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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:00 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | a) Sei f: [mm] R^n \to R^m [/mm] eine [mm] C^1 [/mm] Abb. Beweisen Sie, dass der Graph von f
Graph(f):={(x,f(x)) [mm] \in [/mm] R^(n+m) | x [mm] \in R^n}
[/mm]
eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^(n+m) ist.
b) Wir betrachten die Abb.
g: R [mm] \to [/mm] R³
t [mm] \to [/mm] (cos t, sin t, t)
zeigen sie, dass das Bild von g eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R³ ist. |
Hallo!
Wir geht man bei solchen Aufgaben vor? Ich hab mir die Beispiele aus der Vorlesung angeguckt und rumprobiert, aber irgendwie waren die Beispiele, die wir da hatten viel einfacher und auch einleuchtend.
Meine größtes Problem ist, wie man die [mm] C^1 [/mm] Abb. findet, deren Jacobimatrix man sich dann angucken muss.
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG
Linda
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Hallo Lee,
um eine für dich passende lösung zu finden, müssten wir erst wissen, wie Ihr in EUrer Vorlesung Untermannigfaltigkeiten definiert habt.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Di 20.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Vielen Dank schonmal für die Reaktion - hoffentlich weiß auch noch jemand, wie man bei meiner anderen Frage vorgeht.
Hier unsere Definition:
Sei U [mm] \subset R^n [/mm] offen
Eine Teilmenge M [mm] \subset [/mm] U ist eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit von U, falls zu jedem Pkt a [mm] \in [/mm] M eine Umgebung V [mm] \subset [/mm] U existiert und eine [mm] C^1-Abbildung [/mm] g: V [mm] \to [/mm] R^(n-d) mit
1) Dg(x) hat Rang n-d für alle x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] V
2) M [mm] \cap [/mm] V = {x [mm] \in [/mm] V | g(x) = 0}
(mit anderen Worten: M ist lokal Nullstellenmenge einer [mm] C^1-Abb. [/mm] deren Differential maximalen Rang hat)
Ich hoffe, ihr könnt damit was anfangen!
LG
Lee
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Di 20.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Kannst du mir mit der Aufgabe weiterhelfen?
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Ich wüsste gern, wie man da vorgeht - nicht nur für dieses Zettel sondern allgemein.
Wäre nett, wenn du mir nochmal antwortest!
LG
Linda
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Hallo Linda,
das geht, ja.
Sei also [mm] $f:\IR^n\to \IR^m$ [/mm] diffbar. Zu zeigen der Graph [mm] $U:=\{(x,f(x)\}\subset \IR^{n+m}$ [/mm] ist U.-Mf..
Der Haupttrick besteht darin eine Funktion [mm] $g:\IR^{n+m}\to \IR^m$ [/mm] zu finden, deren Nullstellenmenge genau $U$ ist. Dazu sollte man sich Punkte aus [mm] $\IR^{n+m}$ [/mm] als Tupel $(x,y), [mm] x\in \IR^n,y\in \IR^m$ [/mm] vorstellen.
Dann findet man $g$ nämlich recht leicht, wie wäre es mit $g(x,y)=f(x)-y$?
Du musst jetzt noch zeigen, dass die jacobi-matrix von $g$ den rang $m$ hat, was aber nicht schwer ist (mal sie dir mal auf!).
Die zweite Aufgabe ist ja dann bloß eine simple anwendung der ersten.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 20.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | | Ist die Jacobimatrix von g gleich (Df(x), 0) ?? |
Vielen vielen Dank schonmal!!
LG
Linda
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> Ist die Jacobimatrix von g gleich (Df(x), 0) ??
Nein.....
> Vielen vielen Dank schonmal!!
>
> LG
>
> Linda
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