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Kann mir jemand versuchen zu Erklären, was eine Untermannigfaltigkeit ist und gibt es dafür ein "Schema" wie man diese berechnen kann?
Ich weiß, dass es sich um eine Teilmege der Mannigfaltigkeit handelt. Die Definitionen aus meinen Analysisbüchern helfen mir zur Berechnung leider nicht weiter...
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 01.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Kann mir jemand versuchen zu Erklären, was eine
> Untermannigfaltigkeit ist und gibt es dafür ein "Schema"
> wie man diese berechnen kann?
>
> Ich weiß, dass es sich um eine Teilmege der
> Mannigfaltigkeit handelt. Die Definitionen aus meinen
> Analysisbüchern helfen mir zur Berechnung leider nicht
> weiter...
Vereinfacht gesagt, ist eine Untermannigfaltigkeit N eine Teilmenge der Mannigfaltigkeit M, die mit den Karten der Mannigfaltigkeit M kompatibel ist.
Sei [mm] $p\in [/mm] M$ ein Punkt, U eine Umgebung dieses Punktes.
Wenn [mm] $(\varphi,U)$ [/mm] eine Karte der n-dim. Mannigfaltigkeit M ist, also [mm] $\varphi$ [/mm] auf einer offenen Menge [mm] $U\subset [/mm] M$ definiert ist:
[mm] \varphi: U\to $\IR^n [/mm],
dann kannst du fragen, was passiert, wenn du [mm] $\varphi$ [/mm] auf die Punkte der Teilmenge [mm] $N\subset [/mm] M$ anwendest.
[mm] $\varphi$ [/mm] ist ja auf der Menge [mm] $N\cap [/mm] U$ definiert. In der Teilraumtopologie ist [mm] $N\cap [/mm] U$ eine offene Menge in N.
Wenn es nun für jeden Punkt [mm] $p\in [/mm] N$ eine Karte gibt mit der Eigenschaft:
(*) [mm] \varphi(N\cap U) = (\IR^k\times\{\underbrace{(0,\dots,0)}_{\text{$(n-k)$-mal}}\}) \cap \varphi(U) [/mm] ,
dann ist N eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M.
Beispiel: Sei [mm] $M=S^2$ [/mm] die Oberfläche der Einheitskugel im [mm] $\IR^3$. [/mm] Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Sei N die Äquatorlinie auf dieser Einheitskugel, also der Schnitt der Einheitskugel mit der xy-Ebene.
N ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit, denn:
1. Eine Karte [mm] $(\varphi,U)$ [/mm] von M bildet einen Ausschnitt U von M auf einen Auschnitt [mm] $\varphi(U)$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] ab. Als Beispiel kannst du dir die Längen- und Breitengrade nehmen: Das Bild $(l,b) = [mm] \varphi(p)$ [/mm] eine Punktes [mm] $p\in [/mm] M$ ist dann das Paar (geografische Länge, geografische Breite).
2. Wenn U den Äquator schneidet, so ist [mm] $N\cup [/mm] U$ das ausgeschnittene Stück des Äquators und damit [mm] $\varphi(N\cap [/mm] U)$ eine Kurve in [mm] $\varphi(U)$. [/mm]
3. Die Bedingung (*) lautet in diesem Fall: [mm] \varphi(N\cap U) = (\IR\times\{0\}) \cap \varphi(U) [/mm], oder in Worten: die Kurve [mm] $\varphi(N\cap [/mm] U)$ muss eine gerade Strecke parallel zu x-Achse sein. Ds heisst: es muss (durch geeignete Wahl der Karte) immer möglich sein, ein Stück des Äquators auf eine solche Strecke abzubilden.
4. Das ist hier der Fall: das Beispiel der geografischen Länge und Breite ist genau die gewünschte Karte: zu allen Punkten des Äquators gehört Breite 0, also bildet in meinem Beispiel [mm] $\varphi$ [/mm] Punkte des Äquators immer auf Punkte der Form $(l,0)$ ab, also ist die Bedingung (*) erfüllt.
Das Beispiel zeigt, wie ich finde, ganz gut, worum es hier geht: man kann eine Karte einer Mannigfaltigkeit auffassen als ein lokales Koordinatennetz. N ist eine Untermannigfaltigkeit, wenn ich immer eine Karte so finden kann, dass k dieser Koordinaten die Untermannigfaltigkeit N beschreiben, und die restlichen (n-k) Koordinaten "senkrecht" dazu stehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank Rainer,
jetzt hab ich es verstanden!! :)
MfG
Mathegirl
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Ich zwar verstanden was eine Untermannigfaltigkeit ist aber ich verstehe nicht wie man zeigt, dass es sich um eine Untermannigfaltigkeit handelt.
Ich nutze mal folgendes Beispiel:
0 sei ein regulärer Wert, [mm] M=f^{-1}(0) [/mm] ist eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^2
[/mm]
Zeige, dass R eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
[mm] R:={(x,y,z)\in \IR^3 | f(\wurzel{x^2+y^2}, z) =0}
[/mm]
Wie gehe ich jetzt vor um das zu zeigen, bzw gibt es ein allgemeines Schema wie man das zeigt, also ein schema was immer angewandt wird wenn man eine Untermannigfaltigkeit zeigen soll?
Meine Idee hierzu:
F(x,y,z)= [mm] f(\wurzel{x^2+y^2}, [/mm] z)
Nun muss ich zeigen, dass 0 regulärer Wert von F ist. Aber wie zeige ich das jetzt?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Ich zwar verstanden was eine Untermannigfaltigkeit ist aber
> ich verstehe nicht wie man zeigt, dass es sich um eine
> Untermannigfaltigkeit handelt.
>
> Ich nutze mal folgendes Beispiel:
>
>
> 0 sei ein regulärer Wert, [mm]M=f^{-1}(0)[/mm] ist eine
> 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^2[/mm]
>
> Zeige, dass R eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\IR^3[/mm] ist.
>
> [mm]R:={(x,y,z)\in \IR^3 | f(\wurzel{x^2+y^2}, z) =0}[/mm]
>
Ich nehme mal an im ersten Argument von f sind bloß positive Zahlen zugelassen? Sonst gehts nämlich nicht.
>
> Wie gehe ich jetzt vor um das zu zeigen, bzw gibt es ein
> allgemeines Schema wie man das zeigt, also ein schema was
> immer angewandt wird wenn man eine Untermannigfaltigkeit
> zeigen soll?
Nein. Das wär ja auch zu langweilig ;).
>
>
> Meine Idee hierzu:
>
> F(x,y,z)= [mm]f(\wurzel{x^2+y^2},[/mm] z)
>
> Nun muss ich zeigen, dass 0 regulärer Wert von F ist. Aber
> wie zeige ich das jetzt?
Was bedeutet es denn das 0 ein regulärer Wert ist?
Bestimme mal das Differential von F.
>
>
>
> MfG
> Mathegirl
Beste Grüße,
Berieux
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Ich weiß nicht was es beduetet, wenn 0 regulärer Wert ist....mir ist nur bekannt, dass wenn 0 regulärer Wert von f ist [mm] f^{-^}(0) [/mm] eine Kurve in der Halbebene [mm] \IR_+ [/mm] x [mm] \IR [/mm] ist
Ich muss nun also zeigen, dass 0 regulärer Wert ist für F(x,y,z)= [mm] f(\wurzel{x^2+y^2},z) [/mm]
Dann muss also gelten [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0)
Jetzt hängt es, wie ich die partiellen Ableitungen bilden soll.... diese f stört mich...die Ableitung der Wurzel nach x und y ist: [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] und [mm] \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
jetzt komme ich nicht weiter....
Ich habe allgemein überhaupt nicht verstanden wie man Untermannigfaltigen zeigen kann...beziehungsweise was ich da überhaupt zeigen muss.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Do 08.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich weiß nicht was es beduetet, wenn 0 regulärer Wert
> ist....
Das bedeutet, dass an der Stelle 0 die Jacobimatrix den maximalen Rang hat, hier also 2. Siehe dazu auch hier.
Rechne also die Jacobimatrix von F aus.
Viele Grüße
Rainer
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Ich weiß nicht wie ich diese Funktion differenzieren soll...
Gibt es nicht ein allgemeines Vorgehen, wie ich eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit zeigen kann? Waorauf es dabei ankommt, was genau ich zeigen muss??
Ich verste hier so einiges nicht!!
z.B. das die Wendelfläche [mm] W:=\phi [/mm] (U) eine Untermannigfaltigkeit ist.
[mm] U=(0,\infty) [/mm]
[mm] \phi(r, \theta):= (rcos\theta, rsin\theta, h\theta)
[/mm]
Mir sind 2 Bedingungen bekannt:
1. [mm] M\cap [/mm] U= [mm] {x\in U: f_k(x)=0 }
[/mm]
2. f´_1(a),...,f´_{n-d}(a) sind linear abhängig.
W lässz sich aks Nullstellenmenge darstellen. n=3 und d=2
[mm] f´\not= [/mm] (0,0,0)
Setzt fan [mm] \phi (r,\theta [/mm] )= (x,y,z) dann gilt [mm] x^2+y^2= r^2, [/mm]
falls [mm] x_0\not= [/mm] 0 [mm] \bruch{y_0}{x_0}= [/mm] tan [mm] \theta_0
[/mm]
rfalls [mm] y_0 \not= [/mm] 0 dann [mm] \bruch{x_0}{y_0}= [/mm] cos [mm] \theta_0
[/mm]
arctan [mm] z\in (-\bruch{-\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}) [/mm] für alle [mm] z\in \IR
[/mm]
usw....Ich versteh nicht wie man auf so eine Lösung kommt!!!!! wie man auf tan und arctan usw kommt, oder auf [mm] (-\bruch{-\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}) [/mm]
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Kann mir das niemand erklären?
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Mi 14.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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