2 \\ 3 + 8 \\ 1 - 4}
[/mm]
= [mm] \vektor{5 \\ 18 \\ -4}
[/mm]
[mm] \vektor{5 \\ 18 \\ -4} \in [/mm] U
sieht irgendwie blöd aus.. oder kann ich auch zB
u =: x = a, y = b
v =: x = c, y = d
definieren und damit dann eine addition durchführen und zeigen, dass das resultat u+v ist??
(U3):
ginge das so:
[mm] \lambda \vektor{x + y \\ 3x + 4y \\ x - 2y} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda x + \lambda y \\ 3\lambda x + 4\lambda y \\ \lambda x - 2\lambda y}
[/mm]
und fertig?
bin mir irgendwie unsicher, was genau ich schreiben muss um letztendlich den beweis zu liefern...
würden hier von mir abgegebene Lösungsvorschläge als Beweis gelten?
Was muss letztenendes genau im Beweis drin stehn?
thx4help
Yuffie =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo yuffie,
> Gegeben ist die Menge U [mm]\subset \IR^{3}[/mm] der Vektoren der
> Form
>
> [mm] $\red{\left\{}\vektor{x + y \\ 3x + 4y \\ x - 2y} \mid x, y \in \IR^{\blue{3}}\red{\right\}}$
[/mm]
wohl eher [mm] $x,y\in\IR$, [/mm] das sind doch "nur" die Einträge in den drei Komponenten des Vektors, und das sind reelle Zahlen!
>
> Zeigen Sie, dass U ein Unterraum des [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
> Hallo, liebe Leute! =)
>
> Ich möchte beweisen, dass obiger Vektor Menge einen Unterraum des
> [mm]\IR^{3}[/mm] darstellt.
> Ich weiss bereits, dass der Vektor dazu die 3
> Unterraumkriterien erfüllen muss, welche da wären:
>
> 1. 0 muss [mm]\in[/mm] von U sein.
> 2. wenn u, v [mm]\in[/mm] U, dann muss u + v ebenfalls [mm]\in[/mm] U sein.
> 3. [mm]\lambda \in[/mm] K; u [mm]\in[/mm] U, dann muss [mm]\lambda[/mm] * u ebenfalls
> [mm]\in[/mm] U sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Meine Frage ist nun:
> Wie schreibe ich den Beweis möglichst einfach hin und der
> Klausurkorrigierer ist trotzdem zufrieden?
>
> (U1) würde ich so darstellen:
> x,y = 0
und z=0, es muss ja der Nullvektor des [mm] $\IR^3$, [/mm] also [mm] $\vec{0}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] in U sein! [mm] ($U\subset\IR^3$ [/mm] !!)
>
> [mm]\vektor{0 + 0 \\ 3*0 + 4*0 \\ 0 - 2*0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\0 \\0}[/mm]
>
> (U1) ist erfüllt.
ja, ein wenig schwammig aufgeschrieben, aber ok
>
> (U2)(hier verlassen mich so ein wenig die Geister):
> könnte ich schreiben:
> u =: x = 1, y = 1
> v =: x = 1, y = 2
>
> [mm]\vektor{1 + 1 \\ 3 + 4 \\ 1 - 2}+\vektor{1 + 2 \\ 3 + 8 \\ 1 - 4}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{5 \\ 18 \\ -4}[/mm]
>
> [mm]\vektor{5 \\ 18 \\ -4} \in[/mm] U
>
> sieht irgendwie blöd aus.. oder kann ich auch zB
> u =: x = a, y = b
> v =: x = c, y = d
> definieren und damit dann eine addition durchführen und
> zeigen, dass das resultat u+v ist??
Du darfst nicht spezialisieren, du musst schon allgemeine Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b}\in [/mm] U$ hernehmen, die haben ja die Gestalt [mm] $\vec{a}=\vektor{x_1+y_1\\3x_1+4y_1\\x_1-2y_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}=\vektor{x_2+y_2\\3x_2+4y_2\\x_2-2y_2}$
[/mm]
Addiere die beiden und schaue, ob du die Summe wieder in der Form [mm] $\vektor{x+y\\3x+4y\\x-2y}$ [/mm] mit [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] schreiben kannst...
[mm] $\vec{a}+\vec{b}=\vektor{(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\\(3x_1+4y_1)+(3x_2+4y_2)\\(x_1-2y_1)+(x_2-2y_2)}=\vektor{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\(3x_1+3x_2)+(4y_1+4y_2)\\(x_1+x_2)+(-2y_1-2y_2)}=\vektor{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\3(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)\\(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)}\in [/mm] U$,
denn mit [mm] $x=x_1+x_2\in\IR$ [/mm] und [mm] $y=y_1+y_2\in\IR$ [/mm] hat dieser Vektor genau die geforderte Darstellung
>
> (U3):
> ginge das so:
>
> [mm]\lambda \vektor{x + y \\ 3x + 4y \\ x - 2y}[/mm] =
> [mm]\vektor{\lambda x + \lambda y \\ 3\lambda x + 4\lambda y \\ \lambda x - 2\lambda y}[/mm]
>
> und fertig?
Du könntest noch ein Wort dazu verlieren,warum dieser Vektor denn nun auch wirklich in U liegt, zB. mit [mm] $\tilde{x}=\lambda\cdot{}x\in\IR$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}=\lambda\cdot{}y\in\IR$ [/mm] hat er die geforderte Darstellung
> bin mir irgendwie unsicher, was genau ich schreiben muss
> um letztendlich den beweis zu liefern...
> würden hier von mir abgegebene Lösungsvorschläge als
> Beweis gelten?
als halber, (2) war nicht so gut ...
> Was muss letztenendes genau im Beweis drin stehn?
Zum einen darfst du wie gesagt nicht mit Beispielen oder Spezialisierungen eine allg. Aussage beweisen, das geht nicht.
Wenn du eine Aussage allerdings widerlegen willst, reicht ein Gegenbeispiel natürlich aus.
Zum anderen solltest du am Ende deiner Umformungen noch kurz begründen, warum denn der umgeformte Vektor in U liegt (siehe (3))
Und genauer mit den Begriffen umgehen, siehe Aufgabenstellung und rote Anmerkung ...
>
> thx4help
> Yuffie =)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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