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| Aufgabe | | Die Funktionen f,g: [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] seien durch [mm] f(x,y,z)=x^2+xy-y-z [/mm] , [mm] g(x,y,z)=2x^2+3xy-2y-3z [/mm] definiert. Zeigen Sie, dass [mm] C=\{(x,y,z) \in \IR^3 | f(x,y,z)=g(x,y,z)=0 \} [/mm] eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] ist und dass [mm] h(t)=(t,t^2,t^3) [/mm] eine globale Parametrisierung von C darstellt. |
Habe einige Schwierigkeiten mit der Lösung dieser Aufgabe.
Lösung:
Wegen [mm] f(t,t^2,t^3)=0 [/mm] und [mm] g(t,t^2,t^3)=0 [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] h(\IR) \subseteq [/mm] C. Um die umgekehrte Einbettung einzusehen, bemerken wir, dass für (x,y,z) [mm] \in [/mm] C gilt:
xy-z=g(x,y,z)-2f(x,y,z)=0 und [mm] x^2-y=3f(x,y,z)-g(x,y,z)=0.
[/mm]
Wir erhalten [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] z=xy=x^3, [/mm] also (x,y,z) [mm] \in h(\IR). [/mm] Es folgt, dass h eine globale Parametrisierung von C darstellt. Die Gradienten
Grad f(x,y,z)=(2x+y,x-1,-1) und Grad g(x,y,z)=(4x+3y,3x-2,-3) sind für jeden Punkt (x,y,z) [mm] \in [/mm] C linear unabhängig, also ist C eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3.
[/mm]
So, das erste ist ja noch klar, aber dann, wie kommen die auf:
xy-z=g(x,y,z)-2f(x,y,z)=0 und [mm] x^2-y=3f(x,y,z)-g(x,y,z)=0, [/mm] wie soll man auf sowas kommen und warum machen die das? das habe ich noch nicht verstanden.
Und wie entstehen [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] z=xy=x^3, [/mm] also (x,y,z) [mm] \in h(\IR). [/mm] Es folgt, dass h eine globale Parametrisierung von C darstellt und wieso folgt daraus die Parametrisierung?
Und das die Gradienten linear unabhängig sein müssen, war mir jetzt auch neu, aber naja.
Wäre echt super, wenn mir jemand die Dinge mal erklären könnte.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Di 22.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Funktionen f,g: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] seien durch
> [mm]f(x,y,z)=x^2+xy-y-z[/mm] , [mm]g(x,y,z)=2x^2+3xy-2y-3z[/mm] definiert.
> Zeigen Sie, dass [mm]C=\{(x,y,z) \in \IR^3 | f(x,y,z)=g(x,y,z)=0 \}[/mm]
> eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^3[/mm] ist
> und dass [mm]h(t)=(t,t^2,t^3)[/mm] eine globale Parametrisierung von
> C darstellt.
> Habe einige Schwierigkeiten mit der Lösung dieser
> Aufgabe.
>
> Lösung:
>
> Wegen [mm]f(t,t^2,t^3)=0[/mm] und [mm]g(t,t^2,t^3)=0[/mm] für alle t [mm]\in \IR[/mm]
> gilt [mm]h(\IR) \subseteq[/mm] C. Um die umgekehrte Einbettung
> einzusehen, bemerken wir, dass für (x,y,z) [mm]\in[/mm] C gilt:
>
> xy-z=g(x,y,z)-2f(x,y,z)=0 und [mm]x^2-y=3f(x,y,z)-g(x,y,z)=0.[/mm]
>
> Wir erhalten [mm]y=x^2[/mm] und [mm]z=xy=x^3,[/mm] also (x,y,z) [mm]\in h(\IR).[/mm]
> Es folgt, dass h eine globale Parametrisierung von C
> darstellt. Die Gradienten
>
> Grad f(x,y,z)=(2x+y,x-1,-1) und Grad
> g(x,y,z)=(4x+3y,3x-2,-3) sind für jeden Punkt (x,y,z) [mm]\in[/mm] C
> linear unabhängig, also ist C eine eindimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^3.[/mm]
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> So, das erste ist ja noch klar, aber dann, wie kommen die
> auf:
>
> xy-z=g(x,y,z)-2f(x,y,z)=0 und [mm]x^2-y=3f(x,y,z)-g(x,y,z)=0,[/mm]
Die erste Identität kannst du jeweils nachrechnen, in dem du Definition von f und g einsetzt. Und f und g sind 0 für alle Punkte in C, per Definition von C.
> Und wie entstehen [mm]y=x^2[/mm] und [mm]z=xy=x^3,[/mm] also (x,y,z) [mm]\in h(\IR).[/mm]
Da steht links: $xy-z=0$ und rechts [mm] $x^2-y=0$. [/mm] Musst du nur noch ineinander einsetzen.
> Es folgt, dass h eine globale Parametrisierung von C
> darstellt und wieso folgt daraus die Parametrisierung?
Aus [mm] $(x,y,z)\in [/mm] C$ folgt [mm] $(x,y,z)\in h(\IR)$, [/mm] also ist [mm] $C\subseteq h(\IR)$. [/mm] Da aber schon [mm] $h(\IR)\subseteq [/mm] C$ gilt, ist [mm] $C=h(\IR)$.
[/mm]
> Und das die Gradienten linear unabhängig sein müssen, war
> mir jetzt auch neu, aber naja.
Damit C eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit ist, muss 0 ein regulärer Wert der Abbildung
[mm]\vektor{f\\g}:\IR^3\to\IR^2 [/mm]
sein, also die Jacobimatrix dieser Abbildung Rang 2 haben. Das bedeutet, dass die beiden Gradienten linear unabhängig sein müssen.
Viele Grüße
Rainer
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Hi, danke für die schnelle Antwort, aber eins habe ich immer noch nicht verstanden:
xy-z=g(x,y,z)-2f(x,y,z)=0 und [mm] x^2-y=3f(x,y,z)-g(x,y,z)=0. [/mm] Das die Sachen gelten, ist mir schon klar, nur warum machen die das? denn woher soll man darauf kommen, sowas aufzustellen g(x,y,z)-2f(x,y,z) oder 3f(x,y,z)-g(x,y,z). Was steckt dahinter???
Und xy-z=0, nur weil (x,y,z) [mm] \in [/mm] C sind? Aber bei C steht doch nur, wenn f(x,y,z)=g(x,y,z), dass das nul ist. aber nicht für g(x,y,z)-2f(x,y,z)??
Und hat unsere Jackobi Matrix nicht Rang 3???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 22.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi, danke für die schnelle Antwort, aber eins habe ich
> immer noch nicht verstanden:
>
>
> xy-z=g(x,y,z)-2f(x,y,z)=0 und [mm]x^2-y=3f(x,y,z)-g(x,y,z)=0.[/mm]
> Das die Sachen gelten, ist mir schon klar, nur warum machen
> die das? denn woher soll man darauf kommen, sowas
> aufzustellen g(x,y,z)-2f(x,y,z) oder 3f(x,y,z)-g(x,y,z).
> Was steckt dahinter???
Den Term mit [mm] $x^2$ [/mm] beziehungsweise mit $xy$ loszuwerden. Alle anderen Terme in f und g sind linear, deswegen liegt es nahe, diese beiden zu eliminieren.
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> Und xy-z=0, nur weil (x,y,z) [mm]\in[/mm] C sind? Aber bei C steht
> doch nur, wenn f(x,y,z)=g(x,y,z), dass das nul ist. aber
> nicht für g(x,y,z)-2f(x,y,z)??
C ist definiert als die Menge der Punkte $(x,y,z)$, für die $f(x,y,z)=0$ und $g(x,y,z)=0$ ist. also ist auch $g-2f=0$ und $3f-g=0$.
>
> Und hat unsere Jackobi Matrix nicht Rang 3???
Wie kann das sein, da die Abbildung von [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] geht, ist es eine [mm] $3\times [/mm] 2$-Matrix.
Viele Grüße
Rainer
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