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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:31 Fr 11.05.2007 | | Autor: | superstar |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U [mm] \subseteq [/mm] V ein linearer Unterraum.
a) Für welche a [mm] \in [/mm] V ist a+U:= {a+u: [mm] u\in [/mm] U} wiederum ein linearer Unterraum von V? Geben Sie ein Kriterium für a,b [mm] \in [/mm] K an, wann a+U= b+U gilt.
b) Es sei nun [mm] \delta [/mm] (U):= {a+U: [mm] u\in [/mm] U}. Wir definieren auf [mm] \delta [/mm] (U) eine Addition [mm] \oplus [/mm] und eine skalare Multiplikation [mm] \odot [/mm] per
(a+U) [mm] \oplus [/mm] (b+U):= (a+b) + U für alle a,b \ V und
[mm] \lambda \odot [/mm] (a+U):= [mm] (\lambda [/mm] a)+U für alle [mm] \lambda \in [/mm] K und alle a [mm] \in [/mm] V.
Zeigen Sie,dass diese Operationen wohldefiniert sind, d.h. für beliebige [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} \in [/mm] V mit [mm] a_{1}+U= a_{2}+U [/mm] und [mm] b_{1}+U=b_{2}+U [/mm] gilt auch [mm] (a_{1}+U) \oplus (b_{1}+U)= (a_{2}+U) \oplus (b_{2}+U) [/mm] und [mm] \lambda \odot (a_{1}+U)= \lambda \odot (a_{2}+U).
[/mm]
Mit diesen Operationen wird [mm] \delta [/mm] (U) zu einem K-Vektorraum. Weisen Sie nach, dass die Vektorraum-Axiome (A2) (0-Element) und (A3) (inverses Element) tatsächlich gelten.
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Ich brauche dringend Hilfe... ich verstehe gar nichts. Wenn mir jemand helfen könnte, wäre das super... Und Hilfe brauche ich dringend... tausend Dank...
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> Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U [mm]\subseteq[/mm] V
> ein linearer Unterraum.
> a) Für welche a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V ist a+U:= {a+u: [mm]u\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U} wiederum ein
> linearer Unterraum von V? Geben Sie ein Kriterium für a,b
> [mm]\in[/mm] K an, wann a+U= b+U gilt.
Hallo,
lassen wir's langsam angehen...
Ganz allgemein :
Wenn Du einen Vekorraum V hast und eine Menge W, und Du willst wissen, ob W ein Untervektorraum von V ist, was mußt Du dann prüfen?
Gruß v. Angela
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Also,1) 0 muss enthalten sein
2) v+v' muss enthalten sein
und 3) [mm] \lambda*u [/mm] muss enthalten sein...
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> Also,1) 0 muss enthalten sein
> 2) v+v' muss enthalten sein
> und 3) [mm]\lambda*u[/mm] muss enthalten sein...
Und für welche v,v',u soll das gelten??? Für alle, die in W sind.
Und für welches [mm] \lambda? [/mm] Auch für alle aus dem entsprechendne Körper.
Das sind Dinge, die durchaus wichtig sind, und mittelfristig vereinfacht es das (mathematische) Leben, wenn man sie allzeit beachtet.
Gut, "Unterraum" kennst Du.
>> Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U $ [mm] \subseteq [/mm] $ V ein linearer Unterraum.
>> a) Für welche a $ [mm] \in [/mm] $ V ist a+U:= {a+u: $ [mm] u\in [/mm] $ U} wiederum ein linearer Unterraum von V? Geben Sie ein
>> Kriterium für a,b $ [mm] \in [/mm] $ K an, wann a+U= b+U gilt.
Nun guck Dir die Menge a+U an.
Wie sind die Elemente gemacht?
Erkennst Du, daß es eine Teilmenge von V ist? (Sonst wäre die Untersuchung auf Unterrraum sinnlos und Du könntest aufhören.)
Wenn Dir das klar ist (mit solchen Fragen gehe ich immer an Aufgaben heran. Erst die Zutaten checken.), kann man langsam anfangen.
A. Wenn a+U ein Unterraum von V sein soll, muß die 0 drin liegen.
Was bedeutet das? Es muß ein u [mm] \in [/mm] U geben, so daß a+u=0 gilt.
Unter welcher Bedingung ist das der Fall?
Und wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann ist a+U=???.
Ist das ein Unterraum?
B. Sei für zwei Elemente a,b [mm] \in [/mm] V und sei a+U=b+U.
Dann ist a [mm] \in [/mm] b+U. (warum?)
Was bedeutet das?
Und? Ist immer, wenn diese Bedingung erfüllt ist, a+U=b+U?
Ja. es ist. (Zeigen!)
Gruß v. Angela
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Also, a+U=a+u
0=V -> es existiert a [mm] \in [/mm] K, s.d. a+U1=a+u
a+U2=a+u
a+u= aU1+ aU2= a (U1+u2) [mm] (\in [/mm] K) -> a+u [mm] \in [/mm] V
...
das ist irgendwie falsch...
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> Also, a+U=a+u
> 0=V -> es existiert a [mm]\in[/mm] K, s.d. a+U1=a+u
> a+U2=a+u
> a+u= aU1+ aU2= a (U1+u2) [mm](\in[/mm] K) -> a+u [mm]\in[/mm] V
> ...
> das ist irgendwie falsch...
Hallo,
im Interesse eines konstruktiven Dialoges wäre es hilfreich, wenn Du irgendwie kennzeichnen würdest, auf welche der gestellten Fragen Du gerade antwortest. (Du hast auch die Möglichkeit, den Zitieren-Button links unter dem Eingabefenster zu verwenden.)
Ansonsten bitte etwas verbindenden Text.
> Also, a+U=a+u
Daß das nicht sein kann, kannst Du Dir überlegen, wenn Du Dir klarmachst, welches Art von Objekt Du auf der linken Seite hast und welche rechts:
Links hast Du eine Menge, rechts ein Element.
Ansonsten verweise ich auf meine Antwort von gestern, welche mit der Aufforderung beginnt, Dir die Menge a+U klar zu machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Millili |
Hallo, ich habe auch so meine Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, von daher dachte ich mir, ich diskutier mal mit:)
> A. Wenn a+U ein Unterraum von V sein soll, muß die 0 drin
> liegen.
>
> Was bedeutet das? Es muß ein u [mm]\in[/mm] U geben, so daß a+u=0
> gilt.
> Unter welcher Bedingung ist das der Fall?
Wäre das nicht dann der Fall, wenn u=-a wäre?
Nur dann wäre a+U = {a+-a : a [mm] \in [/mm] V} und das wiedrum wäre a+U = {0}
Damit ließen sich dann zwar die beiden anderen Unterraumkriterien nachweisen, aber ich habe irgendwie das Gefühl, ich habe da irgendwas falsch gemacht, bzw. falsch interpretiert...
Gruß, Millili
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> Hallo, ich habe auch so meine Schwierigkeiten mit dieser
> Aufgabe, von daher dachte ich mir, ich diskutier mal mit:)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> > A. Wenn a+U ein Unterraum von V sein soll, muß die 0 drin
> > liegen.
> >
> > Was bedeutet das? Es muß ein [mm] u\in [/mm] U geben, so daß a+u=0
> > gilt.
> > Unter welcher Bedingung ist das der Fall?
>
> Wäre das nicht dann der Fall, wenn u=-a wäre?
Genau. Natürlich.
Der Schluß, den Du dann als nächstes ziehst, ist allerdings verkehrt.
Denn Du setzt da irgendwie U und u gleich. Das ist natürlich Blödsinn.
U ist eine Menge, und u ein Element aus dieser Menge.
Dieser Gedanke allerdings bringt einen auf eine Spur:
Du hast festgestellt, daß u=-a gelten muß. [mm] u\in [/mm] U.
Also muß -a [mm] \in [/mm] U sein.
Hieraus folgt, daß auch a in U ist, warum das so ist, überlege Dir.
Wir haben jetzt also: wenn [mm] 0\in [/mm] a+U gilt a [mm] \in [/mm] U.
Damit ist die Frage bzgl. 0 wohl schon beantwortet, aber es lohnt sich, über folgendes nachzudenken:
Was ist dann a+U?
Gruß v. Angela
>
> Nur dann wäre a+U = {a+-a : a [mm] \in [/mm] V} und das wiedrum wäre
> a+U = {0}
>
> Damit ließen sich dann zwar die beiden anderen
> Unterraumkriterien nachweisen, aber ich habe irgendwie das
> Gefühl, ich habe da irgendwas falsch gemacht, bzw. falsch
> interpretiert...
>
> Gruß, Millili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Millili |
> Damit ist die Frage bzgl. 0 wohl schon beantwortet, aber es
> lohnt sich, über folgendes nachzudenken:
>
> Was ist dann a+U?
>
> Gruß v. Angela
Vielleicht bin ich jetzt völlig auf dem Holzweg, aber wenn
Wenn gilt, dass a [mm] \in [/mm] U ist, damit 0 [mm] \in [/mm] a+U erfüllt ist, wäre in dem Falle dann
a+U nicht das Gleiche wie U , da a schon [mm] \in [/mm] U ist?
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> Wenn gilt, dass a [mm]\in[/mm] U ist, damit 0 [mm]\in[/mm] a+U erfüllt ist,
> wäre in dem Falle dann
> a+U nicht das Gleiche wie U , da a schon [mm]\in[/mm] U ist?
Haargenau. In dem Falle ist a+U=U
Deine Begründung ist nicht ganz ausreichend.
Mit
>da a schon [mm]\in[/mm] U ist
hast Du erst [mm] a+U\subseteq [/mm] U bewiesen.
Du mußt nun sicherstellen, daß auch [mm] U\subseteq [/mm] a+U,
daß jedes [mm] u\in [/mm] U also auch [mm] \in [/mm] a+U ist. (Das ist nicht schwer.)
Jedenfalls: wenn a [mm] \in [/mm] U, so ist a+U eine Untergruppe, denn es ist a+U=U.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Millili |
ah, dann war ich ja doch nicht so auf dem Holzweg , danke schonmal für deine Hilfe:)!
zu der zweiten Teilaufgabe aus a)
geben Sie ein Kriterium für a,b [mm] \in [/mm] K an. wann a+U=b+U!
Kann ich daraus, dass die Mengen gleich sein müssen folgern, dass a [mm] \in [/mm] b+U sein muss und b [mm] \in [/mm] a+U , so dass das Kriterium für a, b sein muss, dass a,b [mm] \in [/mm] U sein müssen?
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> zu der zweiten Teilaufgabe aus a)
> geben Sie ein Kriterium für a,b [mm]\in[/mm] K an. wann a+U=b+U!
>
> Kann ich daraus, dass die Mengen gleich sein müssen
> folgern, dass a [mm]\in[/mm] b+U sein muss und b [mm]\in[/mm] a+U ,
Das ist richtig.
> so dass
> das Kriterium für a, b sein muss, dass a,b [mm]\in[/mm] U sein
> müssen?
Das ist nicht richtig. Es stimmt zwar, daß die Mengen gleich sind, wenn a.b beide in U sind. Dann ist ja a+U=b+U=U, das hattest Du zuvor festgestellt.
Aber es gibt auch Mengen a+U und b+U, die gleich sind, ohne daß aund b beide in U liegen.
Du schriebst ja, daß bei Mengengleichheit [mm] a\in [/mm] b+U gilt.
Was bedeutet das? Es gibt ein ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 13.05.2007 | | Autor: | Millili |
> Du schriebst ja, daß bei Mengengleichheit [mm]a\in[/mm] b+U gilt.
>
> Was bedeutet das? Es gibt ein ...
>
Naja das bedeutet doch, dass es ein a [mm] \in [/mm] K geben muss, s.d. a [mm] \in [/mm] b+U...aber ich weiß einfach nicht, wie mich das weiterbringt...müssen a und b dann gleich sein, damit es die gleichen Mengen sein können?
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> > Du schriebst ja, daß bei Mengengleichheit [mm]a\in[/mm] b+U gilt.
> >
> > Was bedeutet das? Es gibt ein ...
> >
> Naja das bedeutet doch, dass es ein a [mm]\in[/mm] K geben muss,
Hallo,
Erstens mal gehen wir gerade davon aus, daß wir solche a,b haben, daß a+U=b+U gilt. Von daher ist in obigem Zusammenhang "es gibt ein a ..." Quatsch.
Dann folgt die richtige Katastrophe: "a [mm] \in [/mm] K". Au weia!
(Erstens war sowieso a [mm] \in [/mm] V vorausgesetzt, aber das ist jetzt nicht sooo das Thema.)
Aber was soll ein Körperelement plus U sein? Die Elemente dieser Menge hätten die Gestalt Skalar+Vektor - z.B. [mm] 2+\vektor{1 \\ 1}. [/mm] So etwas steht uns nicht zur Verfügung, weil es nicht definiert ist.
Nicht traurig sein! So etwas passiert...
> s.d. a [mm]\in[/mm] b+U...aber ich weiß einfach nicht, wie mich das
> weiterbringt...müssen a und b dann gleich sein, damit es
> die gleichen Mengen sein können?
Nein.
Ich zeig's Dir jetzt:
Seien a,b [mm] \in [/mm] V mit a+U=b+U.
Wegen [mm] 0\in [/mm] U ist [mm] a+0=a\in [/mm] a+U=b+U
==> es gibt ein [mm] u\in [/mm] U mit a=b+u
==> es gibt ein [mm] u\in [/mm] U mit a-b=u
==> a-b [mm] \in [/mm] U !!!!
Ich habe jetzt gezeigt
a+U=b+U ==> [mm] a-b\in [/mm] U.
Versuch Du nun noch zu zeigen:
[mm] a-b\in [/mm] U ==> a+U=b+U [mm] (a+U\subseteq [/mm] b+U und [mm] b+U\subseteq [/mm] a+U)
Gruß v. Angela
P.S.: Es lohnt sich übrigens, diese Aufgabe richtig zu verstehen, das steuert haarscharf auf Äquivalenzklassen und Faktor-/Quotientenräume zu, für deren Verständnis man das benötigt.
Mach Dir an einem konkreten Beispiel mal klar, was a+U eigentlich ist.
Nimm z.B. [mm] V=\IR^2 [/mm] , [mm] U=<\vektor{1 \\ 1}>, a=\vektor{2 \\ 3}.
[/mm]
Guck Dir a+U an.
Besinn Dich darauf, wie Du b wählen kannst, damit b+U dieselbe Menge ergibt. (Du weißt das bereits aus der Schule)
Teste, ob a minus Dein gefundenes b in U liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 13.05.2007 | | Autor: | Millili |
hmm, also hier steht " Geben Sie ein Kriterium für a, b [mm] \in [/mm] K an, wann a+U = b+U
Ich verstehe, was du meinst, aber in der Aufgabe steht ja, dass ich die kriterien für a, b [mm] \in [/mm] K angeben soll...
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> hmm, also hier steht " Geben Sie ein Kriterium für a, b [mm]\in[/mm]
> K an, wann a+U = b+U
> Ich verstehe, was du meinst, aber in der Aufgabe steht ja,
> dass ich die kriterien für a, b [mm]\in[/mm] K angeben soll...
Oh. Ich habe das gelesen, was ich lesen wollte...
Und das, was ich lesen wollte, sollte dort auch stehen.
Es ist völlig ausgeschlossen, daß etwas anderes dahintersteckt als ein Druckfehler - weil's, wie zuvor geschildert - sinnlos wäre.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 13.05.2007 | | Autor: | Millili |
Also ist das auch sinnlos, wenn vorher definiert war, dass V ein K- vektorraum ist?
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> Also ist das auch sinnlos, wenn vorher definiert war, dass
> V ein K- vektorraum ist?
Ja, auch dann wäre das sinnlos.
Wir müssen überlegen, welche Verknüpfungen uns in einem Vektorraum V über K zur Verfügung stehen:
- eine Addition innerhalb von V
- eine Multiplikation mit Elementen des Körpers K.
Eine Addition von Skalaren mit Vektoren gibt's in einem Vektorraum nicht.
Nehmen wir den VR [mm] \IR^2 [/mm] mit den einschlägigen Verknüpfungen.
[mm] 2+\vektor{3 \\ 4} [/mm] hinterläßt da nur Ratlosigkeit bzw. Kopfschütteln.
Gruß v. Angela
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