Untermanigfaltigkeiten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mi 12.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab da eine kleine Frage. Ich habe als Beispiel die Menge [mm] M:=\{(x,y,z)\in\IR^3|x^2+y^2=z^2\} [/mm] mit der Nebenbedingung [mm] z^4=4.
[/mm]
Wenn ich nun zeigen soll ob das eine [mm] C^1-Untermanigfaltigkeit [/mm] ist ?
Ich hatte mir überlegt zu überprüfen ob die Gradienten linear unabhängig sind. Also ob [mm] \nabla g_1(x,y,z)=\vektor{2x\\2y\\-2z} [/mm] und [mm] \nabla g_2(x,y,z)=\vektor{0\\0\\4z^3}. [/mm] Diese wären ja lin. unabh.
Aber ob das so richtig ist weiß ich nicht.
Dann wäre eine weitere Frage von mir, wie ich denn nun zeige, dass diese Menge abgeschlossen ist. Beschränkt weiß ich, aber abgeschlossen würde mich interessieren.
Danke für die antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 12.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich nun zeigen soll ob das eine
> [mm]C^1-Untermanigfaltigkeit[/mm] ist ?
du meinst M geschnitten mit der Menge N, auf die die Nebenbedingung stimmt?
> Ich hatte mir überlegt zu überprüfen ob die Gradienten
> linear unabhängig sind. Also ob [mm]\nabla g_1(x,y,z)=\vektor{2x\\2y\\-2z}[/mm]
> und [mm]\nabla g_2(x,y,z)=\vektor{0\\0\\4z^3}.[/mm] Diese wären ja
> lin. unabh.
Welche Funktionen? also die Funktionen, die zB über dem Satz vom regulären Wert M bzw. N bestimmen? Das wäre prima - denn dann wäre [m]g:=(g_1,g_2)[/m] eine Funktion mit entsprechendne regulären Wert für den Schnitt - also eine Untermgf.
> Dann wäre eine weitere Frage von mir, wie ich denn nun
> zeige, dass diese Menge abgeschlossen ist. Beschränkt weiß
> ich, aber abgeschlossen würde mich interessieren.
Urbild eines Punktes? Schnitt zweier abgeschlossener Mengen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 12.10.2005 | | Autor: | ThSch |
> > Wenn ich nun zeigen soll ob das eine
> > [mm]C^1-Untermanigfaltigkeit[/mm] ist ?
>
> du meinst M geschnitten mit der Menge N, auf die die
> Nebenbedingung stimmt?
Du meinst mit N also die Menge die durch [mm] z^4=4 [/mm] definiert wird? Oder steh ich da jetzt auf dem Schlauch?
> > Ich hatte mir überlegt zu überprüfen ob die Gradienten
> > linear unabhängig sind. Also ob [mm]\nabla g_1(x,y,z)=\vektor{2x\\2y\\-2z}[/mm]
> > und [mm]\nabla g_2(x,y,z)=\vektor{0\\0\\4z^3}.[/mm] Diese wären ja
> > lin. unabh.
>
> Welche Funktionen? also die Funktionen, die zB über dem
> Satz vom regulären Wert M bzw. N bestimmen? Das wäre prima
> - denn dann wäre [m]g:=(g_1,g_2)[/m] eine Funktion mit
> entsprechendne regulären Wert für den Schnitt - also eine
> Untermgf.
Sorry, ich versteh jetzt nich wirklich worauf du hinauswillst. also ich meinte die Funktionen [mm] g_1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 [/mm] und [mm] g_2(x,y,z)=z^4-4
[/mm]
Oder bin ich dabei vollkommen auf dem Holzweg?
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> > Dann wäre eine weitere Frage von mir, wie ich denn nun
> > zeige, dass diese Menge abgeschlossen ist. Beschränkt weiß
> > ich, aber abgeschlossen würde mich interessieren.
>
> Urbild eines Punktes? Schnitt zweier abgeschlossener
> Mengen?
wie könnt ich denn nun diese Menge als Schnitt zweier Mengen von denen allgemein bekannt sind dass sie abgeschlossen sind, darstellen?
> SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 12.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Du meinst mit N also die Menge die durch [mm]z^4=4[/mm] definiert
> wird? Oder steh ich da jetzt auf dem Schlauch?
Genau die.
> Sorry, ich versteh jetzt nich wirklich worauf du
> hinauswillst. also ich meinte die Funktionen
> [mm]g_1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2[/mm] und [mm]g_2(x,y,z)=z^4-4[/mm]
> Oder bin ich dabei vollkommen auf dem Holzweg?
Genau die - die Mengen sind ja jeweils Urbilder der 0, und die Differentiale sind surjetiv - außer für [m]g_1[/m] im Nullpunkt, der aber nicht in N liegt. Also kann man auf die von mir definierte Funktion g den Satz vom regulären Wert anwenden, falls die Gradienten linear unabhängig sind in allen Schnittpunkten - denn dann sind alle Differentiale von g surjektiv.
> wie könnt ich denn nun diese Menge als Schnitt zweier
> Mengen von denen allgemein bekannt sind dass sie
> abgeschlossen sind, darstellen?
Häh? Du weißt, dass der Schnitt zweier abgeschlossner Mengen abgeschlossen ist. Was willst du darstellen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 12.10.2005 | | Autor: | ThSch |
> > Sorry, ich versteh jetzt nich wirklich worauf du
> > hinauswillst. also ich meinte die Funktionen
> > [mm]g_1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2[/mm] und [mm]g_2(x,y,z)=z^4-4[/mm]
> > Oder bin ich dabei vollkommen auf dem Holzweg?
>
> Genau die - die Mengen sind ja jeweils Urbilder der 0, und
> die Differentiale sind surjetiv - außer für [m]g_1[/m] im
> Nullpunkt, der aber nicht in N liegt. Also kann man auf die
> von mir definierte Funktion g den Satz vom regulären Wert
> anwenden, falls die Gradienten linear unabhängig sind in
> allen Schnittpunkten - denn dann sind alle Differentiale
> von g surjektiv.
Also den Satz vom regulären Wert hatten wir in der Vorlesung nicht.
> > wie könnt ich denn nun diese Menge als Schnitt zweier
> > Mengen von denen allgemein bekannt sind dass sie
> > abgeschlossen sind, darstellen?
>
> Häh? Du weißt, dass der Schnitt zweier abgeschlossner
> Mengen abgeschlossen ist. Was willst du darstellen?
Ich will zeigen, dass die Untermanigfaltigkeit kompakt ist. Und dazu müsst ich ja zeigen dass M und N abgeschlossen sind, dann stimmt das die Vereinigung von abgeschlossenen Mengen abgeschlossen ist und es folgt nach Heine-Borel dass das ganze kompakt ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 12.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also den Satz vom regulären Wert hatten wir in der
> Vorlesung nicht.
Hmm, in Wikipedia nachschlagen?!? Aber man kann dann wohl auch direkt daraus Karten machen ... aber das ist quasi die ganze Theorie beweisen, am bsten mal nachlesen, zB im Königsberger, ana II.
> Ich will zeigen, dass die Untermanigfaltigkeit kompakt ist.
> Und dazu müsst ich ja zeigen dass M und N abgeschlossen
> sind, dann stimmt das die Vereinigung von abgeschlossenen
ersetze Vereinigung durch Schnitt.
> Mengen abgeschlossen ist und es folgt nach Heine-Borel dass
> das ganze kompakt ist
Du hast zwei stetige Funktionen, sodas N bzw. M Urbilder von 0 sind. Das zeigt die Abgeschlossenheit von M bzw. N - aber das hab ich auch schon geschrieben 
Aber was du mit Heine-Borel willst, ist mir nicht ganz klar.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Do 13.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Also Wikipedia sagt folgendes dazu :
"In der Differentialgeometrie heißt eine parametrisierte differenzierbare Kurve regulär, falls ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet."
Ebenso sagt Wikipedia was du auch schon gesagt hast, mehr oder weniger :
"Allgemein ist das Urbild eines regulären Wertes einer Funktion f: M → X eine Untermannigfaltigkeit von M."
Jetzt nochmal zur Formulierung.
Bedeutet das also, dass ich, wenn ich meine Gradienten betrachte. also [mm] grad(z^4-4)=(0,0,4z^3) [/mm] und [mm] grad(x^2+y^2-z^2)=(2x,2y,-2z), [/mm] ich sagen kann, dass diese linear unabhängig sind. Also existiert so ein [mm] \varphi (g_1,g_2) [/mm] dessen Ableitung an keiner Stelle verschwindet und deswegen ist mein M eine Untermanigfaltigkeit?
Und wegen der Abgeschlossenheit wollte ich fragen ob es genügt zu sagen, dass beide parametrisierungen durch stetige Funktionen dargestellt werden können, die Urbilder der 0 sind und daher sind meine Mengen abgeschlossen. Und der Schnitt von zwei abgeschlossenen Mengen ist ja auch wieder abgeschlossen. Also quasi ob ichs genauso hinschreiben kann wie du es bereits gesagt hast.
> Aber was du mit Heine-Borel willst, ist mir nicht ganz
> klar.
Mit Heine-Borel meinte ich nur den Satz das eine Menge kompakt ist wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 13.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt nochmal zur Formulierung.
> Bedeutet das also, dass ich, wenn ich meine Gradienten
> betrachte. also [mm]grad(z^4-4)=(0,0,4z^3)[/mm] und
> [mm]grad(x^2+y^2-z^2)=(2x,2y,-2z),[/mm] ich sagen kann, dass diese
> linear unabhängig sind. Also existiert so ein [mm]\varphi (g_1,g_2)[/mm]
> dessen Ableitung an keiner Stelle verschwindet und deswegen
> ist mein M eine Untermanigfaltigkeit?
Ersetze "verschwindet" durch "surjektiv", dann ja. Aber zum besseren Verständnis soltle man sich mal die Theorie dazu anschaun!
> Und wegen der Abgeschlossenheit wollte ich fragen ob es
> genügt zu sagen, dass beide parametrisierungen durch
> stetige Funktionen dargestellt werden können, die Urbilder
> der 0 sind und daher sind meine Mengen abgeschlossen. Und
> der Schnitt von zwei abgeschlossenen Mengen ist ja auch
> wieder abgeschlossen. Also quasi ob ichs genauso
> hinschreiben kann wie du es bereits gesagt hast.
Ja, sicher.
> > Aber was du mit Heine-Borel willst, ist mir nicht ganz
> > klar.
> Mit Heine-Borel meinte ich nur den Satz das eine Menge
> kompakt ist wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Aha, ich kannte das vor allem als Überdeckungseigenschaft.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 13.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Also einfach sagen, das das [mm] \varphi (g_1,g_2) [/mm] surjektiv ist.
Naja auf jedenfall schon mal danke. Du hast mir sehr geholfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Do 13.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also einfach sagen, das das [mm]\varphi (g_1,g_2)[/mm] surjektiv
> ist.
Nein, [m]d(g_1,g_2)[/m] soll surjektiv sein.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Fr 14.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Ah, klar, verstehe. Danke !
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